Zermelo e gli Insiemi
Se vi ponessero questo quesito:
P è l'insieme dei numeri pari e
U = {X appartenente a 2^N} | U contiene almeno tre numeri pari.}
A) U contenuto uguale in P
B) P contenuto uguale in U
C) P appartiene ad U
D) P-U = insiemevuoto
E) nessuna delle precedento risposte è corretta
.....innanzi tutto come interpretereste voi l' "N"? N devo prenderlo come generico valore o come insieme dei naturali?
.....poi se "X appartiene a: " allora X è sicuramente un elemento?
Ma X è un insieme non un elemento.
Quando scrivo {,2,3} appartiene a d A devo interpretare ciò come:
Gli elementi 1 2 e 3 appartengono ad A
Giusto!?
Un elemento di un insieme come è definito? , visto che sulle dispense ono ce l'hanno scritto......
...insomma faccio confusione tra appartenere a ed essere contenuto in ....
Potreste chiarirmi le idee?
Bemipefe
P è l'insieme dei numeri pari e
U = {X appartenente a 2^N} | U contiene almeno tre numeri pari.}
A) U contenuto uguale in P
B) P contenuto uguale in U
C) P appartiene ad U
D) P-U = insiemevuoto
E) nessuna delle precedento risposte è corretta
.....innanzi tutto come interpretereste voi l' "N"? N devo prenderlo come generico valore o come insieme dei naturali?
.....poi se "X appartiene a: " allora X è sicuramente un elemento?
Ma X è un insieme non un elemento.
Quando scrivo {,2,3} appartiene a d A devo interpretare ciò come:
Gli elementi 1 2 e 3 appartengono ad A
Giusto!?
Un elemento di un insieme come è definito? , visto che sulle dispense ono ce l'hanno scritto......
...insomma faccio confusione tra appartenere a ed essere contenuto in ....
Potreste chiarirmi le idee?
Bemipefe
Risposte
Sono daccordo con te .....ma allora perchè si può scrivere che un un insieme X appartiene all'inzieme delle parti di N ?
Cioè tu dici gli insiemi non sono elementi e B è un insieme quindi B è contenuto in A in quanto sottoinsieme ma non è un elemento e quindi non si può dire che appartiene ad A.
Ma io non sono sicuro di questo.......un insieme è anche un elemento o no?
Per l'esempio precedente SI!....cavolo lo si scrive esplicitamente X appartiene a .......
e poi si dice X contiene almento tre numeri pari , quindi X è un insieme. E l'insieme delle parti di N ha come "ELEMENTI" tutti i sottonsiemi di N. I sottoinsiemi sono elementi....
Garda qui:
P(N) = { {1} , {2} , {3} }
da qualche parte nelle dispense c'era scritto
{1} appartiene a P(N).
se scrivo X = {1} ne viene fuori che X appartiene a P(N).
Sei sicuro che un insieme non possa essere anche un elemento?
Hai capito dove stà il problema?
Bemipefe
Cioè tu dici gli insiemi non sono elementi e B è un insieme quindi B è contenuto in A in quanto sottoinsieme ma non è un elemento e quindi non si può dire che appartiene ad A.
Ma io non sono sicuro di questo.......un insieme è anche un elemento o no?
Per l'esempio precedente SI!....cavolo lo si scrive esplicitamente X appartiene a .......
e poi si dice X contiene almento tre numeri pari , quindi X è un insieme. E l'insieme delle parti di N ha come "ELEMENTI" tutti i sottonsiemi di N. I sottoinsiemi sono elementi....
Garda qui:
P(N) = { {1} , {2} , {3} }
da qualche parte nelle dispense c'era scritto
{1} appartiene a P(N).
se scrivo X = {1} ne viene fuori che X appartiene a P(N).
Sei sicuro che un insieme non possa essere anche un elemento?
Hai capito dove stà il problema?
Bemipefe
Guarda, ora vado un po' di fretta e mi limirto a farti un altro esempio.
Ti faccio l'esempio meno astratto e piu' stupido di tutti, sperando che ti sia da guida in altre situazioni.
Sia A l'insieme con i seguenti elementi: .
Sia B l'insieme con i seguenti elementi: cane, gatto.
Ora, e' chiaro che B e' contenuto in A perche' e' un suo sottinsieme (ogni elemento appartenente a B appartiene anche ad A).
Possiamo anche affermare che dato che l'elemento "cane" appartiene a B e B e' contenuto in A allora "cane" e' anche un elemento di A.
