Sul valore dello 0
Ciao a tutti, 
sono nuovo in questo forum e volevo proporvi una questione che se volete è anche stupida però sento di nn averla compresa fino in fondo.
Sappiamo, fin dalle elementari, che "tutti i numeri moltiplicati per 0 danno sempre 0". E quindi nel caso specifico 1*0=0.
Ma se io ho UNA mela e la MOLTIPLICO per ZERO mele come fa questa mela a SCOMPARIRE?
Io ho pensato che al fatto che la moltiplicazione non è altro che un'addizione ripetuta e quindi si prende il primo elemento e lo si somma a se stesso tante volte quanto è il numero del secondo membro diminuito di 1. Ad esempio 3*5 prendo 3 e lo sommo a se stesso 5-1 volte. 3+(3+3+3+3)=15.
Poi ho analizzato il caso in cui il secondo membro sia 1. In quel caso prendo il primo membro e lo sommo a se stesso 1-1 volte. Ad esempio se faccio 3*1 prendo 3 e lo sommo a se stesso 1-1 volte. 3+0=3.
Questo ragionamento xò non funziona con lo zero.
Devo dedurre che "un numero moltiplicato per zero fa sempre zero" per convenzione matematica (tipo come nell'insieme dei numeri immaginari "i" al quadrato fa -1) oppure c'è un modo per dimostrarlo?
sono nuovo in questo forum e volevo proporvi una questione che se volete è anche stupida però sento di nn averla compresa fino in fondo.
Sappiamo, fin dalle elementari, che "tutti i numeri moltiplicati per 0 danno sempre 0". E quindi nel caso specifico 1*0=0.
Ma se io ho UNA mela e la MOLTIPLICO per ZERO mele come fa questa mela a SCOMPARIRE?
Io ho pensato che al fatto che la moltiplicazione non è altro che un'addizione ripetuta e quindi si prende il primo elemento e lo si somma a se stesso tante volte quanto è il numero del secondo membro diminuito di 1. Ad esempio 3*5 prendo 3 e lo sommo a se stesso 5-1 volte. 3+(3+3+3+3)=15.
Poi ho analizzato il caso in cui il secondo membro sia 1. In quel caso prendo il primo membro e lo sommo a se stesso 1-1 volte. Ad esempio se faccio 3*1 prendo 3 e lo sommo a se stesso 1-1 volte. 3+0=3.
Questo ragionamento xò non funziona con lo zero.
Devo dedurre che "un numero moltiplicato per zero fa sempre zero" per convenzione matematica (tipo come nell'insieme dei numeri immaginari "i" al quadrato fa -1) oppure c'è un modo per dimostrarlo?
Risposte
Ho visto, mi sembrava comunque carino postare questa dimostrazione che io ho trovato interessante...
@Marty84
qui si stava discutendo della interpretazione di questo fatto, non di aspetti formali
qui si stava discutendo della interpretazione di questo fatto, non di aspetti formali
Durante il corso di algebra lineare ho studiato questa dimostrazione sulla moltiplicazione per zero che si basa su 3 proprietà dell'addizione:
1)0+0=0
2)un numero meno il suo opposto fa 0
3)proprietà distributiva $a(b+c)=a*b+a*c$
Allora avremo:
$k*0=k(0+0)=k*0+k*0$
l'opposto di $k*0$ è $-k*0$ perciò se lo sottraiamo all'espressione precedente il tutto deve essere 0:
$k*0+k*0-k*0=0$
$k*0+0=0$
$k*0=0$
Analogamente si trova che anche $0*k=0$
1)0+0=0
2)un numero meno il suo opposto fa 0
3)proprietà distributiva $a(b+c)=a*b+a*c$
Allora avremo:
$k*0=k(0+0)=k*0+k*0$
l'opposto di $k*0$ è $-k*0$ perciò se lo sottraiamo all'espressione precedente il tutto deve essere 0:
$k*0+k*0-k*0=0$
$k*0+0=0$
$k*0=0$
Analogamente si trova che anche $0*k=0$
Mah, secondo me anche dal punto di vista intuitivo la moltiplicazione è abbastanza banale.
Supponiamo che il moltiplicando sia il numero delle mele in ogni sacchetto, ed il moltiplicatore il numero dei sacchetti che metti sul tavolo, il prodotto è ovviamente il totale delle mele.
3*2=6
Prendo due sacchetti da tre mele ciascuno e li metto sul tavolo, sul tavolo avrò sei mele.
