Buchi Neri
Onde evitare un bombardamento di post da parte degli osteggiatori della teoria della relatività generale di Einstein che, so, frequentano questo sito, premetto immediatamente che trattasi di un semplice esercizio di matematica e nient'altro. Non mi lascerò trascinare in infinite e sterili discussioni sulla validità della relatività generale.
Ciò premesso comincio con un aneddoto. Nel 1783 un geologo inglese di nome John Michell (da altre fonti mi risulta fosse un pastore anche se non mi è chiaro se di pecore o di anime) si chiese quale dovesse essere il raggio del sole affinché la sua gravità fosse così elevata da non permettere alla luce di lasciare la sua superficie.
Utilizzando semplici considerazioni di meccanica newtoniana egli ottenne una formula che forniva il valore che avrebbe dovuto avere il raggio del sole affinché esso si tramutasse in una "dark star" (definizione da lui introdotta e, a mio avviso, decisamente più raffinata dell'odierno "black hole").
Ciò che risulta sorprendente in tutta questa vicenda è che la stessa identica formula ottenuta da Michell fu ottenuta nel 1916 (più di un secolo dopo Michell) da un astronomo di nome Karl Schwarzschild dalla risoluzione delle equazioni del campo gravitazionale di Einstein (relatività generale). Schwarzschild morì poco dopo a causa di una malattia contratta al fronte russo, dove era impegnato a combattere, e non ebbe il tempo per rendersi conto delle implicazioni dei suoi risultati. L'odierna teoria dei buchi neri è infatti tutta incentrata sui risultati di quello sfortunato astronomo. Oggi, in suo onore, il raggio critico di una stella porta il suo nome: "raggio di Schwarzschild".
Questa vicenda ci fornisce l'occasione per ripercorrere con mezzi matematici elementari le ben più tortuose strade che conducono verso uno dei più affascinanti misteri dell'universo: i buchi neri.
Facendo uso della sola meccanica newtoniana determinare la formula del raggio critico di un astro giustificando il procedimento seguito. Determinare, quindi, il raggio che dovrebbero avere il sole e la terra per tramutarsi in buchi neri.
Cordiali Saluti,
Marcello
Ciò premesso comincio con un aneddoto. Nel 1783 un geologo inglese di nome John Michell (da altre fonti mi risulta fosse un pastore anche se non mi è chiaro se di pecore o di anime) si chiese quale dovesse essere il raggio del sole affinché la sua gravità fosse così elevata da non permettere alla luce di lasciare la sua superficie.
Utilizzando semplici considerazioni di meccanica newtoniana egli ottenne una formula che forniva il valore che avrebbe dovuto avere il raggio del sole affinché esso si tramutasse in una "dark star" (definizione da lui introdotta e, a mio avviso, decisamente più raffinata dell'odierno "black hole").
Ciò che risulta sorprendente in tutta questa vicenda è che la stessa identica formula ottenuta da Michell fu ottenuta nel 1916 (più di un secolo dopo Michell) da un astronomo di nome Karl Schwarzschild dalla risoluzione delle equazioni del campo gravitazionale di Einstein (relatività generale). Schwarzschild morì poco dopo a causa di una malattia contratta al fronte russo, dove era impegnato a combattere, e non ebbe il tempo per rendersi conto delle implicazioni dei suoi risultati. L'odierna teoria dei buchi neri è infatti tutta incentrata sui risultati di quello sfortunato astronomo. Oggi, in suo onore, il raggio critico di una stella porta il suo nome: "raggio di Schwarzschild".
Questa vicenda ci fornisce l'occasione per ripercorrere con mezzi matematici elementari le ben più tortuose strade che conducono verso uno dei più affascinanti misteri dell'universo: i buchi neri.
Facendo uso della sola meccanica newtoniana determinare la formula del raggio critico di un astro giustificando il procedimento seguito. Determinare, quindi, il raggio che dovrebbero avere il sole e la terra per tramutarsi in buchi neri.
Cordiali Saluti,
Marcello
Risposte
:-x
Viste le premesse di Jeckill, assimilo un fotone ad una particella che si muove con velocità pari a c. Allora la sua energia totale è:
E(r) = (1/2)*mc^2 - GmM/r
cioè la somma di energia cinetica e potenziale gravitazionale.
