Utilità della matematica
Salve, è da un po' di tempo che penso a come è costituita la matematica e a come viene usata nella vita reale; ad esempio si usano molte formule per spiegare gran parte dei fenomeni che si possono osservare, come i moti dei pianeti o le forze...e secondo i miei insegnanti con la matematica è possibile spiegare e trovare una soluzione a tutto. Di conseguenza mi è sorto spontaneo un dubbio...la matematica è un' invenzione dell'uomo,il quale aveva bisogno di regolare la propria vita in modo migliore, e come tutte le invenzioni non può essere perfetta e senza errori. Di conseguenza come è possibile spiegare tutto con uno strumento imperfetto?
Spero possiate darmi una risposta, grazie
Spero possiate darmi una risposta, grazie
Risposte
[ot]off topic 
Chiedetelo agli studenti che non amano la matematica
Quando vai dal salumiere mica chiedi radical 4 etti di mortadella[/ot]
Chiedetelo agli studenti che non amano la matematica
Quando vai dal salumiere mica chiedi radical 4 etti di mortadella[/ot]
giusto..ormai a certe cose non si fa più caso
Ad esempio, l'insieme dei numeri interi non ha né un primo termine né un ultimo termine.
"gugo82":
In matematica i procedimenti del genere abbondano
Quale potrebbe essere un esempio?
Chiedi a me, povero mortale, di spiegare il problema della nostra esistenza?
Sei uno di poche pretese!
Ad ogni, non sono così presuntuoso da ritenere di avere la risposta ad un quesito che viene posto fin dagli albori dell'umanità.
Quindi dovrai accontentarti di un "boh".
Per quel che riguarda l'andare a ritroso all'infinito... Perché mai non dovrebbe essere possibile?
In matematica i procedimenti del genere abbondano, quindi non mi fa specie pensarli.
Il rifiuto di accettare tali processi è un retaggio pitagorico.
Sei uno di poche pretese!
Ad ogni, non sono così presuntuoso da ritenere di avere la risposta ad un quesito che viene posto fin dagli albori dell'umanità.
Quindi dovrai accontentarti di un "boh".
Per quel che riguarda l'andare a ritroso all'infinito... Perché mai non dovrebbe essere possibile?
In matematica i procedimenti del genere abbondano, quindi non mi fa specie pensarli.
Il rifiuto di accettare tali processi è un retaggio pitagorico.
"gugo82":
gli enti matematici non sono veri "a priori", ma sono la realizzazione logica degli assiomi su cui essi si basano.
Se cambiano gli assiomi, cambiano gli enti (il che vuol dire che cambiano le loro proprietà).
Conseguentemente, non c'è un ente matematico in cui un assioma "non valga": quell'assioma, se è tale, o c'è e vale come mattone fondamentale per sviluppare la teoria, oppure non c'è.
Ad esempio, come già detto, l'assioma della parallela non è presente tra assiomi della Geometria ellittica; quindi non ha senso chiedersi se esso sia un assioma valido in quel contesto.
ok credo di aver capito come funziona. Grazie gugo82 per avermi illuminato
In ogni caso ci sono ancora delle cose poco chiare, che riguardano più la logica che la matematica credo, come l'esempio che ho proposto riguardante la nostra esistenza. Come si può spiegare?
"seven":
Sono curioso.. quand'è che entriamo in contatto con qualcosa che abbiamo costruito noi e quando invece con qualcosa che non abbiamo costruito noi?
Basti pensare semplicemente alla nostra esistenza.
Una fenomeno non può avere inizio se precedentemente non è presente qualcosa che lo innesca. Quest'ultima deve essere innescata da qualcosa precedentemente esistente a sua volta innescata da qualcosa di precedentemente esistente e così via...
Seguendo questo ragionamento si dovrebbe andare a ritroso all'infinito, il che non è possibile perchè per quanto all'indietro si vada si troverebbe sempre qualcosa di precedentemente esistente...non so se mi spiego.
In ogni caso credo che qui non si parli più solo di matematica.
"maxy957":
[quote="gugo82"]Che vuol dire che un assioma è "corretto"?
Intendevo dire valido. Ad esempio l'assioma delle rette parallele non è valido in uno spazio sferico come quello di Riemann.[/quote]
Beh... Questo è il problema che cercavo di segnalarti prima.