3*1=3
Prendo un sacchetto da tre mele sul tavolo, sul tavolo avrò tre mele.
3*0=0
Non prendo alcun sacchetto da tre mele, il tavolo rimane vuoto.
Supponiamo che il moltiplicando sia il numero delle mele in ogni sacchetto, ed il moltiplicatore il numero dei sacchetti che metti sul tavolo, il prodotto è ovviamente il totale delle mele.
3*2=6
Prendo due sacchetti da tre mele ciascuno e li metto sul tavolo, sul tavolo avrò sei mele.
3*1=3
Prendo un sacchetto da tre mele sul tavolo, sul tavolo avrò tre mele.
3*0=0
Non prendo alcun sacchetto da tre mele, il tavolo rimane vuoto.
bella li 
si, ho sbagliato indirizzo
allora siamo d'accordo.
@ giacor86
credo che kinder abbia sbagliato utente a cui riferirsi
credo che kinder abbia sbagliato utente a cui riferirsi
"kinder":
giacor86
tu insisti a voler imporre un punto di vista che poi ti porta a ciò che a te sembra assurdo. Intanto, se tu credessi fermamente nel tuo processo logico dovresti, per coerenza, concludere che la conclusione assurda è da ricondurre alle premesse assurde.
Ti faccio notare che ti chiedi "Ma se io ho UNA mela e la MOLTIPLICO per ZERO mele come fa questa mela a SCOMPARIRE? " come se il risultato della moltiplicazione agisca sui fattori della moltiplicazione. Non è così. E' il risultato della moltiplicazione uguale a zero, non la mela.
Ti sei chiesto cos'è la moltiplicazione? Ripassiamocelo. Moltiplicare mxn equivale a considerare n volte una quantità pari a m e sommarle. Se n=0, cosa vuol dire considerare zero volte m? Vuol dire non considerare m! Quindi la mela non scompare. E' solo che esce dall'ambito della tua considerazione. Chiaro?
Forse ti può consolare che la comprensione e l'uso dello zero ha impiegato molto tempo, rispetto alla prima comparsa dei numeri interi.
missà che non hai capito quello che ho scritto. ho detto le STESSE IDENTICHE COSE TUE.
Che era la stessa che ti avevo dato io...
"kinder":
Ti sei chiesto cos'è la moltiplicazione? Ripassiamocelo. Moltiplicare mxn equivale a considerare n volte una quantità pari a m e sommarle. Se n=0, cosa vuol dire considerare zero volte m? Vuol dire non considerare m! Quindi la mela non scompare. E' solo che esce dall'ambito della tua considerazione.
"giacor86":
a sto punto fare 1 mela per 0 volte è come dire tu hai una mela e la prendi 0 volte... ma prendere una cosa 0 volte vuol dire non prenderla.
Queste due risposte mi sembrano finalmente convincenti anche dal punto di vista inutitivo...
giacor86
tu insisti a voler imporre un punto di vista che poi ti porta a ciò che a te sembra assurdo. Intanto, se tu credessi fermamente nel tuo processo logico dovresti, per coerenza, concludere che la conclusione assurda è da ricondurre alle premesse assurde.
Ti faccio notare che ti chiedi "Ma se io ho UNA mela e la MOLTIPLICO per ZERO mele come fa questa mela a SCOMPARIRE? " come se il risultato della moltiplicazione agisca sui fattori della moltiplicazione. Non è così. E' il risultato della moltiplicazione uguale a zero, non la mela.
Ti sei chiesto cos'è la moltiplicazione? Ripassiamocelo. Moltiplicare mxn equivale a considerare n volte una quantità pari a m e sommarle. Se n=0, cosa vuol dire considerare zero volte m? Vuol dire non considerare m! Quindi la mela non scompare. E' solo che esce dall'ambito della tua considerazione. Chiaro?
Forse ti può consolare che la comprensione e l'uso dello zero ha impiegato molto tempo, rispetto alla prima comparsa dei numeri interi.
tu insisti a voler imporre un punto di vista che poi ti porta a ciò che a te sembra assurdo. Intanto, se tu credessi fermamente nel tuo processo logico dovresti, per coerenza, concludere che la conclusione assurda è da ricondurre alle premesse assurde.
Ti faccio notare che ti chiedi "Ma se io ho UNA mela e la MOLTIPLICO per ZERO mele come fa questa mela a SCOMPARIRE? " come se il risultato della moltiplicazione agisca sui fattori della moltiplicazione. Non è così. E' il risultato della moltiplicazione uguale a zero, non la mela.
