Problema su algebra lineare

[neril_s]

dal testo abbiamo V spazio vettoriale di dimensione 4 con f:V->V
f(e_1)=e_2+e_3+2e_4
f(e_2)=-2e_1-e_2+e_3
f(e_3)=3e_1+2e_2-e_3+e_4
f(e_1)=-e_1-e_2-e_4
1) scrivere la matrice che rappresenta f rispetto ai versori
2)calcolare rk(f) null(f)
(la seguente domanda è quella in cui ho difficoltà)
3)calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) dove
P=-e_1+e_3+e_4
L=2e_1+e_2-e_3
quindi la matrice rispetto ai versori credo sia la seguente :
[[0,-2,3,-1],[1,-1,2,-1],[1,1,-1,0],[2,0,1,-1]]
riduco poi la matrice a scalini per calcolarmi il rango:
[[1,1,-1,0],[0,-2,3,-1],[0,0,0,-0],[0,0,0,0]]
ho dunque rk=2 null=4-2=2
per calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) credo (e non ne sono sicura) di dover fare la cartesiana dell'immagine e la parametrica di P+L(B)
e intersecarle:
{(x_1+x_3-x_2=0),(x_1+2x_3-x_4=0)} cartesiana immagine
(-1+2t,t,1-t,1) parametrica di P+L(B)
facendo l'intersezione però mi viene che 0=0 che cosa vuol dire??? quanto è la dimensione???

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao neril_s, innanzitutto ben iscritta ;)

Con i tuoi calcoli hai trovato che ogni punto della retta

[math]P+L(B)[/math]

appartiene a

[math]Im(f)\\[/math]

.

Questo lo si poteva dire anche osservando che

[math]P\in Im(f),\; B\in Im(f)[/math]

, in quanto

[math]P,\,B[/math]

verificano le equazioni di

[math]Im(f)[/math]

, per cui

[math]Im(f)[/math]

contiene

[math]L(P,B)[/math]

che
contiene

[math]P+L(B)\\[/math]

.

Ora, dato che

[math]P=f(e_1+e_4)[/math]

e

[math]B=f(-e_2)[/math]

si ha

[math]f^{-1}(P+L(B))=e_1+e_4+L(-e_2)+ker(f)[/math]

,
dove

[math]L(-e_2)+ker(f)[/math]

è un sottospazio vettoriale di

[math]V[/math]

di dimensione

[math]dim(L(-e_2)+ker(f))=1+2-dim(L(-e_2)\cap ker(f))=3[/math]

,
visto che

[math]L(-e_2)\cap ker(f)=\{0\}\;.\\[/math]

Allora

[math]f^{-1}(P+L(B))=e_1+e_4+L(-e_2)+ker(f)[/math]

è un sottospazio
affine di

[math]V[/math]

di dimensione

[math]3[/math]

(con giacitura

[math]L(-e_2)+ker(f)\\[/math]

).

Spero sia chiaro :)