Cappelli tricolori

[axpgn]

Tu e tuoi sei amici matematici avete un cappello in testa.
Ognuno può vedere i cappelli degli altri ma non il proprio.
Ci sono nove cappelli in totale, tre rossi, tre gialli e tre verdi ma due sono nascosti.
I vostri amici iniziano a fare le seguenti affermazioni, in sequenza:

Primo: "Non so quale sia il colore del mio cappello"
Secondo: "Anch'io non so quale sia il colore del mio cappello"
Terzo: "Anch'io non so quale sia il colore del mio cappello"
Quarto: "Io so che il mio cappello è rosso"
Quinto: "Ancora non so quale sia il colore del mio cappello"
Sesto: "Io so che il mio cappello è giallo"

Siete in grado di determinare il colore del vostro cappello?



Cordialmente, Alex

[utente__medio11]

"axpgn":il fatto è che la dimostrazione della mia soluzione "smonta" la tua soluzione e quindi una delle due è sbagliata ... e siccome la mia è giusta ...

Non escludo che possa aver sbagliato, anche se per me il ragionamento fila.
In ogni caso la tua soluzione smonterebbe la mia perché la tua è diversa e sei sicuro che la soluzione sia unica?

"axpgn":Non mi ci trovo, mi sembra troppo generale e non specifica al caso in esame.

Comunque il problema non è quello (se io non capisco, è un problema mio)

Ma nello specifico cosa non avresti capito e cosa non funzionerebbe nel mio ragionamento?


@Quinzio e agli altri, che ne pensate, per voi ha senso quello che ho scritto?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Rappresentiamo i nostri 7 protagonisti come i vertici numerati (in ordine di chi parla) di un eptagono regolare. Ora ciascuno degli amici fa la seguente cosa: dipinge i vertici che vede in accordo con i colori dei cappelli e lascia in nero il vertice corrispondente a se stesso (ciascuno fa un disegno personale). Inoltre congiunge con un arco colorato i vertici con lo stesso colore, dove il colore dell'arco è il colore dei suoi vertici. Risulta piuttosto chiaro che se uno degli amici disegna due triangoli monocromatici allora sa il proprio colore (l'altra direzione è falsa!). Pertanto possiamo escludere che il primo disegni due triangoli poiché non sa il proprio colore. Siccome il primo e il secondo hanno risposto non lo so, significa che il secondo non ha disegnato un triangolo monocromatico e un arco (disgiunti) che hanno come vertici che corrispondono agli amici $3,4,5,6,7$. Infatti assumendo il contrario o il secondo avrebbe il colore del arco e dunque il primo avrebbe saputo rispondere il proprio colore (per quanto detto sopra) oppure il secondo avrebbe dedotto che ha il colore del vertice che corrisponde a $1$. Questo ha come conseguenza che per colorare i vertici $A_1=\{3,4,5,6,7\}$ abbiamo usato tutti e $3$ i colori (verde, giallo e rosso). Con un ragionamento del tutto analogo con $2$ e $3$ e rispettivamente con $1$ e $3$ possiamo dedurre che i vertici $A_2=\{1,4,5,6,7\}$ e rispettivamente $A_3\{2,4,5,6,7\}$ sono colorati usando tutti e $3$ i colori. Pertanto abbiamo due possibilità: o $1,2,3$ formano un triangolo verde, ma in questo caso il $4$ non avrebbe potuto dedurre il proprio colore a meno che $5,6,7$ non formino un triangolo giallo e dunque il $5$ avrebbe dedotto che ha il cappello giallo, dunque questo caso non è possibile. Pertanto in $\{4,5,6,7\}$ c'è il verde. Da cui abbiamo che o il $5$ e il $7$ hanno entrambi lo stesso colore (il verde) oppure hanno colori diversi, ma almeno uno è verde. Nel primo caso abbiamo finito, il $7$ è verde. Assumiamo dunque che hanno colori diversi e assumiamo che il $7$ è giallo. Abbiamo che il $4$ per capire il proprio colore ha disegnato un triangolo e un arco lasciando spaiato un vertice tra $1,2,3$, wlog $1$. Ora $4$ deduce che ha il colore di $1$, altrimenti formerebbe un triangolo con l'arco che $4$ ha colorato e $1$ avrebbe dedotto il proprio colore. In ogni caso l'amico $5$ avrebbe capito il proprio colore era verde: infatti $A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{ 4,5,6,7 \}$ contiene almeno un vertice verde, e $4$ è rosso e $6,7$ gialli. Non va bene poiché $5$ dice non lo so. In conclusione $7$ è verde (e forse si riesce a dedurre anche $5$). Forse ho dimenticato qualche cosa, ma non mi sembra.

[axpgn]

Ecco la mia ...