Quello che' invece e' sbagliato e' affermare che B appartiene ad A. Se cosi' fosse, allora B sarebbe un elemento di A; ma gli elementi di A sono solamente: cane, gatto, oca; e chiaramente il sottinzieme B non e' ne un cane, ne un gatto e neanche un oca, e pertanto non e' un elemento di A, quindi non vi appartiene.
Platone
Ti faccio l'esempio meno astratto e piu' stupido di tutti, sperando che ti sia da guida in altre situazioni.
Sia A l'insieme con i seguenti elementi: .
Sia B l'insieme con i seguenti elementi: cane, gatto.
Ora, e' chiaro che B e' contenuto in A perche' e' un suo sottinsieme (ogni elemento appartenente a B appartiene anche ad A).
Possiamo anche affermare che dato che l'elemento "cane" appartiene a B e B e' contenuto in A allora "cane" e' anche un elemento di A.
Quello che' invece e' sbagliato e' affermare che B appartiene ad A. Se cosi' fosse, allora B sarebbe un elemento di A; ma gli elementi di A sono solamente: cane, gatto, oca; e chiaramente il sottinzieme B non e' ne un cane, ne un gatto e neanche un oca, e pertanto non e' un elemento di A, quindi non vi appartiene.
Platone
Scusa Platone ma non riesco a definire proprio, in modo definitivo l'uso di "appartiene a" e di "contenuto in".
Se A è contenuto in B tu dici che non è vero che B appartiene a A.
Perche?
Secondo quello che ho studiato, un insieme può essere anche un elemento. Quindi B può essere un elemento di A perchè stà dentro A.
Quando dici che prendendo I come insieme delle parti dell'insieme P, e dici che un terzo insieme T appartiene a I, e questo l'hai affermato anche tu, metti automaticametne T tra l'elenco degli elementi di I .
Si è vero i ha solo insiemi come elementi. Ma questo non toglie che se il nostro A ha come sottoinsieme B allora B appartiene ad A, perchè lo stesso scrivi quando parli di I e T, cioè dici T appartiene a I, e potresti dire allora anche che T è contenuto in I coiè lo stesso che dire T è un sottoinsieme di I.
Se puoi farlo con T e con I non vedo perchè risulti contraddittorio con A e B, semplici insiemi.
Devi aiutarmi a "sbrogliare la matassa", perchè come ti ho detto non sò quando usare uno o l'altro operatore, non esiste una regola che eviti contraddizioni?
Bemipefe
Se A è contenuto in B tu dici che non è vero che B appartiene a A.
Perche?
Secondo quello che ho studiato, un insieme può essere anche un elemento. Quindi B può essere un elemento di A perchè stà dentro A.
Quando dici che prendendo I come insieme delle parti dell'insieme P, e dici che un terzo insieme T appartiene a I, e questo l'hai affermato anche tu, metti automaticametne T tra l'elenco degli elementi di I .
Si è vero i ha solo insiemi come elementi. Ma questo non toglie che se il nostro A ha come sottoinsieme B allora B appartiene ad A, perchè lo stesso scrivi quando parli di I e T, cioè dici T appartiene a I, e potresti dire allora anche che T è contenuto in I coiè lo stesso che dire T è un sottoinsieme di I.
Se puoi farlo con T e con I non vedo perchè risulti contraddittorio con A e B, semplici insiemi.
Devi aiutarmi a "sbrogliare la matassa", perchè come ti ho detto non sò quando usare uno o l'altro operatore, non esiste una regola che eviti contraddizioni?
Bemipefe
Partiamo dalla fine.
Spesso in matematica per dimostrare che due cose sono uguali si dimostra prima che una e' minore uguale dell'altra e poi che anche quest'ultima e' minore uguale della prima: allora non c'e' scampo, l'unica possibilita' per non entrare in contradizione e' che siano uguali.
E' la stessa cosa con gli insiemi, solo che al posto del minore uguale, si usa il contenimento.
Per quanto riguarda le parti di un insieme, e' vero che l'insieme A appartiene all'insieme delle sue parti, ma dire questo e' diverso dal dire che A appartiene ad A! Le parti di A sono per definizione tutti i possibili sottinsiemi di A, e quindi esso e' un insieme di insiemi (anche se nella teoria di Zermelo tutto puo' essere visto come un insieme).
Anche per quanto riguardo i sottinsiemi, e' vero che se B e un sottinsieme di A allora se x appartiene a B allora appartiene anche ad A, ma cio' che non e' vero e' che B appartiene ad A: B e' un sottoinsieme di A>
Analogamente se vedi il fascio di rette come insieme di punti, allora i punti sono elementi del fascio, ma le rette no, queste ora sono sottinsiemi del fascio.
