"Sopprimiamo i limiti?"

[luluemicia]

Ciao a tutti,
questo è il primo argomento che apro (chissà se è opportuno qui a congetture e ricerca libera!).
La questione che pongo nasce da esigenze didattiche che chiarirò meglio in altro post se mi verrà richiesto.
Passo subito a formulare la questione in una versione semplificata.
Per semplicità fissiamo le idee su uno studente "medio" che ha appena finito il quarto liceo scientifico.
Consideriamo i polinomi e diamo la definizione di derivata di un polinomio usando la formula usuale (che si dimostra a partire dalla def. di derivata come lim. del rapporto incrementale e che, qui, invece è assunta per definizione). Vorrei dimostrare il teorema di Fermat per i polinomi senza usare i limiti (direttamente o indirettamente) e, in un modo più semplice di quello usuale.
Poi mi interesserebbe passare dai polinomi alle funzioni composte da funzioni elementari (definendo le derivate in modo assiomatico; questo è semplice, l'ho fatto e penso che sarà stato fatto già e si potrà fare anche in più modi. La difficoltà è sempre la stessa: dimostrare il teorema di Fermat senza l'aiuto dei limiti).
Non mi risulta che sia stato già fatto e mi pare che la cosa o non è possibile, o se lo è, è ben lontana dall'essere banale.
Naturalmente sono graditi tutti gli interventi in proposito e ringrazio anticipatamente tutti quelli che lo faranno. Data la questione, è comprensibile che non arrivino "dimostrazioni vere e proprie" (troppo bello se arrivassero) e che arrivino "semplici opinioni" (comunque estremamente gradite). In particolare, un opinione di "uno a caso, per esempio Fioravante Patrone" avrebbe quasi il valore di una dim.........

[luluemicia]

Ciao Zorn,
una volta arrivato alle disequazioni che tu dici, come passi a dimostrare che la derivata è 0 senza usare i limiti?

[zorn1]

Beh, si potrebbero dare delle regole assiomatiche di derivazione, dopodiché il Teorema di Fermat è piuttosto facile visto che per esempio se $x_0$ è punto di massimo per $f$ allora per opportuni $x_1,x_2$ si ha $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)>0$ se $x_1<=x

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[luluemicia]

Ciao ficus2002,
detti $w$ e $n$, rispettivamente, il prodotto delle radici ed il grado del polinomio, il rapporto tra il termine noto ed il coefficiente direttivo è $(-1)^n*w$.
Per la dim. del tuo lemma ciò consente di affermare quanto segue:
tu hai provato che per il tuo polinomio $P$ il suddetto rapporto è negativo. Se il grado è dispari, e quindi è dispari il numero delle radici reali, poichè esse danno, per quanto detto, prodotto positivo, almeno una deve essere positiva.
Se il grado è pari, per quanto detto, il prodotto delle radici è negativo. Dunque vi è un numero pari (non nullo) di radici reali di cui, di nuovo, almeno una positiva.

[ficus2002]

"luluemicia":In effetti nella parte in cui tu usi la regola di cartesio, si potrebbe procedere senza usarla e arrivare a provare il lemma usando, invece, il legame tra il termine noto e il prodotto delle radici.

Prova a postare questa dimostrazione del Lemma; immagino che faccia uso delle formule di Viete'. Intanto provo a vedere se non esistono altre dimostrazioni della regola di Cartesio.

[luluemicia]

Ciao ficus2002,
per impegni vari e perchè non ricordavo più la dim. della regola di Cartesio, rispondo in ritardo.
Estremamente apprezzabile il tuo intervento specialmente per l'estensione alle frazioni di polinomi (che non mi pare sia stata fatta precedentemente); il mio entusiasmo è un pò frenato, però, dal fatto che la dim. della regola di Cartesio che io conosco si fonda sul teorema di Sturm che, però, a sua volta, mi pare usi il concetto di limite. In effetti nella parte in cui tu usi la regola di cartesio, si potrebbe procedere senza usarla e arrivare a provare il lemma usando, invece, il legame tra il termine noto e il prodotto delle radici. Forse, e sottolineo forse, questa strada mi pare preferibile, anche se, in verità, il legame suddetto sfrutta il teorema fondamentale che assicura l'esistenza di una radice, teorema tutt'altro che banale (però, mi pare che si possa fare a meno dei limiti così).
Che ne pensi?

[luluemicia]

"Irenze":l Quel polinomio ha un numero dispari di PERMANENZE, come tu hai giustamente detto, non di VARIAZIONI. Il segno dei coefficienti non cambia mai, cioè il numero delle variazioni di segno è 0, che è pari. Non si applica la regola di Cartesio.

Ciao, hai ragione, avevo letto male, la regola di Cartesio è stata usata correttamente perchè si riferiva giustamente alle variazioni.

[ficus2002]

"luluemicia":[quote="ficus2002"] (come nel caso dei polinomi)

Qui hai assunto $Q(x_o)>0$ e hai dimenticato di scriverlo?[/quote]Si; anche qui andrebbero distinti i casi $Q(x_0)>0$ e $Q(x_0)<0$, ma sono analoghi.