Supponiamo che il primo che parla NON veda cappelli verdi in testa agli altri, ciò significherebbe che vede tre gialli e tre rossi e quindi ne dedurrebbe che il suo è verde; invece afferma di non sapere il colore del suo cappello, quindi VEDE almeno un cappello verde in testa ai suoi amici.
Supponiamo che il secondo NON veda cappelli verdi in testa ai compagni dal 3 al 7, da quanto appurato prima ne dedurrebbe di avere un cappello verde in testa ma afferma di non sapere il suo colore quindi almeno un cappello verde è sulla testa di uno di quelli dal 3 al 7.
Lo stesso ragionamento lo possiamo fare per il terzo mentre il quarto dice che il suo è rosso.
Il quinto idem come i primi tre e il sesto dice che è giallo quindi il VERDE è in testa al settimo.

Una sequenza (non so se unica) compatibile con tutto è GRRRYYG.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Vedi che non funziona ? E adesso capiamo perche'... il problema e' sempre l'affermazione del quarto.
Una delle combinazioni possibili e' GRRRYYG. Benissimo.
Questo vuol dire che il quarto vede GRR-YYG, ovvero vede 2 Green, 2 Red, 2 Yellow.
Per cui quelli che NON VEDE sono 1 G, 1 R, 1 Y.
Bene. come fa il quarto a dire con certezza che il suo cappello e' R ??? Io non lo so.
E' questo che non capisco e che secondo me non sta in piedi.
L'unico modo per il quarto di dire con CERTEZZA il colore del suo cappello e' se capisce che tutti i cappelli che NON vede hanno lo stesso colore.

[Quinzio]

Facciamo un riepilogo piu' schematico.
La sequenza e' GRRRYYG, e quindi i cappelli nascosti sono YG.

Il primo vede -RRRYYG e i cappelli che non vede sono YGG.
Per cui dice che non sa di che colore ha il cappello, perche' non sa se e' Y o G.

Il secondo vede G-RRYYG e i cappelli che non vede sono YGR.
In piu' sa che il primo ha detto "non so", quindi in base all'affermazione del primo sa che i cappelli nascosti NON possono essere GG, altrimenti il primo avrebbe detto "Lo so il mio colore". Ma l'affermazione del primo e' inutile per lui, perche' lui sa gia' che i cappelli nascosti sono da scegliere tra YGR, ed e' impossibile che due di questi siano GG.
Per cui dice che non sa di che colore ha il cappello, perche' non sa se e' Y, G o R.

Per il terzo idem. Che informazioni ha in piu' in base all'affermazione del secondo ?
Il terzo vede GR-RYYG e i cappelli che non vede sono YGR.
In base all'affermazione del primo sa che i cappelli nascosti non sono GG, in base a quella del secondo sa che non sono RR.
Ma non se ne fa nulla di queste affermazioni, perche' lui gia' sa che i cappelli nascosti hanno due colori diversi, siccome quelli che non vede sono YGR.

E adesso veniamo al famoso quarto. Il quarto dice con certezza che il suo cappello e' rosso.
E come fa... ? Per me e' un mistero, a meno che i cappelli che non vede siano tutti rossi.
Solo in questo caso puo' dire con certezza che ilsuo cappello e' rosso.
Ma non e' cosi' per che' lui vede GRR-YYG e non vede YGR.

E quindi una sequenza possibile non puo' essere GRRRYYG.

[Quinzio]

Quello che mi piacerebbe capire e', se un qualche ragionamento e' errato, capire dove e' errato, a prescinedere che sia mio o di qualcun altro. Questo per abituarsi ad evitare certi errori di ragionamento.

Io credo che il modo piu' sicuro e semplice di procedere sia di considerare un algoritmo, che quindi si puo' scrivere come software da far girare su un PC.

Un algoritmo potrebbe essere come segue.
Il cappello del primo amico si chiama C1, il secondo C2 e cosi' via.
Anche i due cappelli nascosti vengono assegnati a due ulteriori amici, che non si vedono, e che diventano C8 e C9.

L'algoritmo calcola tutte le $(9!)/(3!\ 3!\ 3!) = 1680$ possibili assegnazioni di colori.
GGGRRRYYY
GGGRRYYYR
.... e cosi' via.

Poi in base all'affermazione del primo, si eliminano alcune assegnazioni.
Quali ? Quelle in cui C1 = C8 = C9
Perche' ? Perche' altrimenti avrebbe detto "So il mio colore" mentre il primo dice "Non so il mio colore".

Poi si prendono le assegnazioni che rimangono e, in base all'affermazione del secondo si eliminano quelle in cui C2 = C8 = C9.
Il secondo tiene conto dell'affermazione del primo perche' prende solo le assegnazioni che rimangono.

Il terzo prende quelle che rimangono e si eliminano quelle in cui C3 = C8 = C9.

A questo punto si arriva al famoso quarto e si vede che assegnazioni gli sono rimaste e in base a cosa puo' dire che sa' il colore del suo cappello.

[axpgn]

Quando ho tempo spiego perché il quarto è certo che il suo sia rosso ... ma mi serve tempo perché la spiegazione è lunga, molto più della soluzione

[Quinzio]

Benissimo.
Questa e' la lista delle assegnazioni.
Come vanno lette ?
Se davanti alla riga compare 1--, 2--, 3--, ecc. queste sono le assegnazioni rimaste DOPO l'affermazione del primo (1--), secondo (2--), ecc.
La prima lista non ha un prefisso x-- davanti perche' sono quelle di partenza, quando nessuno degli amici ha ancora parlato.
Poi c'e' un numero progressivo 1), 2), 3), ... per elencare tutte le assegnazioni.
Poi ci sono i 9 colori: C1, C2, .... C9.
C8 e C9 sono i cappelli nascosti.