Platone
Spesso in matematica per dimostrare che due cose sono uguali si dimostra prima che una e' minore uguale dell'altra e poi che anche quest'ultima e' minore uguale della prima: allora non c'e' scampo, l'unica possibilita' per non entrare in contradizione e' che siano uguali.
E' la stessa cosa con gli insiemi, solo che al posto del minore uguale, si usa il contenimento.
Per quanto riguarda le parti di un insieme, e' vero che l'insieme A appartiene all'insieme delle sue parti, ma dire questo e' diverso dal dire che A appartiene ad A! Le parti di A sono per definizione tutti i possibili sottinsiemi di A, e quindi esso e' un insieme di insiemi (anche se nella teoria di Zermelo tutto puo' essere visto come un insieme).
Anche per quanto riguardo i sottinsiemi, e' vero che se B e un sottinsieme di A allora se x appartiene a B allora appartiene anche ad A, ma cio' che non e' vero e' che B appartiene ad A: B e' un sottoinsieme di A>
Analogamente se vedi il fascio di rette come insieme di punti, allora i punti sono elementi del fascio, ma le rette no, queste ora sono sottinsiemi del fascio.
Platone
Ok "Platone" ......Ma se quello che dici è vero allora perchè nell'esercizio che ho postato all'inizio si scirve che un inzieme appartiene alle parti di N ?
Sarai daccordo se ti dico che P(N) (l'insieme delle parti ) ha come elemento l'insieme X......quindi X appartiene a P(N).
E poi con due inziemi A e B io sò che se B è un sottoinzieme di A ed esiste un x appartenente a B allora quell'x appartiene anche ad A. Questo stà nella definizione di sottoinsieme e non lo puoi negare.
E poi anche il fascio di rette è costituito da punti.......in particolare dall'insieme dei punti che costituiscono le rette del fascio.
Quindi se un punto appartiene ad una retta è vero che può non appartenere ad un altra, tuttavia questo punto appartiene sempre e comunque al fascio di rette cioè all'insieme che ha per elementi "le rette", le quali sono insiemi contenenti punti.
Per la figura volevo solo una dimostrazione o melgio una spiegazione del perchè si dice che:
A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A
Bemipefe
Sarai daccordo se ti dico che P(N) (l'insieme delle parti ) ha come elemento l'insieme X......quindi X appartiene a P(N).
E poi con due inziemi A e B io sò che se B è un sottoinzieme di A ed esiste un x appartenente a B allora quell'x appartiene anche ad A. Questo stà nella definizione di sottoinsieme e non lo puoi negare.
E poi anche il fascio di rette è costituito da punti.......in particolare dall'insieme dei punti che costituiscono le rette del fascio.
Quindi se un punto appartiene ad una retta è vero che può non appartenere ad un altra, tuttavia questo punto appartiene sempre e comunque al fascio di rette cioè all'insieme che ha per elementi "le rette", le quali sono insiemi contenenti punti.
Per la figura volevo solo una dimostrazione o melgio una spiegazione del perchè si dice che:
A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A
Bemipefe
Non ho ben capito cosa chiedi.
Cmq in generale un sottoinsieme di un insieme non e' un suo elemento.Cosi' come in generale un elemento di un elemento di un insieme non e' anche un elemento di quest'ultimo insieme. Un esempio banale: un fascio di rette e' un insieme di rette; un elemento di questo insieme e' una retta; ora vedento la retta come insieme i suoi elementi sono i punti; ma un punto di una di queste rette non e' anche un elemento del fascio di rette!
Per quanto riguarda la questione degli insiemi inpropri, in riferimento alla figura che hai postato (seppur non l'ho ben capita), posso anche aggiungere che nei casi in cui un insieme e' anche un elemento di se stesso si dice che l'insieme e' malfondato, e c'e' chi non li considera neanche insiemi, ma classi.
Platone
Cmq in generale un sottoinsieme di un insieme non e' un suo elemento.Cosi' come in generale un elemento di un elemento di un insieme non e' anche un elemento di quest'ultimo insieme. Un esempio banale: un fascio di rette e' un insieme di rette; un elemento di questo insieme e' una retta; ora vedento la retta come insieme i suoi elementi sono i punti; ma un punto di una di queste rette non e' anche un elemento del fascio di rette!
Per quanto riguarda la questione degli insiemi inpropri, in riferimento alla figura che hai postato (seppur non l'ho ben capita), posso anche aggiungere che nei casi in cui un insieme e' anche un elemento di se stesso si dice che l'insieme e' malfondato, e c'e' chi non li considera neanche insiemi, ma classi.
