Problemi di geometria solida

[pegasus]

1) Il rapporto tra la base e l'altezza di un triangolo è 5/7 e la loro somma è 348 cm. Calcola il perimetro del rombo equivalente al triangolo, sapendo che la sua altezza misura 116 cm. [ 507,5 cm ]
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2) Il lato obliguo di un trapezio rettangolo misura 20 cm e la forma con la base maggiore un angolo che misura 30°. Sapendo che la base minore è congruente all'altezza e che la base maggiore supera di 8 cm la base minore, calcola l'area del trapezio. [140 cm2 ]
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3) In un triangolo isoscele l'area è 768 cm2 e l'altezza è 3/8 della base. Calcola il perimetro del triangolo. [ 144 m ]

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4) Il perimetro di un triangolo isoscele è 216 cm e ciascuno dei lati obligui supera la base di 18 cm. Calcola l'area del triangolo. [2160 cm2 ]
Grazie :hi

[strangegirl97]

1° problema
Il problema ci fornisce la somma e il rapporto della base e dell'altezza del triangolo. Per risalire alle loro lunghezze si possono usare due metodi:

Metodo grafico
Disegniamo due segmenti che rappresentino la base e l'altezza del triangolo.
A|-----|-----|-----|-----|-----|B (base)
C|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|H (altezza)

Il segmento AB è formato da 5 segmentini congruenti, le unità frazionarie, mentre CH ne ha 7. Adesso dobbiamo costruire il segmento somma, che sarà lungo 348 cm.
A|-----|-----|-----|-----|-----|B≡C|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|H

Il segmento somma è formato da 12 unità frazionarie, poiché 5 + 7 = 12. Ora, quindi, possiamo determinare il valore di ciascuna unità frazionaria.
uf = AD : 12 = cm 348 : 12 = 29 cm

Ed infine si possono calcolare le lunghezze della base e dell'altezza:
AB = uf * 5 = cm 29 * 5 = 145 cm
CH = uf * 7 = cm 29 * 7 = 203 cm

Proprietà del comporre
In alternativa al metodo grafico puoi ricorrere alla proprietà del comporre delle proporzioni, che ti ho già spiegato qui.

Adesso dobbiamo determinare l'area del triangolo:

[math]A = \frac{AB * CH} {2} = \frac{145 * 203} {2} = \frac{\no{29435}^{14717,5}} {\no2^1} = 14717,5\;cm^2[/math]

Il triangolo e il rombo sono equivalenti, cioè hanno la stessa area. L'area del rombo si può calcolare determinando il semiprodotto delle diagonali oppure moltiplicando la misura del lato per quella dell'altezza:

[math]A = l * h[/math]

da cui ricaviamo

[math]l = \frac{A} {h}[/math]

. Perciò

[math]l = \frac{\no{14717,5}^{126,875}} {\no{116}^1} = 126,875\;cm[/math]

Ed infine calcola il perimetro.
Per gli altri problemi fra un po' ti dico.

Aggiunto 16 minuti più tardi:

2° problema



Puoi notare che l'altezza DH divide il nostro trapezio in due figure distinte: un triangolo rettangolo ed un quadrato. Il triangolo rettangolo AHD ha:
- come cateto maggiore la proiezione AH del lato obliquo;
- come cateto minore l'altezza DH del trapezio;
- come ipotenusa il lato obliquo AD.

L'angolo

[math]D\hat{A}H[/math]

, inoltre, è ampio 30°, quindi AHD equivale alla metà di un triangolo equilatero. Pertanto, l'ipotenusa AD è lunga il doppio del cateto minore. Ma allora:
DH = AD : 2 = cm 20 : 2 = 10 cm

Il problema afferma anche che l'altezza è congruente con la base minore, ossia ha la sua stessa lunghezza. Perciò anche la base minore CD è lunga 10 cm, 8 in meno della base maggiore, seguendo sempre il testo del problema. Di conseguenza:
AB = CD + (AB - CD) = cm 10 + 8 = 18 cm

Ricapitolando:
AB (base maggiore) = 18 cm
CD (base minore= = 10 cm
DH (altezza) = 10 cm

Non ti resta che calcolare l'area, servendoti della formula

[math]A = \frac{(b_1 + b_2) * h} {2}[/math]

Aggiunto 30 minuti più tardi:

D'accordo capo! :)

[BIT5]

Diciamo che gli altri 2, di contenuto analogo, ora puo' provare a svolgerli da solo e eventualmente a postare eventuali dubbi ;)