Non è che l'assioma della parallela* non è valido perché quello di Riemann è uno spazio geometrico ellittico, ma il contrario: lo spazio geometrico di riemann è ellittico perché tra i suoi assiomi non c'è l'assioma della parallela.
Insomma, gli enti matematici non sono veri "a priori", ma sono la realizzazione logica degli assiomi su cui essi si basano.
Se cambiano gli assiomi, cambiano gli enti (il che vuol dire che cambiano le loro proprietà).
Conseguentemente, non c'è un ente matematico in cui un assioma "non valga": quell'assioma, se è tale, o c'è e vale come mattone fondamentale per sviluppare la teoria, oppure non c'è.
Ad esempio, come già detto, l'assioma della parallela non è presente tra assiomi della Geometria ellittica; quindi non ha senso chiedersi se esso sia un assioma valido in quel contesto.
Una cosa che può succedere (e che succede sempre quando si generalizzano le teorie matematiche), però, è che si può cercare di riguardare un assioma di una teoria assodata come una congettura, cioè come un "teorema in potenza" (che ha senso tentare di dimostrare), in una nuova teoria costruita facendo a meno di tale assioma.
Ad esempio, l'assioma della parallela può essere riguardato come congettura nella Geometria Ellittica.
In tal caso, sono possibili varie alternative:
[*:2rfkoc8s]o la congettura è dimostrabile, cioè è deducibile dagli assiomi della nuova teoria secondo le regole d'inferenza, ed assurge al rango di teorema;
[/*:m:2rfkoc8s]
[*:2rfkoc8s] oppure non la si può dimostrare né si può dimostrare il contrario, ed in tal caso si dice che essa è indimostrabile ed indipendente dagli assiomi della nuova teoria;
[/*:m:2rfkoc8s]
[*:2rfkoc8s] ovvero si trova un controesempio o si dimostra il contrario di quella congettura (il che è molto più raro), e perciò la congettura viene rigettata come proposizione falsa.[/*:m:2rfkoc8s][/list:u:2rfkoc8s]
L'assioma delle parallele è falso come congettura nella Geometria Ellittica, ergo esso è rigettato.
L'assioma della scelta è indimostrabile nella Teoria degli Insiemi; quindi esso viene di solito aggiunto agli assiomi di quella teoria.
La congettura di Fermat** è falsa nella Teoria dei Numeri (controesempio trovato da Eulero).
"maxy957":
[quote="gugo82"]Che vuol dire che una "regola di deduzione è sbagliata"?
Che vuol dire che "una regola di deduzione è vera"?
ipoteticamente, le regole di deduzione potrebbero anche non essere vere, faccio un esempio:
Esiste una macchina che produce chiavi inglesi difettose. Noi, avendo sempre usato quelle chiavi, le diamo per buone e costruiamo degli attrezzi compatibili con esse, ma non riusciamo a spiegarci il fatto che gli attrezzi che non abbiamo costruito noi non si prestino ad essere modificati con le nostre chiavi.
Lo stesso vale per la Matematica. Noi abbiamo generato delle chiavi, ovvero le regole di deduzione, per costruire con esse la nostra vita, Matematica compresa. Tuttavia incontriamo delle anomalie quando entriamo in contatto con ciò che non abbiamo costruito noi. E io mi chiedo, e se le nostre chiavi fossero difettose?
E' questo quello che intendevo.[/quote]
E cosa sarebbe "ciò che non abbiamo costruito noi"?
Ad ogni modo, cosa cambia in ciò che hai costruito se la chiave è difettosa o corretta?
Niente. Se esso si regge in piedi, continuerà a farlo anche se cambi chiave; se non lo è, crollerebbe comunque.
Insomma, l'esempio della chiave non è felicissimo.
Ritorno all'analogia che avevo proposto all'inizio, quella in cui paragono la Matematica ai LEGO.
In tale analogia, le regole d'inferenza erano le "nozioni base" secondo le quali montare i pezzi (tipo: "il pirulicchio di un mattoncino va dentro il buco di un altro", oppure "le stecchette a croce girano dentro i buchi", etc...).