Attenzione che non va strettamente assegnato un numero 0, 1, 2 a un colore R G Y.
Ad esempio la sequenza 0 0 0 1 1 1 2 2 2 potrebbe essere RRRGGGYYY oppure GGGRRRYYY.
In base a quello che sappiamo (ad es. il quarto dice che il suo cappello e' rosso), allora assegneremo 1 a R, caso per caso. Se non si sa nulla, l'assegnazione e' libera.

Questo modo di non elencare i colori in modo esplicito, fa in modo di ridurre gli elenchi.

Quindi, ricapitoliamo (la metto giu' in modo telegrafico, poi a richiesta aggiungo chiarimenti):
Si elencano le assegnazioni di partenza, con colori non assegnati, che sono $(9!)/(3!\ 3!\ 3!\ 3!) = 280$.

Il primo dice "NON so" e si eliminano quelle con C1 = C8 = C9. Sono $(6!)/(3!\ 3!\ 2!) = 10$ in tutto.

Il secondo dice "NON so" e si eliminano quelle con C2 = C8 = C9. Sono $(6!)/(3!\ 3!\ 2!) = 10$ in tutto.

Il terzo dice "NON so" e si eliminano quelle con C3 = C8 = C9. Sono $(6!)/(3!\ 3!\ 2!) = 10$ in tutto.

Ne rimangono 250, sono quelle prima che il quarto parli.

Adesso io vorrei che qualcuno mi spiegasse come fa il quarto a sapere il suo colore, a meno che il quarto non veda nei cappelli a lui visibili solo 2 colori, ovvero che i cappelli che NON vede siano dello stesso colore, ossia C4 = C8 = C9.

Se fin qui tutto e' a posto, (io non riesco a trovare errori di ragionamento), allora rimangono solo 10 assegnazioni.
Sono le ultime in fondo all'elenco, marcate con 4--
E, come faceva giustamente notare utente_medio, con queste 10 assegnazioni, il quinto sa per forza il suo colore e quindi deve dire "Il mio colore e' ...", ma invece dice "Non lo so".

Secondo me il problema e' male impostato.