Platone
Un altra domanda:
Nella definizione di insieme equivalente si dice che:
A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A
Ora ....io non ho trovato alro modo di spiegare questa definizione oltre a questo:
Visto che i due insiemi hanno cone sottoinsiemi impropri i loro stessi insiemi, allora se A = B e se
A = {1}
B = {1}
allora ci sara in A un insieme, quindi un sottoinsieme tale che 1 appartiene a questo insieme. Questo insieme è l'insieme improprio di A ed è uguale a B, quindi B è effettivamente un sottoinsieme di A ossia è contenuto in A.
Lo stesso succede in modo simmetrico per l'insieme B....
Ora aclune domande:
1) Quanto senso ha quello che ho detto?
2) Se B è un sottoinsieme di A allora B è anche un elemento di A, quidni posso scrivere anche B appartiene A?
3) L'insieme inprorpio di A cioè oltre a l'insieme vuoto, A stesso, non contiene anche gli insiemi impropri di A?
Cioè il sottoinsieme improrpio per essere A stesso, deve contenere anche gli insiemi impropri di A, ma se si fà così si và in un loop (ciclo) infinito, in quanto se il sottoinsieme improrpio contiene anche il sottoinsieme improrpio di A allora anche questo conterra A e così il successivo...... senza mai fermarsi.
Bemipefe
Nella definizione di insieme equivalente si dice che:
A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A
Ora ....io non ho trovato alro modo di spiegare questa definizione oltre a questo:
Visto che i due insiemi hanno cone sottoinsiemi impropri i loro stessi insiemi, allora se A = B e se
A = {1}
B = {1}
allora ci sara in A un insieme, quindi un sottoinsieme tale che 1 appartiene a questo insieme. Questo insieme è l'insieme improprio di A ed è uguale a B, quindi B è effettivamente un sottoinsieme di A ossia è contenuto in A.
Lo stesso succede in modo simmetrico per l'insieme B....
Ora aclune domande:
1) Quanto senso ha quello che ho detto?
2) Se B è un sottoinsieme di A allora B è anche un elemento di A, quidni posso scrivere anche B appartiene A?
3) L'insieme inprorpio di A cioè oltre a l'insieme vuoto, A stesso, non contiene anche gli insiemi impropri di A?
Cioè il sottoinsieme improrpio per essere A stesso, deve contenere anche gli insiemi impropri di A, ma se si fà così si và in un loop (ciclo) infinito, in quanto se il sottoinsieme improrpio contiene anche il sottoinsieme improrpio di A allora anche questo conterra A e così il successivo...... senza mai fermarsi.
Bemipefe
Concordo "Luca.Lussardi" e vi ringrazio per la spiegazione.
In ogni caso a me non era stata spiegata assolutamente questo tipo di notazione , quindi non vedo come all'esame il prof. se ne possa uscire con questo "linguaggio" sconosciuto.....e capire il testo è ahimè fondamentale. Purtroppo a volte escono queste cose strane e tu ovviamente non sai come inpetepretare quel mucchio di caratteri così vai per intutito ......e sbagli.
In ogni caso non mi piace come notazione, preferisco P(N) è più pulita e meno contraddittoria.
Io sinceramente non capisco come un "insieme" possa essere un esponente di una potenza......semmai la sua cardinalità o qualunque valore ricavabile da esso, ma non il nome dell''insieme che di per se non rappresenta nulla.
Bemipefe
In ogni caso a me non era stata spiegata assolutamente questo tipo di notazione , quindi non vedo come all'esame il prof. se ne possa uscire con questo "linguaggio" sconosciuto.....e capire il testo è ahimè fondamentale. Purtroppo a volte escono queste cose strane e tu ovviamente non sai come inpetepretare quel mucchio di caratteri così vai per intutito ......e sbagli.
In ogni caso non mi piace come notazione, preferisco P(N) è più pulita e meno contraddittoria.
Io sinceramente non capisco come un "insieme" possa essere un esponente di una potenza......semmai la sua cardinalità o qualunque valore ricavabile da esso, ma non il nome dell''insieme che di per se non rappresenta nulla.
Bemipefe
...come spesso accade in Matematica; molto frequentemente impariamo le cose non come sono nate ma come ad un professore piace spiegarle. L'importante e' comunque capire cio' che ci sta sotto, al di la' delle notazioni.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Si certo, era chiaro che in quel caso non poteva indicare l'insieme delle funzioni ecc, ma le parti di N.
Che dire, evidentemente e me la questione l'hanno spiegata "al rovescio".
Platone
Che dire, evidentemente e me la questione l'hanno spiegata "al rovescio".
Platone
L'origine della notazione 2^X per indicare l'insieme delle parti di X risiede nel fatto che se X e' finito con cardinalita' n, allora 2^X e' finito con cardinalita' 2^n.
