Cappelli tricolori

[axpgn]

Tu e tuoi sei amici matematici avete un cappello in testa.
Ognuno può vedere i cappelli degli altri ma non il proprio.
Ci sono nove cappelli in totale, tre rossi, tre gialli e tre verdi ma due sono nascosti.
I vostri amici iniziano a fare le seguenti affermazioni, in sequenza:

Primo: "Non so quale sia il colore del mio cappello"
Secondo: "Anch'io non so quale sia il colore del mio cappello"
Terzo: "Anch'io non so quale sia il colore del mio cappello"
Quarto: "Io so che il mio cappello è rosso"
Quinto: "Ancora non so quale sia il colore del mio cappello"
Sesto: "Io so che il mio cappello è giallo"

Siete in grado di determinare il colore del vostro cappello?



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Giallo.

[axpgn]

Poi esce il rosso? Perdona la battuta ma l'hai chiamata
Quale il tuo ragionamento?

[utente__medio11]

Per ragionarci mi sono costruito il seguente schema:



La riga di sopra mostra i casi complessivi, mentre quella inferiore quelli individuali.
Le cifre indicano il numero di cappelli di uno stesso colore.

Una domanda: i giocatori possono fare solo affermazioni binarie? Ossia possono solo dire "SO/NON SO il colore del mio cappello"?

[reda99]

verde

[Quinzio]

"axpgn":

Poi esce il rosso? Perdona la battuta ma l'hai chiamata
Quale il tuo ragionamento?

Finche' non la accendiamo si puo' cambiare

Il ragionamento e' che il 4^, che dice rosso, lo fa perche' vede solo cappelli verdi e gialli(ne vede 6), quindi desume che il suo e' rosso (e anche gli altri nascosti sono rossi).
Il 6^ non puo' piu' fare lo stesso ragionamento, perche' il cappello uguale a quelli nascosti e' gia' stato "preso", quindi conosce il suo colore perche' non ne sono rimasti altri, e' l'unica scelta.
Per cui anche il 7^ ha solo una scelta, la stessa del 6^, e quindi 6^ e 7^ hanno lo stesso colore, il giallo.

[utente__medio11]

@Quinzio

"Quinzio":Il ragionamento e' che il 4^, che dice rosso, lo fa perche' vede solo cappelli verdi e gialli(ne vede 6), quindi desume che il suo e' rosso

Se fosse così il Quinto potrebbe dedurre che il suo colore è lo stesso di quello dei due cappelli uguali che vede.

[axpgn]

@utente_medio
Sì e comunque dicono solo quello
Il tuo schema non l'ho capito ...

@reda99
Perché? Altrimenti basta nominarli tutti

@Quinzio
Ti ha risposto utente_medio

[reda99]

Perché ricordo un enigma simile e la soluzione era il colore mai nominato.
Quindi la risposta al momento è si azzardata, con più calma potrei tentare di ricostruire il ragionamento

[utente__medio11]

"axpgn":
Sì e comunque dicono solo quello

Avevo pensato che se un giocatore vede tre cappelli gialli potrebbe trasmettere agli altri l'informazione che il suo cappello di sicuro non è giallo. In tal caso le risposte generiche dei primi tre giocatori potevano essere interpretate con il fatto che tutti e tre vedono due cappelli di ogni colore e quindi il quarto giocatore poteva dedurre che il suo colore fosse uguale a quello dell'unico colore che vede. Anche se a quel punto anche il quinto poteva fare la stessa deduzione, quindi lo stesso non funzionava...

"axpgn":
Il tuo schema non l'ho capito ...

I due rettangoli di sopra indicano i due casi possibili che potrebbe trovarsi davanti un osservatore esterno, mentre i rettangoli di sotto indicano i casi che possono osservare i giocatori.
Le cifre all'interno dei rettangoli indicano il numero di cappelli dello stesso colore.
Le frecce indicano cosa vede il gruppo di giocatori evidenziato nei cerchi.

[axpgn]

Troppo complicato

[Quinzio]

"utente__medio":@Quinzio

[quote="Quinzio"]Il ragionamento e' che il 4^, che dice rosso, lo fa perche' vede solo cappelli verdi e gialli(ne vede 6), quindi desume che il suo e' rosso

Se fosse così il Quinto potrebbe dedurre che il suo colore è lo stesso di quello dei due cappelli uguali che vede.