  1) 0 0 0 1 1 1 2 2 2 
  2) 0 0 0 1 1 2 1 2 2 
  3) 0 0 0 1 1 2 2 1 2 
  4) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 
  5) 0 0 0 1 2 1 1 2 2 
  6) 0 0 0 1 2 1 2 1 2 
  7) 0 0 0 1 2 1 2 2 1 
  8) 0 0 0 1 2 2 1 1 2 
  9) 0 0 0 1 2 2 1 2 1 
 10) 0 0 0 1 2 2 2 1 1 
 11) 0 0 1 0 1 1 2 2 2 
 12) 0 0 1 0 1 2 1 2 2 
 13) 0 0 1 0 1 2 2 1 2 
 14) 0 0 1 0 1 2 2 2 1 
 15) 0 0 1 0 2 1 1 2 2 
 16) 0 0 1 0 2 1 2 1 2 
 17) 0 0 1 0 2 1 2 2 1 
 18) 0 0 1 0 2 2 1 1 2 
 19) 0 0 1 0 2 2 1 2 1 
 20) 0 0 1 0 2 2 2 1 1 
 21) 0 0 1 1 0 1 2 2 2 
 22) 0 0 1 1 0 2 1 2 2 
 23) 0 0 1 1 0 2 2 1 2 
 24) 0 0 1 1 0 2 2 2 1 
 25) 0 0 1 1 1 0 2 2 2 
 26) 0 0 1 1 1 2 0 2 2 
 27) 0 0 1 1 1 2 2 0 2 
 28) 0 0 1 1 1 2 2 2 0 
 29) 0 0 1 1 2 0 1 2 2 
 30) 0 0 1 1 2 0 2 1 2 
 31) 0 0 1 1 2 0 2 2 1 
 32) 0 0 1 1 2 1 0 2 2 
 33) 0 0 1 1 2 1 2 0 2 
 34) 0 0 1 1 2 1 2 2 0 
 35) 0 0 1 1 2 2 0 1 2 
 36) 0 0 1 1 2 2 0 2 1 
 37) 0 0 1 1 2 2 1 0 2 
 38) 0 0 1 1 2 2 1 2 0 
 39) 0 0 1 1 2 2 2 0 1 
 40) 0 0 1 1 2 2 2 1 0 
 41) 0 0 1 2 0 1 1 2 2 
 42) 0 0 1 2 0 1 2 1 2 
 43) 0 0 1 2 0 1 2 2 1 
 44) 0 0 1 2 0 2 1 1 2 
 45) 0 0 1 2 0 2 1 2 1 
 46) 0 0 1 2 0 2 2 1 1 
 47) 0 0 1 2 1 0 1 2 2 
 48) 0 0 1 2 1 0 2 1 2 
 49) 0 0 1 2 1 0 2 2 1 
 50) 0 0 1 2 1 1 0 2 2 
 51) 0 0 1 2 1 1 2 0 2 
 52) 0 0 1 2 1 1 2 2 0 
 53) 0 0 1 2 1 2 0 1 2 
 54) 0 0 1 2 1 2 0 2 1 
 55) 0 0 1 2 1 2 1 0 2 
 56) 0 0 1 2 1 2 1 2 0 
 57) 0 0 1 2 1 2 2 0 1 
 58) 0 0 1 2 1 2 2 1 0 
 59) 0 0 1 2 2 0 1 1 2 
 60) 0 0 1 2 2 0 1 2 1 
 61) 0 0 1 2 2 0 2 1 1 
 62) 0 0 1 2 2 1 0 1 2 
 63) 0 0 1 2 2 1 0 2 1 
 64) 0 0 1 2 2 1 1 0 2 
 65) 0 0 1 2 2 1 1 2 0 
 66) 0 0 1 2 2 1 2 0 1 
 67) 0 0 1 2 2 1 2 1 0 
 68) 0 0 1 2 2 2 0 1 1 
 69) 0 0 1 2 2 2 1 0 1 
 70) 0 0 1 2 2 2 1 1 0 
 71) 0 1 0 0 1 1 2 2 2 
 72) 0 1 0 0 1 2 1 2 2 
 73) 0 1 0 0 1 2 2 1 2 
 74) 0 1 0 0 1 2 2 2 1 
 75) 0 1 0 0 2 1 1 2 2 
 76) 0 1 0 0 2 1 2 1 2 
 77) 0 1 0 0 2 1 2 2 1 
 78) 0 1 0 0 2 2 1 1 2 
 79) 0 1 0 0 2 2 1 2 1 
 80) 0 1 0 0 2 2 2 1 1 
 81) 0 1 0 1 0 1 2 2 2 
 82) 0 1 0 1 0 2 1 2 2 
 83) 0 1 0 1 0 2 2 1 2 
 84) 0 1 0 1 0 2 2 2 1 
 85) 0 1 0 1 1 0 2 2 2 
 86) 0 1 0 1 1 2 0 2 2 
 87) 0 1 0 1 1 2 2 0 2 
 88) 0 1 0 1 1 2 2 2 0 
 89) 0 1 0 1 2 0 1 2 2 
 90) 0 1 0 1 2 0 2 1 2 
 91) 0 1 0 1 2 0 2 2 1 
 92) 0 1 0 1 2 1 0 2 2 
 93) 0 1 0 1 2 1 2 0 2 
 94) 0 1 0 1 2 1 2 2 0 
 95) 0 1 0 1 2 2 0 1 2 
 96) 0 1 0 1 2 2 0 2 1 
 97) 0 1 0 1 2 2 1 0 2 
 98) 0 1 0 1 2 2 1 2 0 
 99) 0 1 0 1 2 2 2 0 1 
100) 0 1 0 1 2 2 2 1 0 
101) 0 1 0 2 0 1 1 2 2 
102) 0 1 0 2 0 1 2 1 2 
103) 0 1 0 2 0 1 2 2 1 
104) 0 1 0 2 0 2 1 1 2 
105) 0 1 0 2 0 2 1 2 1 
106) 0 1 0 2 0 2 2 1 1 
107) 0 1 0 2 1 0 1 2 2 
108) 0 1 0 2 1 0 2 1 2 
109) 0 1 0 2 1 0 2 2 1 
110) 0 1 0 2 1 1 0 2 2 
111) 0 1 0 2 1 1 2 0 2 
112) 0 1 0 2 1 1 2 2 0 
113) 0 1 0 2 1 2 0 1 2 
114) 0 1 0 2 1 2 0 2 1 