Supponiamo che le cosiddette "teste d'uovo" della LEGO decidano, per qualche buona ragione, di cambiare alcune delle "nozioni base" dell'assemblaggio: ad esempio, supponiamo che si rendano conto che è meglio costruire seguendo la regola "il pirulicchio di un mattoncino deve essere fissato nel buco di un altro con l'adesivo UHU".***
Cosa cambia?
Praticamente nulla circa l'esistente: le cose che si reggevano in piedi con la vecchia nozione di assemblaggio, cioè senza adesivo, continueranno a reggersi.
Quello che davvero cambia con le nuove regole, cioè con l'adesivo, è che potranno realizzarsi costruzioni non possibili prima.
__________
* Con questo nome intendo battezzare la proposizione: "Dato un punto $P$ ed una retta $r$ non passante per esso, esiste un'unica retta condotta per $P$ che non interseca $r$".
** Intendo la proposizione (di Fermat): "Tutti i numeri naturali del tipo \(2^{2^n}+1\) sono primi".
*** Questo esempio serve anche per farti capire che le regole di inferenza non cambiano (né sono mai state cambiate) in direzioni inaspettate, rivoluzionarie. Fondamentalmente, ci muoviamo sempre lungo il sentiero tracciato da Aristotele quasi 2400 anni fa e risalente agli albori dell'umanità (perché nemmeno Aristotele s'era inventato nulla: lui ha avuto solo il merito di sistematizzare conoscenze precedenti).
Sono curioso.. quand'è che entriamo in contatto con qualcosa che abbiamo costruito noi e quando invece con qualcosa che non abbiamo costruito noi?
Un assioma è valido all'interno di una Teoria, punto.
Che intendi per spazio sferico? semplicemente l'idea che hai di spazio sferico
viene astratta matematicamente con alcuni assiomi (forse sarebbe più opportuno parlare di postulati) differenti rispetto a quelli della teoria euclidea ( che tu diresti valida in uno spazio piano... )
Quindi non confondere la validità fisica (in questo caso) di un assioma (meglio, postulato)
per esempio in uno spazio che dici sferico, con la validità dell'assioma nella teoria.
La validità di cui parli tu probabilmente si riferisce alla congruenza tra i risultati sperimentali,
e quelli teorici; ma qui stiamo parlando di matematica, la validità è riferità all'interno di una teoria
e non al contesto in cui la si applica.
Spero di aver interpretato bene la tua domanda
Un assioma è valido all'interno di una Teoria, punto.
Che intendi per spazio sferico? semplicemente l'idea che hai di spazio sferico
viene astratta matematicamente con alcuni assiomi (forse sarebbe più opportuno parlare di postulati) differenti rispetto a quelli della teoria euclidea ( che tu diresti valida in uno spazio piano... )
Quindi non confondere la validità fisica (in questo caso) di un assioma (meglio, postulato)
per esempio in uno spazio che dici sferico, con la validità dell'assioma nella teoria.
La validità di cui parli tu probabilmente si riferisce alla congruenza tra i risultati sperimentali,
e quelli teorici; ma qui stiamo parlando di matematica, la validità è riferità all'interno di una teoria
e non al contesto in cui la si applica.
Spero di aver interpretato bene la tua domanda
"gugo82":
Che vuol dire che un assioma è "corretto"?
Intendevo dire valido. Ad esempio l'assioma delle rette parallele non è valido in uno spazio sferico come quello di Riemann.
"gugo82":
Che vuol dire che una "regola di deduzione è sbagliata"?
Che vuol dire che "una regola di deduzione è vera"?
ipoteticamente, le regole di deduzione potrebbero anche non essere vere, faccio un esempio:
Esiste una macchina che produce chiavi inglesi difettose. Noi, avendo sempre usato quelle chiavi, le diamo per buone e costruiamo degli attrezzi compatibili con esse, ma non riusciamo a spiegarci il fatto che gli attrezzi che non abbiamo costruito noi non si prestino ad essere modificati con le nostre chiavi.
Lo stesso vale per la Matematica. Noi abbiamo generato delle chiavi, ovvero le regole di deduzione, per costruire con esse la nostra vita, Matematica compresa. Tuttavia incontriamo delle anomalie quando entriamo in contatto con ciò che non abbiamo costruito noi. E io mi chiedo, e se le nostre chiavi fossero difettose?