Se E(r)<0 la particella non ha sufficiente energia per sfuggire al campo:
E(r)<0 ==> r< 2GM/(c^2)
Tale raggio critico dipende quindi solo dalla massa dell'astro.
La derivazione relativistica rigorosa porta allo stesso risultato!
E(r) = (1/2)*mc^2 - GmM/r
cioè la somma di energia cinetica e potenziale gravitazionale.
Se E(r)<0 la particella non ha sufficiente energia per sfuggire al campo:
E(r)<0 ==> r< 2GM/(c^2)
Tale raggio critico dipende quindi solo dalla massa dell'astro.
La derivazione relativistica rigorosa porta allo stesso risultato!
Se Goblin ha già esaurito l'argomento avrei un quesito attinente al tema.
PS
Se ne scoprono sempre di nuove... non sapevo che Newton avesse scritto la relatività:-)
PPS
Un quesito lo pongo subito, assumnedo che un buco nero sia una stella compressa dalla propria forza gravitazionale, teoricamente più acquisisce massa dallo spazio circostante più si rimpicciolisce... è esatto Jeckyll?(scusa la divagazione)
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 14:37:48
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 14:47:24
PS
Se ne scoprono sempre di nuove... non sapevo che Newton avesse scritto la relatività:-)
PPS
Un quesito lo pongo subito, assumnedo che un buco nero sia una stella compressa dalla propria forza gravitazionale, teoricamente più acquisisce massa dallo spazio circostante più si rimpicciolisce... è esatto Jeckyll?(scusa la divagazione)
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 14:37:48
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 14:47:24
Ottimo goblyn,
è veramente sorprendente scoprire come da un'analisi così semplificata sia possibile ottenere un risultato che necessita l'applicazione di una teoria matematicamente così complessa come la teoria della relatività generale.
Basterebbe che tutta la massa solare venisse compressa in una sfera di raggio 2.9 km per veder trasformata la nostra beneamata stella in un buco nero. Lo stesso nostro pianeta, se venisse compresso in una sfera di raggio pari a 9 mm, si trasformerebbe in un buco nero.
Cannigo,
in realtà ciò che la teoria della relatività prevede che succeda all'interno di un buco nero è parecchio più complesso di quanto possa trasparire da quanto detto finora. Il raggio di Schwarzschild in realtà sarebbe il raggio del cosiddetto "orizzonte degli eventi". Il punto di non ritorno per antonomasia. Superato il raggio critico non si trova la superficie della stella. Ciò che prevede la teoria della relatività è che all'interno di un buco nero la materia non è più in grado, addensandosi ulteriormente, di contrastare la gravità. Tutta la materia sarebbe costretta a collassare in una singolarità avente densità infinità. L'orizzonte degli eventi potrebbe essere attraversato da un ipotetico viaggiatore spaziale particolarmente curioso senza particolari "traumi". Il problema è che poi questo non potrebbe più ritornare indietro a raccontare cosa ha visto. Ed in ogni caso, giusto il tempo di avvicinarsi sufficientemente, sarebbe stritolato dagli immensi gradienti di gravità presenti in prossimità della singolarità.
Quindi, non è corretto dire che un buco nero più acquisisce materia più rimpicciolisce. La singolarità è per definizione un punto e questa si ha all'interno di ogni buco nero a prescindere dalla sua massa. Anche la terra, se fosse sufficientemente compressa, diverrebbe un buco nero. Anche una mela! Piuttosto è l'orizzonte degli eventi ad ingrandirsi all'aumentare della massa acquisita dal buco nero.
Cordiali Saluti,
Marcello
è veramente sorprendente scoprire come da un'analisi così semplificata sia possibile ottenere un risultato che necessita l'applicazione di una teoria matematicamente così complessa come la teoria della relatività generale.
Basterebbe che tutta la massa solare venisse compressa in una sfera di raggio 2.9 km per veder trasformata la nostra beneamata stella in un buco nero. Lo stesso nostro pianeta, se venisse compresso in una sfera di raggio pari a 9 mm, si trasformerebbe in un buco nero.