115) 0 1 0 2 1 2 1 0 2 
116) 0 1 0 2 1 2 1 2 0 
117) 0 1 0 2 1 2 2 0 1 
118) 0 1 0 2 1 2 2 1 0 
119) 0 1 0 2 2 0 1 1 2 
120) 0 1 0 2 2 0 1 2 1 
121) 0 1 0 2 2 0 2 1 1 
122) 0 1 0 2 2 1 0 1 2 
123) 0 1 0 2 2 1 0 2 1 
124) 0 1 0 2 2 1 1 0 2 
125) 0 1 0 2 2 1 1 2 0 
126) 0 1 0 2 2 1 2 0 1 
127) 0 1 0 2 2 1 2 1 0 
128) 0 1 0 2 2 2 0 1 1 
129) 0 1 0 2 2 2 1 0 1 
130) 0 1 0 2 2 2 1 1 0 
131) 0 1 1 0 0 1 2 2 2 
132) 0 1 1 0 0 2 1 2 2 
133) 0 1 1 0 0 2 2 1 2 
134) 0 1 1 0 0 2 2 2 1 
135) 0 1 1 0 1 0 2 2 2 
136) 0 1 1 0 1 2 0 2 2 
137) 0 1 1 0 1 2 2 0 2 
138) 0 1 1 0 1 2 2 2 0 
139) 0 1 1 0 2 0 1 2 2 
140) 0 1 1 0 2 0 2 1 2 
141) 0 1 1 0 2 0 2 2 1 
142) 0 1 1 0 2 1 0 2 2 
143) 0 1 1 0 2 1 2 0 2 
144) 0 1 1 0 2 1 2 2 0 
145) 0 1 1 0 2 2 0 1 2 
146) 0 1 1 0 2 2 0 2 1 
147) 0 1 1 0 2 2 1 0 2 
148) 0 1 1 0 2 2 1 2 0 
149) 0 1 1 0 2 2 2 0 1 
150) 0 1 1 0 2 2 2 1 0 
151) 0 1 1 1 0 0 2 2 2 
152) 0 1 1 1 0 2 0 2 2 
153) 0 1 1 1 0 2 2 0 2 
154) 0 1 1 1 0 2 2 2 0 
155) 0 1 1 1 2 0 0 2 2 
156) 0 1 1 1 2 0 2 0 2 
157) 0 1 1 1 2 0 2 2 0 
158) 0 1 1 1 2 2 0 0 2 
159) 0 1 1 1 2 2 0 2 0 
160) 0 1 1 1 2 2 2 0 0 
161) 0 1 1 2 0 0 1 2 2 
162) 0 1 1 2 0 0 2 1 2 
163) 0 1 1 2 0 0 2 2 1 
164) 0 1 1 2 0 1 0 2 2 
165) 0 1 1 2 0 1 2 0 2 
166) 0 1 1 2 0 1 2 2 0 
167) 0 1 1 2 0 2 0 1 2 
168) 0 1 1 2 0 2 0 2 1 
169) 0 1 1 2 0 2 1 0 2 
170) 0 1 1 2 0 2 1 2 0 
171) 0 1 1 2 0 2 2 0 1 
172) 0 1 1 2 0 2 2 1 0 
173) 0 1 1 2 1 0 0 2 2 
174) 0 1 1 2 1 0 2 0 2 
175) 0 1 1 2 1 0 2 2 0 
176) 0 1 1 2 1 2 0 0 2 
177) 0 1 1 2 1 2 0 2 0 
178) 0 1 1 2 1 2 2 0 0 
179) 0 1 1 2 2 0 0 1 2 
180) 0 1 1 2 2 0 0 2 1 
181) 0 1 1 2 2 0 1 0 2 
182) 0 1 1 2 2 0 1 2 0 
183) 0 1 1 2 2 0 2 0 1 
184) 0 1 1 2 2 0 2 1 0 
185) 0 1 1 2 2 1 0 0 2 
186) 0 1 1 2 2 1 0 2 0 
187) 0 1 1 2 2 1 2 0 0 
188) 0 1 1 2 2 2 0 0 1 
189) 0 1 1 2 2 2 0 1 0 
190) 0 1 1 2 2 2 1 0 0 
191) 0 1 2 0 0 1 1 2 2 
192) 0 1 2 0 0 1 2 1 2 
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3-- 232) 0 1 2 2 0 1 1 2 0 
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3-- 234) 0 1 2 2 0 1 2 1 0 
3-- 235) 0 1 2 2 0 2 1 0 1 
3-- 236) 0 1 2 2 0 2 1 1 0 
3-- 237) 0 1 2 2 1 0 0 1 2 
3-- 238) 0 1 2 2 1 0 0 2 1 
3-- 239) 0 1 2 2 1 0 1 0 2 
3-- 240) 0 1 2 2 1 0 1 2 0 
3-- 241) 0 1 2 2 1 0 2 0 1 
3-- 242) 0 1 2 2 1 0 2 1 0 
3-- 243) 0 1 2 2 1 1 0 0 2 
3-- 244) 0 1 2 2 1 1 0 2 0 
3-- 245) 0 1 2 2 1 2 0 0 1 
3-- 246) 0 1 2 2 1 2 0 1 0 
3-- 247) 0 1 2 2 2 0 1 0 1 
3-- 248) 0 1 2 2 2 0 1 1 0 
3-- 249) 0 1 2 2 2 1 0 0 1 
3-- 250) 0 1 2 2 2 1 0 1 0 
4--   1) 0 0 0 1 2 2 2 1 1 
4--   2) 0 0 1 2 0 1 1 2 2 
4--   3) 0 0 1 2 1 0 1 2 2 
4--   4) 0 0 1 2 1 1 0 2 2 
4--   5) 0 1 0 2 0 1 1 2 2 
4--   6) 0 1 0 2 1 0 1 2 2 
4--   7) 0 1 0 2 1 1 0 2 2 
4--   8) 0 1 1 2 0 0 1 2 2 
4--   9) 0 1 1 2 0 1 0 2 2 
4--  10) 0 1 1 2 1 0 0 2 2 