E' questo quello che intendevo.
"maxy957":
[quote="JackNewHouse"]I due assiomi sono veri entrambi spetta al matematico sapere quando usare l'uno e quando l'altro.
Intende dire che un assioma è corretto solo all'interno di un determinato contesto giusto?[/quote]
Che vuol dire che un assioma è "corretto"?
"maxy957":
[quote="gugo82"]Se applichi correttamente le regole di deduzione ottieni una deduzione corretta
Quello che intendevo dire riguardava le regole di deduzione. Se noi usiamo inconsciamente delle regole di deduzione sbagliate che ai nostri occhi appaiono vere otteniamo delle deduzioni sbagliate ma apparentemente vere. Detto questo forse ho formulato una domanda poco chiara e provo a porla in un altro modo:
è possibile capire se le nostre regole di deduzione sono giuste?[/quote]
Che vuol dire che una "regola di deduzione è sbagliata"?
Che vuol dire che "una regola di deduzione è vera"?
"maxy957":
[quote="gugo82"]Lo stesso per la Matematica, ma ad un livello logico differente e più profondo.
Che tipo di livello si intende?[/quote]
Con "livello logico più profondo" intendevo che domande sulla correttezza delle regole di inferenza (e dunque della Matematica) non sono un problema della Matematica; probabilmente sono questioni pertinenti più alla Filosofia ed alla Logica (occhio, non alla Logica Matematica!) e credo si portino dietro questioni annosissime sul nostro modo di percepire il mondo.
Tutta la Matematica é utile e tutta la Matematica é inutile
"JackNewHouse":
I due assiomi sono veri entrambi spetta al matematico sapere quando usare l'uno e quando l'altro.
Intende dire che un assioma è corretto solo all'interno di un determinato contesto giusto?
"gugo82":
Se applichi correttamente le regole di deduzione ottieni una deduzione corretta
Quello che intendevo dire riguardava le regole di deduzione. Se noi usiamo inconsciamente delle regole di deduzione sbagliate che ai nostri occhi appaiono vere otteniamo delle deduzioni sbagliate ma apparentemente vere. Detto questo forse ho formulato una domanda poco chiara e provo a porla in un altro modo:
è possibile capire se le nostre regole di deduzione sono giuste?
"gugo82":
Lo stesso per la Matematica, ma ad un livello logico differente e più profondo.
Che tipo di livello si intende?
"maxy957":
[quote="gugo82"]
La correttezza della Matematica non si basa sulla correttezza degli assiomi; piuttosto essa si basa sulla correttezza della deduzione, ossia sull'uso corretto delle regole d'inferenza logica.
Gli assiomi di una teoria non sono "veri", né sono tenuti ad esserlo, in alcun senso.
Questo significa che per quanto ne sappiamo se le nostre deduzioni sono errate anche la Matematica è sbagliata.[/quote]
No. La Matematica sarebbe comunque giusta; solo che lo sarebbe in un determinato setting e non in un altro.
Ad esempio, nessuno ormai si azzarderebbe a dire che la Geometria Euclidea è sbagliata, né che la Geometria Ellittica è sbagliata, o che la Geometria Iperbolica è sbagliata. Sono tutte e tre valide, solo che partono da assiomi differenti (quindi hanno setting differenti).
Lo stesso per la Matematica, ma ad un livello logico differente e più profondo.
"maxy957":
La mia domanda è: come è possibile determinare se una deduzione è corretta o no?
Se applichi correttamente le regole di deduzione ottieni una deduzione corretta; altrimenti, in generale (cioè a meno che gli errori non si "cancellino" a vicenda) no.
"maxy957":
Se ciò non fosse possibile significa che non possiamo sapere se la Matematica è corretta o meno?
Che vuol dire?
La "correttezza" assoluta non esiste; così come la "verità" assoluta.
Questo, in fondo, era il contenuto del mio post precedente.
Discussione interessante ...
volevo dire la mia sugli assiomi. Non devono per forza essere veri. Anzi un sacco di assiomi altro non sono che convenzioni scelti in base a principi di utilità, convenienza, comodità ecc...