Cannigo,
in realtà ciò che la teoria della relatività prevede che succeda all'interno di un buco nero è parecchio più complesso di quanto possa trasparire da quanto detto finora. Il raggio di Schwarzschild in realtà sarebbe il raggio del cosiddetto "orizzonte degli eventi". Il punto di non ritorno per antonomasia. Superato il raggio critico non si trova la superficie della stella. Ciò che prevede la teoria della relatività è che all'interno di un buco nero la materia non è più in grado, addensandosi ulteriormente, di contrastare la gravità. Tutta la materia sarebbe costretta a collassare in una singolarità avente densità infinità. L'orizzonte degli eventi potrebbe essere attraversato da un ipotetico viaggiatore spaziale particolarmente curioso senza particolari "traumi". Il problema è che poi questo non potrebbe più ritornare indietro a raccontare cosa ha visto. Ed in ogni caso, giusto il tempo di avvicinarsi sufficientemente, sarebbe stritolato dagli immensi gradienti di gravità presenti in prossimità della singolarità.
Quindi, non è corretto dire che un buco nero più acquisisce materia più rimpicciolisce. La singolarità è per definizione un punto e questa si ha all'interno di ogni buco nero a prescindere dalla sua massa. Anche la terra, se fosse sufficientemente compressa, diverrebbe un buco nero. Anche una mela! Piuttosto è l'orizzonte degli eventi ad ingrandirsi all'aumentare della massa acquisita dal buco nero.
Cordiali Saluti,
Marcello
citazione:
...Non mi lascerò trascinare in infinite e sterili discussioni sulla validità della relatività generale.
...
mai dire mai:-)
citazione:
...Tutta la materia sarebbe costretta a collassare in una singolarità avente densità infinità.
...Quindi, non è corretto dire che un buco nero più acquisisce materia più rimpicciolisce. La singolarità è per definizione un punto e questa si ha all'interno di ogni buco nero a prescindere dalla sua massa.
...
Quindi densità infinita = volume puntiforme
bene bene... ma non contrasta con le osservazioni astronomiche questa affermazione?
Ho visionato qualche foto tempo fa, soprattutto l'ultima eccezionale immagine di un buco nero che fagocita una stella... bellissima! E' sempre distinguibile un zona identificabile come un buco e quindi con un diametro molto preciso.
PS
Dimenticavo di porre il quesito... per Goblyn, direi che è l'unico in grado di risolvere il problema:
Quale misura, oltre la quale si dovesse espandere l'orizzonte degli eventi, provocherebbe l'esplosione del corpo celeste?
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 17:42:15
Bhé! Fintanto che non te ne uscirai con affermazioni del tipo "Einstein doveva cambiare mestiere" oppure del tipo "Einstein scriveva romanzi di fantascienza" si può discutere. Ma se verrà oltrepassata la soglia della ragionevolezza io ravviserò gli estremi di sterilità e mi tirerò fuori dalla discussione.
Innanzi tutto i buchi neri non sono mai stati avvistati direttamente. L'immagine a cui fai riferimento probabilmente è solo una rappresentazione schematica realizzata da qualche artista. Le prove dell'esistenza dei buchi neri sono solo indirette. Ed in ogni caso, come ho già detto, dalla porzione di spazio racchiusa dall'orizzonte degli eventi (la formula del raggio è quella ottenuta da goblyn) non può fuoriuscire niente, luce compresa. Quella porzione finita di spazio apparirebbe dunque completamente nera.
Innanzi tutto i buchi neri non sono mai stati avvistati direttamente. L'immagine a cui fai riferimento probabilmente è solo una rappresentazione schematica realizzata da qualche artista. Le prove dell'esistenza dei buchi neri sono solo indirette. Ed in ogni caso, come ho già detto, dalla porzione di spazio racchiusa dall'orizzonte degli eventi (la formula del raggio è quella ottenuta da goblyn) non può fuoriuscire niente, luce compresa. Quella porzione finita di spazio apparirebbe dunque completamente nera.
Butto lì degli spunti dei quali però ne so poco o nulla.
Hawking ha sviluppato una teoria secondo la quale un buco nero emette radiazione e.m. Non ne so altro, ma penso che una ricerca su internet possa essere utile.