[axpgn]

Eccomi ...

Supponiamo che la sequenza corretta sia GRRRYYG ed indentifichiamo con $S_i$ i personaggi in ordine di apparizione.

- in questa configurazione $S_1$ vedrebbe _RRRYYG, quindi non può decidere se ha il giallo o il verde, perciò $S_1$ direbbe che non conosce il suo colore.

-- $S_2 vedrebbe G_RRYYG.

Se $S_2$ presume di avere il giallo, $S_1$ avrebbe visto _YRRYYG e non può decidere se ha il rosso o il verde.

Se $S_2$ presume di avere il verde, $S_1$ avrebbe visto _GRRYYG e non può decidere se ha il rosso, il giallo o il verde.

Una situazione simile si verificherà se $S_2$ presume di avere il rosso, quindi c'è più di una scelta di colore per $S_2$ che causerebbe la stessa risposta di "Non lo so" da parte di $S_1$.
In conclusione $S_2$ non può decidere il proprio colore e perciò afferma di non conoscere il colore del suo cappello

--- $S_3$ vedrebbe GR_RYYG.

Se $S_3$ presume di avere il giallo, $S_2$avrebbe visto G_YRYYG. Se $S_2$ avesse assunto di avere il verde, $S_1$ avrebbe visto _GYRYYG e non sarebbe stato in grado di decidere se ha il rosso o il verde. Se $S_2$ avesse assunto di avere il rosso, $S_1$ avrebbe visto _RYRYYG e non sarebbe stato in grado di decidere se ha il rosso o il verde.
C'è più di una scelta di colore per $S_2$ che causerebbe la stessa risposta da parte di $S_1$.
Quindi $S_2$ non può decidere il proprio colore e non può affermare di conoscerlo.
D'altra parte, se $S_3$ presume di avere il rosso, $S_2$ avrebbe visto G_RRYYG. Ancora una volta, sia che $S_2$ assuma di avere il rosso, il giallo o il verde, $S_1$direbbe "Non lo so".
C'è più di una scelta di colore per $S_2$ che causerebbe la stessa risposta da parte di $S_1$ e quindi $S_2$ non può decidere il proprio colore.
Una situazione simile si verificherà se $S_3$ presume di avere il verde.
In conclusione, c'è più di una scelta di colore per $S_3$ che causerebbe le stesse risposte da parte di $S_1$ e $S_2$. Quindi $S_3$ non può decidere il proprio colore e $S_3$ direbbe che non conosce il suo colore.

FINE PRIMA PARTE ... auff

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Ecco la mia ...

Supponiamo che il primo che parla NON veda cappelli verdi in testa agli altri, ciò significherebbe che vede tre gialli e tre rossi e quindi ne dedurrebbe che il suo è verde; invece afferma di non sapere il colore del suo cappello, quindi VEDE almeno un cappello verde in testa ai suoi amici.
Supponiamo che il secondo NON veda cappelli verdi in testa ai compagni dal 3 al 7, da quanto appurato prima ne dedurrebbe di avere un cappello verde in testa ma afferma di non sapere il suo colore quindi almeno un cappello verde è sulla testa di uno di quelli dal 3 al 7.
Lo stesso ragionamento lo possiamo fare per il terzo mentre il quarto dice che il suo è rosso.
Il quinto idem come i primi tre e il sesto dice che è giallo quindi il VERDE è in testa al settimo.

Una sequenza (non so se unica) compatibile con tutto è GRRRYYG.

Cordialmente, Alex

mi si è cancellato il messaggio quando ho cliccato l'anteprima....

@axpgn
Accetti la mia soluzione?

"Quinzio":Vedi che non funziona ? E adesso capiamo perche'... il problema e' sempre l'affermazione del quarto.

Ho editato lo spoiler

@Quinzo invece funziona quella sequenza ecco perché

Se prendi la sequenza V-R-R-R-G-G-V (dove V=verde, R=rosso, G=giallo), il $4$ capisce di avere il cappello rosso perché altrimenti se lo avesse avuto verde o giallo il terzo avrebbe capito di avere il cappello dello stesso colore del secondo (non del quarto come avevo scritto precedentemente). Vedi:

"3m0o":
Rappresentiamo i nostri 7 protagonisti come i vertici numerati (in ordine di chi parla) di un eptagono regolare. Ora ciascuno degli amici fa la seguente cosa: dipinge i vertici che vede in accordo con i colori dei cappelli e lascia in nero il vertice corrispondente a se stesso (ciascuno fa un disegno personale). Inoltre congiunge con un arco colorato i vertici con lo stesso colore, dove il colore dell'arco è il colore dei suoi vertici. [...] Siccome il primo e il secondo hanno risposto non lo so, significa che il secondo non ha disegnato un triangolo monocromatico e un arco (disgiunti) che hanno come vertici che corrispondono agli amici $ 3,4,5,6,7 $. Infatti assumendo il contrario o il secondo avrebbe il colore del arco e dunque il primo avrebbe saputo rispondere il proprio colore (per quanto detto sopra) oppure il secondo avrebbe dedotto che ha il colore del vertice che corrisponde a $ 1 $. Questo ha come conseguenza che per colorare i vertici $ A_1=\{3,4,5,6,7\} $ abbiamo usato tutti e $ 3 $ i colori (verde, giallo e rosso). Con un ragionamento del tutto analogo con $ 2 $ e $ 3 $ e rispettivamente con $ 1 $ e $ 3 $ possiamo dedurre che i vertici $ A_2=\{1,4,5,6,7\} $ e rispettivamente $ A_3\{2,4,5,6,7\} $ sono colorati usando tutti e $ 3 $ i colori.

