\(V\cong\mathbb{R}^n\)
Ciao a tutti!
Il mio libro di analisi usa spesso la notazione \(V\cong\mathbb{R}^n\) per uno spazio vettoriale. Significa che è un $RR$-spazio vettoriale n-dimensionale, tale cioè che, detta \({\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n}\) una base di $V$, si ha che \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\in V \iff x_1,...x_n\in\mathbb{R}\)?
Grazie a tutti!!!
Il mio libro di analisi usa spesso la notazione \(V\cong\mathbb{R}^n\) per uno spazio vettoriale. Significa che è un $RR$-spazio vettoriale n-dimensionale, tale cioè che, detta \({\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n}\) una base di $V$, si ha che \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\in V \iff x_1,...x_n\in\mathbb{R}\)?
Grazie a tutti!!!
Risposte
$+oo$ grazie anche a te!!!
E' noto (lo dimostrerai sicuramente, se non l'hai già visto) che:
due spazi vettoriali sono isomorfi $<=>$ hanno la stessa dimensione.
In particolare, preso $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$, puoi far vedere facilmente che esso è isomorfo a $RR^n$: basta scegliere una base $(e_i)_i$ su $V$ e assegnare l'isomorfismo $v=\sum a_i e_i \mapsto (a_1,...,a_n)$.
Quindi, assegnato un qualunque spazio vettoriale reale di dimensione $n$, puoi sicuramente far vedere che questo è isomorfo a $RR^n$: allora si taglia la testa al toro e si studia direttamente lo spazio vettoriale $RR^n$. Questo è il senso di quell'isomorfismo detto dal libro.
due spazi vettoriali sono isomorfi $<=>$ hanno la stessa dimensione.
In particolare, preso $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$, puoi far vedere facilmente che esso è isomorfo a $RR^n$: basta scegliere una base $(e_i)_i$ su $V$ e assegnare l'isomorfismo $v=\sum a_i e_i \mapsto (a_1,...,a_n)$.
Quindi, assegnato un qualunque spazio vettoriale reale di dimensione $n$, puoi sicuramente far vedere che questo è isomorfo a $RR^n$: allora si taglia la testa al toro e si studia direttamente lo spazio vettoriale $RR^n$. Questo è il senso di quell'isomorfismo detto dal libro.
$+oo$ grazie! 
$+oo$ grazie di tutto, Kashaman!!!
Se si tratta allora di un isomorfismo \(\phi:V\to K^n\) con $K$ campo direi che si possa definire come
\[\phi(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})+\phi(\mathbf{b})\]\[\phi(k\mathbf{a})=k\phi(\mathbf{a})\text{ }\forall (k,\mathbf{a})\in K×V\]
(Non cito l'unitarietà perché non credo sia definito un vettore $1_V$ come l'1 dei domini d'integrità.) \(\phi\) è chiaramente biiettiva perché ad ogni n-upla di coordinate diversa corrisponde un solo vettore e ha per immagine tutto $V$.
Sì, non vedo proprio l'ora di approfondire questi concetti e non solo. Trovo l'algebra -come ogni altra branca della matematica- estremamente affascinante... Appena posso faccio un salto in libreria...
Grazie ancora!
Se si tratta allora di un isomorfismo \(\phi:V\to K^n\) con $K$ campo direi che si possa definire come
\[\phi(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})+\phi(\mathbf{b})\]\[\phi(k\mathbf{a})=k\phi(\mathbf{a})\text{ }\forall (k,\mathbf{a})\in K×V\]
(Non cito l'unitarietà perché non credo sia definito un vettore $1_V$ come l'1 dei domini d'integrità.) \(\phi\) è chiaramente biiettiva perché ad ogni n-upla di coordinate diversa corrisponde un solo vettore e ha per immagine tutto $V$.
Sì, non vedo proprio l'ora di approfondire questi concetti e non solo. Trovo l'algebra -come ogni altra branca della matematica- estremamente affascinante... Appena posso faccio un salto in libreria...
Grazie ancora!
"DavideGenova":
Il mio testo usa questa espressione in contesti come ad esempio "ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ è parametrizzato con $n$ parametri liberi: \(V\cong\mathbb{R}^n\)"...
Purtroppo non ho ancora studiato nei particolari che cosa sia un isomorfismo: credo che il Sernesi, Geometria, che sto seguendo, affronti l'argomento, ma finora ne ho trovato solo una trattazione con domini e codomini dell'isomorfismo che siano domini d'integrità: \(f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}'\) con \(\mathbb{D}\) e \(\mathbb{D}'\) domini d'integrità si dice omomorfismo se
\[f(a+b)=f(a)+f(b)\]\[f(ab)=f(a)f(b)\text{ }\forall a,b\in \mathbb{D}\]\[f(1_{\mathbb{D}})=1_{\mathbb{D}'}\]
e l'omomorfismo $f$ si dice isomorfismo se ammette un omomorfismo inverso \(f^{-1}:\mathbb{D}'\to \mathbb{D}\)...
Quindi in questo caso in cui si ha $\phi:V\to RR^n$ non saprei come è definito l'isomorfismo, anche se a naso direi che, dette \(\mathbf{X}_\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) le coordinate di \(\mathbf{v}\in V\) (e analogamente per vettori di nome \(\mathbf{a},\mathbf{b}\)...) mi è chiaro che \(\mathbf{X}_{\mathbf{a}+\mathbf{b}}=\mathbf{X}_{\mathbf{a}}+\mathbf{X}_{\mathbf{b}}\) cioè che \(\phi(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})+\phi(\mathbf{b})\) (e anche che \(\mathbf{X}_{k\mathbf{a}}=k\mathbf{X}_{\mathbf{a}}\), se c'entrasse qualcosa), e $\phi:V\to RR^n$ è lineare, ma non saprei che cosa sia l'operazione per cui vale \(\phi(\mathbf{a}\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})\phi(\mathbf{b})\)...