Inoltre so che un certo Kerr ha sviluppato una teoria che assegna un momento angolare e una carica al buco nero, tale teoria è più completa delle precedenti e le comprende (nel senso che facendo tendere carica e momento angolare a 0 riotteniamo la teoria di schwarzshild.
Hawking ha sviluppato una teoria secondo la quale un buco nero emette radiazione e.m. Non ne so altro, ma penso che una ricerca su internet possa essere utile.
Inoltre so che un certo Kerr ha sviluppato una teoria che assegna un momento angolare e una carica al buco nero, tale teoria è più completa delle precedenti e le comprende (nel senso che facendo tendere carica e momento angolare a 0 riotteniamo la teoria di schwarzshild.
Cerco la foto e la posto...
Cerco di trattenermi su Einstein, mi concederai qualche battuta spero...
Non credo di aver capito:
L'orizzonte degli eventi non è quindi il raggio critico?
PS x Goblyn
La tua risposta è "non lo so", mi basta grazie
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 18:11:12
Cerco di trattenermi su Einstein, mi concederai qualche battuta spero...
Non credo di aver capito:
L'orizzonte degli eventi non è quindi il raggio critico?
PS x Goblyn
La tua risposta è "non lo so", mi basta grazie
Modificato da - cannigo il 29/02/2004 18:11:12
cannigo, a dire il vero non ho capito bene la domanda. Alla quale poi non saprò rispondere.
tra noi due capita spesso di non capirsi:-) Per me fa lostesso.
x jeckyll
una stella che raggiunge un volume avente per raggio una misura critica collassa, questo raggio critico raggiunto prima del collassamento è o non è il cosiddetto orizzonte degli eventi?
una stella che raggiunge un volume avente per raggio una misura critica collassa, questo raggio critico raggiunto prima del collassamento è o non è il cosiddetto orizzonte degli eventi?
Beh se vuoi riformulare la domanda fallo pure!
Goblyn, il mio era un modo per chiamare in causa la teoria del Big Bang, casomai ne riparliamo in altra sede.
Niente, non trovo più l'immagine, provo a descriverla, si tratta della rielaborazione computerizzata di una spettrografia:
Una massa circolare rossa di diametro 'a' dalla quale si stacca una lingua sempre rossa che spiraleggia attorno ad un buco nero (ellittico) di diametro massimo 1/2'a' ad una distanza 3/2'a' dalla stella.
Fai tu jeckyll ma per me non ci sono dubbi che si tratt idi un vortice.
Una massa circolare rossa di diametro 'a' dalla quale si stacca una lingua sempre rossa che spiraleggia attorno ad un buco nero (ellittico) di diametro massimo 1/2'a' ad una distanza 3/2'a' dalla stella.
Fai tu jeckyll ma per me non ci sono dubbi che si tratt idi un vortice.
Ok! Facciamo un po' d'ordine. In primo luogo goblyn ha ragione. La soluzione delle equazioni di Einstein risolte da Schwarzschild sono quelle relative al "semplice" caso del collasso gravitazionale di un corpo sferico. Questo caso, tuttavia, risulta essere troppo semplice per descrivere una realtà estremamente complessa quale quella di una stella. In questo momento ho sottomano il testo "Teoria dei campi" di Landau e Lifsits (un classico della fisica) in cui vengono fornite le soluzioni alle equazioni di Einstein anche per il collasso gravitazionale di sfere incoerenti, di corpi non sferici e corpi rotanti. So anche che esistono studi sui collassi gravitazionali di corpi aventi campi magnetici. In sostanza tutte queste soluzioni sono accomunate da due cose. La prima è l'orizzonte degli eventi e la seconda è la singolarità all'interno dell'orizzonte degli eventi. Conseguentemente, ai fini di questa discussione che, come temevo, si è inopportunamente creata all'interno di un thread che dovrebbe contenere solo giochi e quesiti matematici (me ne assumo comunque la responsabilità: sapevo a cosa stavo andando incontro), va comunque bene quanto finora detto sulla soluzione di Schwarzschild.