Applica questo ragionamento al $3$ e al $2$ con la successione V-R-R-V-G-G-V (risp. V-R-R-G-G-G-V). Abbiamo che il terzo vede un triangolo verde e un arco giallo (risp. un triangolo giallo e un arco verde) nei vertici $ A_2=\{1,4,5,6,7\} $. Pertanto il terzo non può aver risposto non lo so, a meno che $4$ non sia rosso. E poiché il terzo ha risposto non lo so allora il $4$ deduce che è rosso.

[axpgn]

SECONDA PARTE

- $S_4$ vedrebbe GRR_YYG.

Se $S_4$ presume di avere il giallo, $S_3$ avrebbe visto GR_YYYG. Se $S_3$ avesse assunto di avere il verde, $S_2$ avrebbe visto G_GYYYG e avrebbe detto che il suo colore è rosso. Dal momento che $S_2$ non lo ha detto, $S_3$ avrebbe determinato di non avere il verde e avrebbe detto che aveva il rosso. Dal momento che $S_3$ non lo ha detto, $S_4$ determinerebbe che non ha il giallo.
D'altra parte, se $S_4$ presume di avere il verde, $S_3$ avrebbe visto GR_GYYG. $S_3$ determinerebbe che non ha il giallo (altrimenti $S_2$ avrebbe indovinato correttamente il rosso). Quindi $S_3$ annuncerebbe di avere il rosso. Dal momento che $S_3$ non lo ha detto, $S_4$ determinerebbe che non ha il verde. Quindi, $S_4$ saprebbe di avere il rosso e lo direbbe.

Volendo c'è anche il resto ...


Cordialmente, Alex

[axpgn]

"3m0o": mi si è cancellato il messaggio quando ho cliccato l'anteprima....

Sempre partire da una bozza e copiarla

"3m0o":Accetti la mia soluzione?

Beh, come sempre con i tuoi messaggi mi perdo prima di arrivare in fondo
Comunque, sì, mi pare che funzioni (per quel che posso dire io )
[ot]Non puoi fare a meno di Ramsey, Van Der Waerden e compagnia ...
Ti sei "specializzato" in quello poi o vai per altre strade?[/ot]

[utente__medio11]

Visto che la mia spiegazione è molto più semplice e breve delle altre, qualcuno potrebbe dirmi se è sbagliata e perché?

La riporto per comodità:

"utente__medio":Credo di esserci arrivato.

Se i primi tre giocatori hanno cappelli di colore diverso e nessuno di loro ha saputo dire il colore del proprio cappello, il quarto, scartando il caso [1 3 3], capisce di trovarsi nel caso [2 2 3]. A questo punto se vedesse due cappelli di ogni colore (caso [2 2 2]) non potrebbe fare alcuna deduzione, quindi guardandosi intorno vedrà [1 2 3] e potrà dedurre che il suo colore sarà quello dell'unico cappello diverso dagli altri che vede (ossia il rosso).
A questo punto tocca al quinto, il quale se non è in grado di fare una deduzione significa che davanti agli occhi avrà il caso [2 2 2] (e quindi il suo colore è giallo o verde).
Poi il sesto, che si trova nello stesso caso del quarto (ossia [1 2 3]), deduce che il suo colore è uguale a quello dell'unico cappello giallo che vede.
Questo implica che il quinto, così come il settimo, hanno il cappello verde.

"utente__medio":[quote="axpgn"]Non mi è chiara la tua dimostrazione, non la capisco.

Prelevare 7 oggetti da tre terne di cappelli di colori diversi determina solo due casi generali: [1 3 3] (ossia 1 cappello di un colore, 3 cappelli di un altro colore e altri 3 cappelli di un altro colore ancora) e [2 2 3] (ossia 2 cappelli di un colore, 2 cappelli di un altro colore e altri 3 cappelli di un altro colore ancora).
Di questi 7 cappelli i singoli giocatori, una volta escluso quello che hanno in testa, ne vedono solo 6.
I due suddetti casi generali determinano quindi tre sottocasi che i singoli giocatori possono trovarsi davanti agli occhi: [3 3], [1 2 3] e [2 2 2].
Con questo spero di aver chiarito la simbologia e la terminologia che ho usato.

Riprendendo la mia dimostrazione, mettiamoci nei panni del quarto giocatore, il quale, dopo aver ascoltato le affermazioni dei primi tre giocatori, osserva che essi hanno cappelli di colore diverso tra di loro. A questo punto egli per esclusione potrà dedurre di trovarsi nel caso generale [2 2 3], infatti il caso generale [1 3 3] è da scartare in quanto il giocatore associato all'1, avendo davanti agli occhi 3 cappelli di un colore e 3 di un altro colore, avrebbe potuto dedurre il colore del proprio cappello.
Assodato di trovarsi nel caso generale [2 2 3], se il quarto giocatore avesse davanti agli occhi il sottocaso [2 2 2] non potrebbe fare alcuna deduzione, invece trovandosi davanti al sottocaso [1 2 3] avrà la certezza che il suo colore sarà quello dell'unico cappello rosso che vede.
A questo punto dovrebbe essere chiaro anche il resto della mia dimostrazione.