Ti sei chiesto cos'è la moltiplicazione? Ripassiamocelo. Moltiplicare mxn equivale a considerare n volte una quantità pari a m e sommarle. Se n=0, cosa vuol dire considerare zero volte m? Vuol dire non considerare m! Quindi la mela non scompare. E' solo che esce dall'ambito della tua considerazione. Chiaro?
Forse ti può consolare che la comprensione e l'uso dello zero ha impiegato molto tempo, rispetto alla prima comparsa dei numeri interi.
allora dire mele*mele ti hano già spiegato che non ha senso
perchè se tu moltiplichi 2 mele per 3 mele ottieni 6 mele^2 e la cosa credo (battuta stradivertente di luca.barletta) no ha assolutamente senso. allora moltimplica le mele per un numero puro ad esempio le "volte". tu dici che 3 mele * 2 volte = 6 mele (così torna anche il controllo dimensionale). a sto punto fare 1 mela per 0 volte è come dire tu hai una mela e la prendi 0 volte... ma prendere una cosa 0 volte vuol dire non prenderla. cosa vuol dire aver preso 0 volte nella propria vita 1 space-shuttle? vuol dire esserci andato su 0 volte. e aver speso 0 volte nella vita 12000000000 di €? non avere mai speso niente...
perchè se tu moltiplichi 2 mele per 3 mele ottieni 6 mele^2 e la cosa credo (battuta stradivertente di luca.barletta) no ha assolutamente senso. allora moltimplica le mele per un numero puro ad esempio le "volte". tu dici che 3 mele * 2 volte = 6 mele (così torna anche il controllo dimensionale). a sto punto fare 1 mela per 0 volte è come dire tu hai una mela e la prendi 0 volte... ma prendere una cosa 0 volte vuol dire non prenderla. cosa vuol dire aver preso 0 volte nella propria vita 1 space-shuttle? vuol dire esserci andato su 0 volte. e aver speso 0 volte nella vita 12000000000 di €? non avere mai speso niente...
"henry87":
Insomma lo 0 crea parecchi casini se ci si avvicina alla questione dal punto di vista intuitivo.
Infatti, così come gli crea $pi$, $i$, $zeta(-1)$... l'intuizione in matematica è utile a trovare ma una cattiva compagna per quanto riguarda capire.
"luca.barletta":
Credo che alla veneranda età di 19 anni (o 87?) uno debba lasciarsi alle spalle il trauma della moltiplicazione.
Non è discorsi di traumi. E' che appunto alle elementari ti hanno ripetuto mille volte che "un numero moltiplicato per 0 da sempre 0" ma poi non te l'hanno mai dimostrato (almeno a me).
"Maxos":
Sì perché sennò uno può dire che non capisce come mai il logaritmo di una mela sia 0 mele.
Appunto intuitivamente nn si riescie a capire nemmeno questo...
"kinder":
La difficoltà in cui ti ritrovi, è nel voler cercare un modello fisico sottostante a quello matematico che si esprime con l'operazione di moltiplicazione. Ciò non è sbagliato in assoluto, visto che si utilizza questo approccio per avviare alla matematica i bambini; il problema è trovare il modello a cui riesci ad associare un significato, che soddisfa le esigenze di intuizione.
Quindi il mio errore è stato quello di usare un modello che mi induce all'errore?
"kinder":
Se hai file di mele delle stesse dimensioni e parallele (un reticolo), e vuoi sapere quante mele stanno in un rettangolo che ha lati pari ad A e B mele, farai il prodotto. A questo punto capisci bene che vuol dire moltiplicare A mele per zero mele: moltiplicare una fila di A mele per nessuna fila. Quante mele ottieni?
Mi stai praticamente dicendo che la fila di mele se la moltiplico per nessuna fila scompare...E' un esempio molto simile al mio. Non si può arrivare a dire che per capire come una moltiplicazione per 0 dia sempre 0 bisogna affrontare il problema dal punto di vista algebrico e non intuitivo???
henry87
se per capire il significato di un prodotto di un numero per zero vuoi utilizzare grandezze della stessa dimensione (nel senso fisico), un facile approccio intuitivo è la geometria.