[axpgn]

Non ci interessa come fa il quarto a saperlo, a noi interessa cosa sa il settimo

[Quinzio]

Invece ci interessa eccome.
Le affermazioni che vengono fatte devono essere vere, non ambigue e giustificate, ergo, il quarto deve vedere 3 verdi e 3 gialli.
E come giustamente faceva notare utente medio, a quel punto anche il quinto sa il suo colore.

[axpgn]

Non è così.
Abbiamo delle ipotesi, supposte vere, e in base a quelle va trovata la soluzione.
Tu dai per scontato che la modalità per cui il quarto conosca il suo colore sia solamente quella che hai detto ma sei sicuro che sia l'unica? Sei in grado di dimostrare che non ne esistano altre? Hai testato tutta la casistica possibile (non piccola)?
Io posso dirti che in base alle affermazioni fatte dagli altri è possibile stabilire cosa può affermare il settimo.

[utente__medio11]

Credo di esserci arrivato.

Se i primi tre giocatori hanno cappelli di colore diverso e nessuno di loro ha saputo dire il colore del proprio cappello, il quarto, scartando il caso [1 3 3], capisce di trovarsi nel caso [2 2 3]. A questo punto se vedesse due cappelli di ogni colore (caso [2 2 2]) non potrebbe fare alcuna deduzione, quindi guardandosi intorno vedrà [1 2 3] e potrà dedurre che il suo colore sarà quello dell'unico cappello diverso dagli altri che vede (ossia il rosso).
A questo punto tocca al quinto, il quale se non è in grado di fare una deduzione significa che davanti agli occhi avrà il caso [2 2 2] (e quindi il suo colore è giallo o verde).
Poi il sesto, che si trova nello stesso caso del quarto (ossia [1 2 3]), deduce che il suo colore è uguale a quello dell'unico cappello giallo che vede.
Questo implica che il quinto, così come il settimo, hanno il cappello verde.

[axpgn]

Non mi è chiara la tua dimostrazione, non la capisco.
Peraltro la tua soluzione non combacia con la mia ...

[Quinzio]

"axpgn":

Hai testato tutta la casistica possibile (non piccola)?

https://onlinegdb.com/8_uKKEGuh

[axpgn]

E che significa?

Ho una sequenza per cui il quarto sa che è rosso ma gli altri non sono 3 verdi e 3 gialli.

[utente__medio11]

"axpgn":Non mi è chiara la tua dimostrazione, non la capisco.

Prelevare 7 oggetti da tre terne di cappelli di colori diversi determina solo due casi generali: [1 3 3] (ossia 1 cappello di un colore, 3 cappelli di un altro colore e altri 3 cappelli di un altro colore ancora) e [2 2 3] (ossia 2 cappelli di un colore, 2 cappelli di un altro colore e altri 3 cappelli di un altro colore ancora).
Di questi 7 cappelli i singoli giocatori, una volta escluso quello che hanno in testa, ne vedono solo 6.
I due suddetti casi generali determinano quindi tre sottocasi che i singoli giocatori possono trovarsi davanti agli occhi: [3 3], [1 2 3] e [2 2 2].
Con questo spero di aver chiarito la simbologia e la terminologia che ho usato.

Riprendendo la mia dimostrazione, mettiamoci nei panni del quarto giocatore, il quale, dopo aver ascoltato le affermazioni dei primi tre giocatori, osserva che essi hanno cappelli di colore diverso tra di loro. A questo punto egli per esclusione potrà dedurre di trovarsi nel caso generale [2 2 3], infatti il caso generale [1 3 3] è da scartare in quanto il giocatore associato all'1, avendo davanti agli occhi 3 cappelli di un colore e 3 di un altro colore, avrebbe potuto dedurre il colore del proprio cappello.
Assodato di trovarsi nel caso generale [2 2 3], se il quarto giocatore avesse davanti agli occhi il sottocaso [2 2 2] non potrebbe fare alcuna deduzione, invece trovandosi davanti al sottocaso [1 2 3] avrà la certezza che il suo colore sarà quello dell'unico cappello rosso che vede.
A questo punto dovrebbe essere chiaro anche il resto della mia dimostrazione.

[axpgn]

Non mi ci trovo, mi sembra troppo generale e non specifica al caso in esame.

Comunque il problema non è quello (se io non capisco, è un problema mio), il fatto è che la dimostrazione della mia soluzione "smonta" la tua soluzione e quindi una delle due è sbagliata ... e siccome la mia è giusta ...

P.S.: Mi accorgo solo ora che tu non tieni conto dell'ordine, penso che invece sia importante ... IMHO