In relazione a quanto richiesto da cannigo a goblyn posso provare a rispondere io. I buchi neri non esplodono per quanto immenso possa essere l'orizzonte degli eventi che, come si vede dalla formula ottenuta da goblyn, nel caso più semplice si può pensare come una sfera avente un raggio direttamente proporzionale alla massa della materia contenuta al suo interno. Al massimo, come ha già accennato goblyn, un buco nero può "evaporare" in tempi talmente lunghi che, al confronto, la presunta età dell'universo sarebbe solo un "attimo" (mi sia concessa questa licenza). Hawking ha infatti scoperto che un buco nero non è propriamente del tutto "nero". Esso emette una leggera radiazione dovuta alle fluttuazioni quantistiche di campo che si hanno in prossimità dell'orizzonte degli eventi. Tale radiazione fa si che, in tempi incredibilmente lunghi, i buchi neri possano evaporare dissolvendosi del tutto.
Rispondo infine all'ultima domanda che mi ha posto cannigo (ultima almeno al momento in cui sto scrivendo): "una stella che raggiunge un volume avente per raggio una misura critica collassa; questo raggio critico raggiunto prima del collasso è o non è l'orizzonte degli eventi?”
Si, lo è. Tuttavia chiunque dovesse trovarsi ad attraversare l'orizzonte degli eventi (rileggendo questa frase mi è venuto da ridere) non troverà al di sotto la superficie della stella. Questa sarà già collassata in una singolarità al centro del buco nero.
Marcello
P.S. Alla prima battuta su Einstein io mi dileguo!
P.S.S. Il vortice a cui fai riferimento sta "fuori" dal buco nero.
In relazione a quanto richiesto da cannigo a goblyn posso provare a rispondere io. I buchi neri non esplodono per quanto immenso possa essere l'orizzonte degli eventi che, come si vede dalla formula ottenuta da goblyn, nel caso più semplice si può pensare come una sfera avente un raggio direttamente proporzionale alla massa della materia contenuta al suo interno. Al massimo, come ha già accennato goblyn, un buco nero può "evaporare" in tempi talmente lunghi che, al confronto, la presunta età dell'universo sarebbe solo un "attimo" (mi sia concessa questa licenza). Hawking ha infatti scoperto che un buco nero non è propriamente del tutto "nero". Esso emette una leggera radiazione dovuta alle fluttuazioni quantistiche di campo che si hanno in prossimità dell'orizzonte degli eventi. Tale radiazione fa si che, in tempi incredibilmente lunghi, i buchi neri possano evaporare dissolvendosi del tutto.
Rispondo infine all'ultima domanda che mi ha posto cannigo (ultima almeno al momento in cui sto scrivendo): "una stella che raggiunge un volume avente per raggio una misura critica collassa; questo raggio critico raggiunto prima del collasso è o non è l'orizzonte degli eventi?”
Si, lo è. Tuttavia chiunque dovesse trovarsi ad attraversare l'orizzonte degli eventi (rileggendo questa frase mi è venuto da ridere) non troverà al di sotto la superficie della stella. Questa sarà già collassata in una singolarità al centro del buco nero.
Marcello
P.S. Alla prima battuta su Einstein io mi dileguo!
P.S.S. Il vortice a cui fai riferimento sta "fuori" dal buco nero.
...troppo affascinanti questi temi...
SInceramente invidio la vostra (per "vostra" intendo di "chi ha studiato l'argomento") sicurezza scientifica (="religiosa") nel riportare teorie zoppicanti, l'astuzia di Einstein, e visti i suoi precedenti lavorativi conosceva tutti i trucchi del mestiere, è stata quella di creare un marasma teorico matematicamente inattaccabile e compatibile con le precedenti teorie più accreditate, quelle di Einstein non sono elucubrazioni vaneggianti partite da un'idea che si voleva dimostrare a tutti i costi come il Big Bang o la struttura atomica di Rutherford (entrambe le teorie sono matematicamente parlando delle castronerie) ma costruzioni matematiche estremamente fantasiose (e non è un caso che siano compatibili con la gravitazione universale ma una cosa cercata e trovata) per giustificare fenomeni incomprensibili.
Comunque complimenti a tutti e due, ne sapete a pacchi:-)
Comunque complimenti a tutti e due, ne sapete a pacchi:-)
Bye-bye!
Modificato da - Jeckyll il 01/03/2004 11:59:15
Modificato da - Jeckyll il 01/03/2004 11:59:15
Mi sono perso il pre Bye-bye!
The End!
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