[irenze]

"luluemicia":[quote="ficus2002"] il numero di variazioni di segno dei coefficienti di è dispari. Per la regola di Cartesio, ha una radice positiva

Il polinomio $x^4+3x^2+2x+3=(x^2+x+1)(x^2-x+3)$ ha tre permanenze (quindi un numero dispari) ma non ha radici reali.
C'è qualcosa di evidente che mi sfugge o c'è qualcosa da precisare?[/quote]

Quel polinomio ha un numero dispari di PERMANENZE, come tu hai giustamente detto, non di VARIAZIONI. Il segno dei coefficienti non cambia mai, cioè il numero delle variazioni di segno è 0, che è pari. Non si applica la regola di Cartesio.

[luluemicia]

"ficus2002": il numero di variazioni di segno dei coefficienti di è dispari. Per la regola di Cartesio, ha una radice positiva

Il polinomio $x^4+3x^2+2x+3=(x^2+x+1)(x^2-x+3)$ ha tre permanenze (quindi un numero dispari) ma non ha radici reali.
C'è qualcosa di evidente che mi sfugge o c'è qualcosa da precisare?

[luluemicia]

"ficus2002": (come nel caso dei polinomi)

Qui hai assunto $Q(x_o)>0$ e hai dimenticato di scriverlo?

[ficus2002]

"luluemicia":Vorrei dimostrare il teorema di Fermat per i polinomi senza usare i limiti (direttamente o indirettamente) e, in un modo più semplice di quello usuale.

Provo con i polinomi. Userò i Teoremi di divisibilità per i polinomi e la regola di Cartesio.
Lemma: Sia $Q$ un polinomio. Se esistono $a,b\in RR$, $a
A meno di un cabio lineare di variabili, possiamo assumere che $a=-1$ e $b=1$, cioè $Q(1)Q(-1)<0$ giusto per comodità.
Sia $d$ il grado di $Q$ e sia $P$ il polinomio
$P(t)=Q((t-1)/(t+1))(t+1)^d$.
Si verifica che $P(0)=Q(-1)$ e il coefficiente direttivo di $P$ è la somma dei coefficienti di $Q$, cioè $Q(1)$. Così il termine noto e il coefficiente direttivo del polinomio $P$ sono di segno opposto; di conseguenza, il numero di variazioni di segno dei coefficienti di $P$ è dispari. Per la regola di Cartesio, $P$ ha una radice positiva $t_0$. Allora $(t_0-1)/(t_0+1)$ è radice di $Q$ in $(-1,1)$.

Teorema di Fermat per i polinomi: Sia $P$ un polinomio; se $x_0$ è estremante locale di $P$, allora $P'(x_0)=0$.
Supponiamo che $P'(x_0)\ne 0$; allora $x_0$ è radice semplice del polinomio $P(x)-P(x_0)$, Così esiste un polinomio $Q$ con $Q(x_0)\ne 0$ tale che
$P(x)=P(x_0)+(x-x_0)*Q(x)$.
Assumiamo $Q(x_0)>0$; il caso $Q(x_0)<0$ si risolve in modo analogo. Poichè $Q$ ha solo un numero finito di zeri, esiste un intervallo $(a,b)$ contenente $x_0$ in cui $Q$ non ha radici; per il Lemma $Q>0$ in $(a,b)$. Allora
$P(x) $P(x_0) così, $x_0$ non è estremante locale di $P$.

Teorema di Fermat per le funzioni razionali: Sia $R$ una funzione razionale; se $x_0$ è estremante locale di $R$, allora $R'(x_0)=0$.
Sia $R=P/Q$ una funzione razionale e sia $x_0$ ($Q(x_0)\ne 0$) un estremante locale di $R$. Supponiamo che $x_0$ sia punto di massimo di $R$; il caso $x_0$ punto di minimo si risolve in modo analogo.
Allora esiste un intervallo $(a,b)$ con $a0$ (come nella dim del caso dei polinomi) e $R(x)\le R(x_0)$ per ogni $x\in (a,b)$. Così $G(x):=P(x)-{P(x_0)}/{Q(x_0)} Q(x)\le 0$, pertanto $x_0$ è un estremante per $G$ che è un polinomio, pertanto $P'(x_0)-{P(x_0)}/{Q(x_0)} Q'(x_0)=G'(x_0)=0$ ossia $P'(x_0)Q(x_0)-P(x_0)Q'(x_0)=0$. Così $R'(x_0)={P'(x_0)Q(x_0)-P(x_0)Q'(x_0)}/{Q(x_0)^2}=0$.

[luluemicia]

Ciao Sandokan,
grazie per l'informazione. Provvederò subito a procurarmi il testo (del quale mi pare di aver sentito parlare bene anche in molti altri contesti).

[Chevtchenko]

Ciao Luluemicia,

la tua idea mi sembra molto interessante. Per quel che riguarda i polinomi, molto puo' essere fatto senza usare in alcun modo i limiti; addirittura non c'è neppur bisogno di assumere le usuali proprieta' che caratterizzano $RR$ tra i campi ordinati, in quanto parecchi teoremi del calcolo valgono in ambienti piu' generali (campi reali chiusi). Se vuoi, puoi consultare Basic Algebra I di Jacobson.