Per esempio l'algebra booleana è stata inventata (si inventata, penso che la matematica sia il frutto dell'ingegno e della creatività umana) basandosi su assiomi scelti ad hoc soltanto perchè con quegli assiomi si è potuto edificare un algebra molto utile. 1 or 0 è uguale a 1 e questo è stato deciso da una comunità di uomini.
L'assioma delle rette parallele è vero e non dimostrabile (anche ovvio) ma nello spazio sferico inventato da Riemann due rette parallele si incontrano in due punti antipodali. Questo non vuol dire che l'assioma delle rette parallele che tutti conosciamo diventa falso in certi universi, vuol dire che in alcuni casi è semplicemente un assioma non pertinente. I due assiomi sono veri entrambi spetta al matematico sapere quando usare l'uno e quando l'altro.
Ciò rende la matematica una scienza esatta. E' sbagliato dire che potrebbe essere falsa secondo me. Esistono le dimostrazioni matematiche , che sono un progresso ed una conquista di tutta l'umanità, che attestano la veridicità della matematica. Anche se ovviamente nella storia si sono prese parecchie cantonate.
E' molto astratta e sono anche convinto che siano le cose astratte quelle più utili al genere umano:
per esempio il nostro modo di scrivere i numeri (la notazione posizionale) è frutto di una grande astrazione e l'umanità ha impiegato secoli e secoli per arrivarci anche se noi oggi la diamo per scontata, e se oggi siamo arrivati su marte è anche grazie al fatto che sappiamo scrivere numeri in modo utile.
Il nostro stesso linguaggio è una cosa molto astratta .
Ed è grazie alle astrazioni che noi oggi abbiamo computer macchine treni ecc ecc...
volevo dire la mia sugli assiomi. Non devono per forza essere veri. Anzi un sacco di assiomi altro non sono che convenzioni scelti in base a principi di utilità, convenienza, comodità ecc...
Per esempio l'algebra booleana è stata inventata (si inventata, penso che la matematica sia il frutto dell'ingegno e della creatività umana) basandosi su assiomi scelti ad hoc soltanto perchè con quegli assiomi si è potuto edificare un algebra molto utile. 1 or 0 è uguale a 1 e questo è stato deciso da una comunità di uomini.
L'assioma delle rette parallele è vero e non dimostrabile (anche ovvio) ma nello spazio sferico inventato da Riemann due rette parallele si incontrano in due punti antipodali. Questo non vuol dire che l'assioma delle rette parallele che tutti conosciamo diventa falso in certi universi, vuol dire che in alcuni casi è semplicemente un assioma non pertinente. I due assiomi sono veri entrambi spetta al matematico sapere quando usare l'uno e quando l'altro.
Ciò rende la matematica una scienza esatta. E' sbagliato dire che potrebbe essere falsa secondo me. Esistono le dimostrazioni matematiche , che sono un progresso ed una conquista di tutta l'umanità, che attestano la veridicità della matematica. Anche se ovviamente nella storia si sono prese parecchie cantonate.
E' molto astratta e sono anche convinto che siano le cose astratte quelle più utili al genere umano:
per esempio il nostro modo di scrivere i numeri (la notazione posizionale) è frutto di una grande astrazione e l'umanità ha impiegato secoli e secoli per arrivarci anche se noi oggi la diamo per scontata, e se oggi siamo arrivati su marte è anche grazie al fatto che sappiamo scrivere numeri in modo utile.
Il nostro stesso linguaggio è una cosa molto astratta .
Ed è grazie alle astrazioni che noi oggi abbiamo computer macchine treni ecc ecc...
"gugo82":
La correttezza della Matematica non si basa sulla correttezza degli assiomi; piuttosto essa si basa sulla correttezza della deduzione, ossia sull'uso corretto delle regole d'inferenza logica.
Gli assiomi di una teoria non sono "veri", né sono tenuti ad esserlo, in alcun senso.
Questo significa che per quanto ne sappiamo se le nostre deduzioni sono errate anche la Matematica è sbagliata.
La mia domanda è: come è possibile determinare se una deduzione è corretta o no?
Se ciò non fosse possibile significa che non possiamo sapere se la Matematica è corretta o meno?
"maxy957":
[quote="Sergio"] in alcuni universi quegli assiomi sono veri, in altri sono falsi.