$+oo$ grazie ancora a tutti!!!!
L'operazione che conserva il prodotto per scalare!
infatti. Un'applicazione lineare conserva la somma di vettori e il prodotto per scalare, se tale applicazione è biettiva si chiama isomorfismo.
Penso ti sia utile studiare sotto il punto di vista algebrico tali nozioni. sono interessanti.
Ti consiglio :
Algebra - I.N. Herstein
o un prodotto tipicamente italiano (lo uso tutt'ora è ottimo... molto elementare)
Piacentini - Cattaneo - Un'approccio algoritmico
oppure ,
qui trovi ottime dispense. Potresti incominciare ad approcciarti anche con i gruppi, anelli.(dispense algebra 1).
Il mio testo usa questa espressione in contesti come ad esempio "ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ è parametrizzato con $n$ parametri liberi: \(V\cong\mathbb{R}^n\)"...
Purtroppo non ho ancora studiato nei particolari che cosa sia un isomorfismo: credo che il Sernesi, Geometria, che sto seguendo, affronti l'argomento, ma finora ne ho trovato solo una trattazione con domini e codomini dell'isomorfismo che siano domini d'integrità: \(f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}'\) con \(\mathbb{D}\) e \(\mathbb{D}'\) domini d'integrità si dice omomorfismo se
\[f(a+b)=f(a)+f(b)\]\[f(ab)=f(a)f(b)\text{ }\forall a,b\in \mathbb{D}\]\[f(1_{\mathbb{D}})=1_{\mathbb{D}'}\]
e l'omomorfismo $f$ si dice isomorfismo se ammette un omomorfismo inverso \(f^{-1}:\mathbb{D}'\to \mathbb{D}\)...
Quindi in questo caso in cui si ha $\phi:V\to RR^n$ non saprei come è definito l'isomorfismo, anche se a naso direi che, dette \(\mathbf{X}_\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) le coordinate di \(\mathbf{v}\in V\) (e analogamente per vettori di nome \(\mathbf{a},\mathbf{b}\)...) mi è chiaro che \(\mathbf{X}_{\mathbf{a}+\mathbf{b}}=\mathbf{X}_{\mathbf{a}}+\mathbf{X}_{\mathbf{b}}\) cioè che \(\phi(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})+\phi(\mathbf{b})\) (e anche che \(\mathbf{X}_{k\mathbf{a}}=k\mathbf{X}_{\mathbf{a}}\), se c'entrasse qualcosa), e $\phi:V\to RR^n$ è lineare, ma non saprei che cosa sia l'operazione per cui vale \(\phi(\mathbf{a}\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})\phi(\mathbf{b})\)...
$+oo$ grazie ancora a tutti!!!!
Purtroppo non ho ancora studiato nei particolari che cosa sia un isomorfismo: credo che il Sernesi, Geometria, che sto seguendo, affronti l'argomento, ma finora ne ho trovato solo una trattazione con domini e codomini dell'isomorfismo che siano domini d'integrità: \(f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}'\) con \(\mathbb{D}\) e \(\mathbb{D}'\) domini d'integrità si dice omomorfismo se
\[f(a+b)=f(a)+f(b)\]\[f(ab)=f(a)f(b)\text{ }\forall a,b\in \mathbb{D}\]\[f(1_{\mathbb{D}})=1_{\mathbb{D}'}\]
e l'omomorfismo $f$ si dice isomorfismo se ammette un omomorfismo inverso \(f^{-1}:\mathbb{D}'\to \mathbb{D}\)...
Quindi in questo caso in cui si ha $\phi:V\to RR^n$ non saprei come è definito l'isomorfismo, anche se a naso direi che, dette \(\mathbf{X}_\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) le coordinate di \(\mathbf{v}\in V\) (e analogamente per vettori di nome \(\mathbf{a},\mathbf{b}\)...) mi è chiaro che \(\mathbf{X}_{\mathbf{a}+\mathbf{b}}=\mathbf{X}_{\mathbf{a}}+\mathbf{X}_{\mathbf{b}}\) cioè che \(\phi(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})+\phi(\mathbf{b})\) (e anche che \(\mathbf{X}_{k\mathbf{a}}=k\mathbf{X}_{\mathbf{a}}\), se c'entrasse qualcosa), e $\phi:V\to RR^n$ è lineare, ma non saprei che cosa sia l'operazione per cui vale \(\phi(\mathbf{a}\mathbf{b})=\phi(\mathbf{a})\phi(\mathbf{b})\)...
$+oo$ grazie ancora a tutti!!!!
spesso si usa per dire che è dato un $RR$-spazio vettoriale di dimensione n e un isomorfismo con $RR^n$ o, equivalentemente, che è stata scelta una base in $V$. Cioè è un dato di $(V, beta)$, con $beta$ base di $V$ oppure, è la stessa cosa, $(V, phi)$ con $phi$ isomorfismo $V -> RR^n$. E' un modo per parlare di matrici, eccetera, senza dover tutte le volte specificare "scelta una base"...
quel simbolo($\cong$ ) lo uso spesso per indicare un isomorfismo...
in che ambito lo usa il tuo libro d'analisi?
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