[/quote]


EDIT:

"axpgn":il fatto è che la dimostrazione della mia soluzione "smonta" la tua soluzione e quindi una delle due è sbagliata ... e siccome la mia è giusta ...

Queste per esempio perché non vanno bene?
GVRRVGV
GRVRVGV
RGVRVGV
RVGRVGV
VGRRVGV
VRGRVGV

[Quinzio]

"axpgn":SECONDA PARTE

- $S_4$ vedrebbe GRR_YYG.

Se $S_4$ presume di avere il giallo, $S_3$ avrebbe visto GR_YYYG. Se $S_3$ avesse assunto di avere il verde, $S_2$ avrebbe visto G_GYYYG e avrebbe detto che il suo colore è rosso. Dal momento che $S_2$ non lo ha detto, $S_3$ avrebbe determinato di non avere il verde e avrebbe detto che aveva il rosso. Dal momento che $S_3$ non lo ha detto, $S_4$ determinerebbe che non ha il giallo.
D'altra parte, se $S_4$ presume di avere il verde, $S_3$ avrebbe visto GR_GYYG. $S_3$ determinerebbe che non ha il giallo (altrimenti $S_2$ avrebbe indovinato correttamente il rosso). Quindi $S_3$ annuncerebbe di avere il rosso. Dal momento che $S_3$ non lo ha detto, $S_4$ determinerebbe che non ha il verde. Quindi, $S_4$ saprebbe di avere il rosso e lo direbbe.

Volendo c'è anche il resto ...


Cordialmente, Alex

Ti ringrazio per la risposta dettagliata.
Con un attimo di pazienza e tempo la guardo con calma.

Il mio "problema" e' che il quinto conosce il suo colore, quindi e' sbagliato che dica "Non lo so".
Il mio problema e' tutto qui.

Che ci sia una soluzione mi va bene. Quello che contesto e' il problema e' impostato male.
Se il quinto dice "Non lo so", le condizioni devono essere tali che veramente non sa il suo colore, altrimenti lo deve dire.

[reda99]

A questo punto mi pare inutile scrivere la mia ricostruzione del ragionamento, anche perché e quasi identica a quella di "axpgn".
Voglio ricordare che questo tipo di enigmi si trovavano e forse ancora si trovano come esempi nei libri dedicati al linguaggio di programmazione PROLOG.
Il fatto è che negli anni '80 si sottolineava la necessità di "pensarci su" prima di scrivere il codice, questo perché l'esplosione combinatoria rendeva i tempi di esecuzione biblici.
Ora credo che si possa tranquillamente usare il metodo detto: genera e filtra, ovvero provare tutte le combinazioni ed eliminare quelle che non rispettano i vincoli.
Come ultima cosa posso dire che esistono delle apposite librerie CLP(FD) che semplificano di molto la soluzione di questo tipo di problemi.

[axpgn]

@utente_medio

Ho dimostrato che c'è un solo cappello verde dal secondo al settimo ed è il settimo quindi il quinto non può avere il cappello verde

[Quinzio]

"reda99":A questo punto mi pare inutile scrivere la mia ricostruzione del ragionamento, anche perché e quasi identica a quella di "axpgn".
Voglio ricordare che questo tipo di enigmi si trovavano e forse ancora si trovano come esempi nei libri dedicati al linguaggio di programmazione PROLOG.
Il fatto è che negli anni '80 si sottolineava la necessità di "pensarci su" prima di scrivere il codice, questo perché l'esplosione combinatoria rendeva i tempi di esecuzione biblici.
Ora credo che si possa tranquillamente usare il metodo detto: genera e filtra, ovvero provare tutte le combinazioni ed eliminare quelle che non rispettano i vincoli.
Come ultima cosa posso dire che esistono delle apposite librerie CLP(FD) che semplificano di molto la soluzione di questo tipo di problemi.

Benissimo, ma in questo caso i vincoli quali sono ?
A me non sembrano affatto banali da formalizzare.
Cioe', con il metodo genera e filtra, quali sono i filtri ?

[reda99]

Quando ho visto questo problema mi sono ricordato di https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-83213-0_7 questo esempio.

Come è possibile vedere il codice è scritto quasi in linguaggio naturale, ma come ho detto ora si possono usare delle librerie preconfezionate.

Non ho disponibile qualche cosa per il problema in questione, ma ho pronto del codice che risolve il zebra puzzle.

Se interessa posso provare a rendere disponibile il codice, ma cercando on-line trovi numerosissime implementazioni.

[axpgn]

Purtroppo non è possibile vedere

Per "zebra puzzle" intendi quello di Einstein?

[reda99]

Dal mio lato se "scrollo" verso il basso riesco a vedere le pagine del libro con il codice...

Si è conosciuto con quel nome, ma in realtà penso sia stato pubblicato su di un giornale, Einstein non dovrebbe avere niente a che fare.