La nostra matematica si basa sulla veridicità di quegli assiomi.
Se in altri universi essi non sono veri significa che la nostra matematica è errata in quell'ambiente.[/quote]
Qui sbagli, ma in modo sottile.
La correttezza della Matematica non si basa sulla correttezza degli assiomi; piuttosto essa si basa sulla correttezza della deduzione, ossia sull'uso corretto delle regole d'inferenza logica.
Gli assiomi di una teoria non sono "veri", né sono tenuti ad esserlo, in alcun senso.
Per fare un paragone, ti dico: pensa ad una scatola di LEGO.
Ci sono dei mattoncini e delle regole base per metterli assieme; poi ci sono delle istruzioni per montare, che so, un castello.
Ebbene, i mattoncini sono i nostri assiomi; le regole base per assemblarli sono le regole d'inferenza; la pagina iniziale e quella finale delle istruzioni sono l'enunciato di un teorema, rispettivamente ipotesi e tesi; e le istruzioni per montare il castello sono una dimostrazione di quel teorema.
Come ben sai, i mattoncini possono essere modificati in qualsiasi momento, non sono "immutabili"; ma il bello è che, anche se si modificano i pezzi, le costruzioni fatte coi pezzi "vecchi" continuano a reggersi in piedi se i mattoncini non sono difettosi.
Lo stesso vale per gli assiomi: fintantoché le regole d'inferenza non cambiano e fintantoché non ci sono assiomi "difettosi" (il che può succedere), la Matematica si regge in piedi benissimo.
D'altra parte, anche le regole base di assemblaggio non sono "immutabili" e possono essere a loro volta cambiate; tuttavia esse rispondono a certi principi sui quali i progettisti hanno convenuto sia bene basarsi ed è molto più difficile metterle in discussione.
Allo stesso modo, le regole d'inferenza comunemente accettate si basano su principi che è molto difficile mettere in discussione, perché hanno radici nel nostro modo di percepire la realtà.
In conclusione, la nostra Matematica sarebbe errata solo se la logica che vi sta dietro non fosse condivisa dagli ipoteti abitanti dell'altro universo.
"maxy957":
Ma si ma lo so....Non volevo dire che è sbagliato.Quello che volevo dire è che forse ci sono altri modi per arrivare alla stessa soluzione. Spesso si danno per ovvie certe cose senza metterle in discussione ma se non si fosse messo in discussione ciò che era ritenuto vero non si sarebbe scoperto che la terra è rotonda o che il Sole non le gira intorno.
Beh, forse può essere utile considerare, per la divisione per $0$,
\[\lim_{x\to 0} \frac{\text{QUALCOSA}}{x}\]
che, se quel "qualcosa" non tende a sua volta a zero (salvo casi in cui questa "anomalia" è "aggirabile"), ti scappa fuori un risultato, sia pur da considerare in senso di "limite per".
Ma si ma lo so....Non volevo dire che è sbagliato.Quello che volevo dire è che forse ci sono altri modi per arrivare alla stessa soluzione. Spesso si danno per ovvie certe cose senza metterle in discussione ma se non si fosse messo in discussione ciò che era ritenuto vero non si sarebbe scoperto che la terra è rotonda o che il Sole non le gira intorno.
...allora... cominciamo così:
$?*6=30$
mi domando quale sia il numero che moltiplicato per 6 mi dà 30 e scrivo la seguente operazione
$30:6=?$ sapendo un po' di tabelline rispondo $5$, infatti
$5*6=30$
provo con $0$
$30:0=?$
sto cercando quel numero che moltiplicato per 0 mi dia 30, ma per quanto grande io cerchi questo numero
$10^(1000000000)*0=0$ mi viene sempre 0 e non 30, concludo che è impossibile trovare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 30, funziona?
$?*6=30$
mi domando quale sia il numero che moltiplicato per 6 mi dà 30 e scrivo la seguente operazione
$30:6=?$ sapendo un po' di tabelline rispondo $5$, infatti
$5*6=30$
provo con $0$
$30:0=?$
sto cercando quel numero che moltiplicato per 0 mi dia 30, ma per quanto grande io cerchi questo numero
$10^(1000000000)*0=0$ mi viene sempre 0 e non 30, concludo che è impossibile trovare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 30, funziona?
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