Poi la notazione X^Y per indicare l'insieme delle funzioni da Y in X e' consistente con quella precedente per i motivi che dicevi anche tu.
2^X resta pero', come notazione originale, l'insieme delle parti di X; tra l'altro se cosi' non fosse non avrebbe nemmeno senso la domanda posta, poiche' non ha senso chiedere se una funzione contiene 3 numeri pari...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Poi la notazione X^Y per indicare l'insieme delle funzioni da Y in X e' consistente con quella precedente per i motivi che dicevi anche tu.
2^X resta pero', come notazione originale, l'insieme delle parti di X; tra l'altro se cosi' non fosse non avrebbe nemmeno senso la domanda posta, poiche' non ha senso chiedere se una funzione contiene 3 numeri pari...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca scusa la pignoleria, ma io sapevo che la notazione di un insieme elevato ad un altro indica l'insieme di tutte le funzioni da un insieme all'altro. Per esempio, siano M e E due insiemi, allora M^E indica l'insieme di tutte le funzioni da E a M.
Nel nostro caso allora 2 è un inzieme (nella teoria di Zermelo tutto viene visto e descritto tramite insiemi), e precisamente 2=[0,1] (le parentesi quadre vedetele come graffe, su queste tastiere eMac non soco come metterle), e più in generele si ha che ogni n appartenente a N è l'insieme n=[0,1,2,...,n-1]; allora 2^N è l'insieme di tutte le funzioni con dominio N e immagine in 0 e 1.
Poi si dimostra che questo insieme e le parti di N sono in corrispondenza biunivoca (cioè hanno al stessa cardinalità) e quindi spesso si usa la notazione 2^N per indicare le parti di N (anche se a dir la verità io l'ho trovata più che altro per indicare la cardinalità delle parti di N).
Ad ogni modo Bemipefe, premesso ciò (e se lo trovi complicato o poco chiaro non preoccuoarti, non è così essenziale per la tua domanda) il resto è come ti ha detto Luca.
Platone
Nel nostro caso allora 2 è un inzieme (nella teoria di Zermelo tutto viene visto e descritto tramite insiemi), e precisamente 2=[0,1] (le parentesi quadre vedetele come graffe, su queste tastiere eMac non soco come metterle), e più in generele si ha che ogni n appartenente a N è l'insieme n=[0,1,2,...,n-1]; allora 2^N è l'insieme di tutte le funzioni con dominio N e immagine in 0 e 1.
Poi si dimostra che questo insieme e le parti di N sono in corrispondenza biunivoca (cioè hanno al stessa cardinalità) e quindi spesso si usa la notazione 2^N per indicare le parti di N (anche se a dir la verità io l'ho trovata più che altro per indicare la cardinalità delle parti di N).
Ad ogni modo Bemipefe, premesso ciò (e se lo trovi complicato o poco chiaro non preoccuoarti, non è così essenziale per la tua domanda) il resto è come ti ha detto Luca.
Platone
2^N e' una notazione che viene usata per indicare l'insieme delle parti di N. Quindi U e' un sottoinsieme dell'insieme delle parti di N. Gli elementi di U sono quindi sottoinsiemi di N. In particolare sono tutti quei sottoinsiemi che contengono almeno tre numeri pari.
Ne segue che A,B e D non hanno senso, poiche' gli elementi di U sono insiemi e non numeri naturali. La C e' corretta poiche' P e' un sottoinsieme di N che contiene almeno 3 numeri pari, quindi sta in U.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Ne segue che A,B e D non hanno senso, poiche' gli elementi di U sono insiemi e non numeri naturali. La C e' corretta poiche' P e' un sottoinsieme di N che contiene almeno 3 numeri pari, quindi sta in U.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
La definizione di elemento è data dalla definizione di insieme.
L'insieme è una "collezione" di oggetti ben definiti...chiamati,appunto,elementi.
L'elemento può,altresì,essere un insieme vedi l'insieme delle parti dove dato un insieme A si dice insieme delle parti di A un insieme che ha per "elementi" tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare a partire dall'insieme A.
L'insieme è una "collezione" di oggetti ben definiti...chiamati,appunto,elementi.
L'elemento può,altresì,essere un insieme vedi l'insieme delle parti dove dato un insieme A si dice insieme delle parti di A un insieme che ha per "elementi" tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare a partire dall'insieme A.
...all'iniziomi sono sbagliato
U = {X appartenente a 2^N | X contiene almeno tre numeri pari.}
Bemipefe
U = {X appartenente a 2^N | X contiene almeno tre numeri pari.}
Bemipefe
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