In questo caso, puoi immaginare, per esempio, il prodotto di grandezze unidimensionali (segmenti). Tu sai che sono aree. A questo punto, prova ad immaginare l'area di un rettangolo, che ha un lato pari a x metri, l'altro pari a zero metri. Quanto vale la sua area? Lo stesso vale se passi in dimensioni diverse.
La difficoltà in cui ti ritrovi, è nel voler cercare un modello fisico sottostante a quello matematico che si esprime con l'operazione di moltiplicazione. Ciò non è sbagliato in assoluto, visto che si utilizza questo approccio per avviare alla matematica i bambini; il problema è trovare il modello a cui riesci ad associare un significato, che soddisfa le esigenze di intuizione. Mi spiego meglio. Se vuoi moltiplicare mele con mele, in quale condizione fisica immagini di metterti? Te ne propongo una, che in realtà è geometrica. Se hai file di mele delle stesse dimensioni e parallele (un reticolo), e vuoi sapere quante mele stanno in un rettangolo che ha lati pari ad A e B mele, farai il prodotto. A questo punto capisci bene che vuol dire moltiplicare A mele per zero mele: moltiplicare una fila di A mele per nessuna fila. Quante mele ottieni?
se per capire il significato di un prodotto di un numero per zero vuoi utilizzare grandezze della stessa dimensione (nel senso fisico), un facile approccio intuitivo è la geometria.
In questo caso, puoi immaginare, per esempio, il prodotto di grandezze unidimensionali (segmenti). Tu sai che sono aree. A questo punto, prova ad immaginare l'area di un rettangolo, che ha un lato pari a x metri, l'altro pari a zero metri. Quanto vale la sua area? Lo stesso vale se passi in dimensioni diverse.
La difficoltà in cui ti ritrovi, è nel voler cercare un modello fisico sottostante a quello matematico che si esprime con l'operazione di moltiplicazione. Ciò non è sbagliato in assoluto, visto che si utilizza questo approccio per avviare alla matematica i bambini; il problema è trovare il modello a cui riesci ad associare un significato, che soddisfa le esigenze di intuizione. Mi spiego meglio. Se vuoi moltiplicare mele con mele, in quale condizione fisica immagini di metterti? Te ne propongo una, che in realtà è geometrica. Se hai file di mele delle stesse dimensioni e parallele (un reticolo), e vuoi sapere quante mele stanno in un rettangolo che ha lati pari ad A e B mele, farai il prodotto. A questo punto capisci bene che vuol dire moltiplicare A mele per zero mele: moltiplicare una fila di A mele per nessuna fila. Quante mele ottieni?
"luca.barletta":
Non ti è stato illuminante il mio post?
Credo che alla veneranda età di 19 anni (o 87?) uno debba lasciarsi alle spalle il trauma della moltiplicazione.
però per lasciarselo alle spalle uno prima lo deve affrontare, sennò è come nascondere la testa sotto il tappeto
dubbi di fondo come questi sono legittimi, ad ogni età
certo, se uno non legge i post con la dovuta attenzione, rende inutie lo sforzo di chi cerca di dare una mano a dissiparli (i dubbi)
io ero intervenuto proprio perché avevo notato che henry87 non aveva recepito il commento di luca.barletta, visto che continuava a moltiplicare mele con mele
Non ti è stato illuminante il mio post?
Credo che alla veneranda età di 19 anni (o 87?) uno debba lasciarsi alle spalle il trauma della moltiplicazione.
Credo che alla veneranda età di 19 anni (o 87?) uno debba lasciarsi alle spalle il trauma della moltiplicazione.
Sì perché sennò uno può dire che non capisce come mai il logaritmo di una mela sia 0 mele.
quote: henry87
"Ma se ho una mela e la moltiplico con 0 mele il fatto che il risultato sia 0 mele nn è affatto intuitivo!!!
1mela*0mela=0mela"
tu insisti a voler moltiplicare mele con mele
padronissimo di farlo, ma non è obbligatorio
se si usa dire che è bene sommare mele con mele e pere con pere, nessuno ha mai detto (giustamente!) qualcosa di simile per la moltiplicazione
"Ma se ho una mela e la moltiplico con 0 mele il fatto che il risultato sia 0 mele nn è affatto intuitivo!!!
1mela*0mela=0mela"
tu insisti a voler moltiplicare mele con mele
padronissimo di farlo, ma non è obbligatorio
se si usa dire che è bene sommare mele con mele e pere con pere, nessuno ha mai detto (giustamente!) qualcosa di simile per la moltiplicazione
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