[luluemicia]

Ciao Zorn,
qualche regoletta specifica sulle funzioni elementari la devi mettere negli assiomi. In questo preciso momento non ricordo bene quanti e quali erano gli assiomi; ricordo, però, che era una cosa un pò lunghetta ma concettualmente estremamente semplice. L'ho lasciata da parecchio perchè senza una dim. dei th. di ottimizzazione che non usa i limiti non mi pareva interessante. Comunque dammi qualche giorno di tempo e farò un post completo sulla cosa.

[luluemicia]

Ciao Fioravante Patrone,
la classe a cui penso è quella delle composte da funzioni elementari. Ma dare una def. assiomatica per questa classe, se poi per dimostrare i teoremi in cui si usano le derivate si è costretti a dire che la derivata è il limite del rapporto incrementale, mi pare una cosa utile solo per divertirsi. Ciò per me è sufficiente [visto che faccio Matematica soprattutto per guadagnarmi da vivere (altro non so fare!) e per divertirmi] ma per molti forse no.

[luluemicia]

Ciao a tutti,
innanzitutto grazie a tutti coloro che sono intervenuti.
A questo punto è opportuno che chiarisca le motivazioni didattiche che nel precedente post non avevo precisato e che, anzi, con il riferimento allo studente del quarto liceo ho reso inimmaginabili. Condivido le vostre idee e le vostre attitudini (la mia memoria è quasi nulla, non per dire, ma in senso matematico!).
Sono convinto che in una scuola secondaria superiore, all'università in facoltà come Matematica, Fisica, Ingegneria, Informatica ed altre in cui la Matematica è fatta a livelli "accettabili", il ruolo dei limiti sia indiscutibile e, di certo, quello che io propongo, se anche fosse possibile, sarebbe non preferibile alla via usuale. Io pensavo ad uno studente universitario di una facoltà in cui la Matematica non si presenta a livelli "accettabili" tipo, per esempio, Economia, Biologia, Geologia etc...... che parte con conoscenze medie da quarto liceo scientifico, per dire che o non ha mai fatto l'analisi o, se l'ha fatta, è quasi come se non l'avesse fatta. Perchè penso ad uno studente di questo tipo? Perchè la maggioranza (grande) di studenti di tali facoltà è in questa situazione. Dopo aver detto a che tipo di studente penso, vi dico che penso ad un corso in cui è molto importante che lo studente alla fine sappia trovare i massimi e minimi (in situazioni semplici, ovviamente) ma non sia importante conoscere i limiti. Nelle facoltà di cui sopra è così....... Se entrate in un consiglio di facoltà di una delle suddette facoltà, per esempio, per fissare le idee, di Economia, troverete una percentuale altissima di persone che non hanno capito "ad un livello matematicamente serio" il concetto di limite ma che sono eminenti e stimati economisti (attenzione, dico sul serio! non vi è alcuna ironia!). Allora, ad uno studente di Economia che non capisce abbastanza i limiti, gli dite così? Altri che non li hanno capiti come te, sono diventati stimati economisti, prof. univ. etc e, invece, a te non sarà permesso neppure di laurearti in economia per colpa dei limiti e, di conseguenza, dell'esame di Matematica di base. Non mi sembra ragionevole. Ed è poco ragionevole anche perchè sia docenti che nel corso passano poco tempo sui limiti, sia quelli che ne passano molto, alla fine ottengono dagli studenti scarsi risultati su quest'argomento (non è, quindi, un problema di come lo si spiega; sono proprio le attitudini degli studenti che non consentono agli stessi di raggiungere risultati apprezzabili, in media, sui limiti rispetto a tempi di impegno ragionevoli). Allora che fare? Una strada è quella di insegnargli in pratica a trovare i massimi e minimi e porre una giustificazione teorica al tutto molto insoddisfacente (insoddisfacente perchè o, si saltano le dim, oppure le si fanno poggiando sui limiti che essi ripetono "a memoria senza saperli maneggiare seriamente"). Da qui spero si comprenda come odio l'imparare a memoria (io i limiti li ho capiti! ma se un altro non ci riesce ed esiste un'altra cosa che può capire e gli permette ugualmente di affrontare i problemi che deve risolvere,
allora io non gli faccio imparare i limiti a memoria ma gli faccio capire l'altra cosa!): a conferma di ciò aggiungo che comunque ho la certezza che i miei studenti non imparano nulla a memoria in quanto possono, in ogni verifica della loro preparazione, consultare tutto (tranne persone, ovviamente!). Un'altra sarebbe quella di arrivare a costruire una teoria che non usa i limiti ma permette di dimostrare rigorosamente i teoremi (gia basterebbe solo quello di Fermat) più semplici e comuni dell'ottimizzazione.
Ed è quest'ultima strada che è quella che vorrei realizzare e sulla quale ho chiesto il vostro aiuto.

[Fioravante Patrone1]

Concordo con irenze

Ci vedo tre svantaggi nel seguire questa strada per studenti di una quinta liceo scientifico:
- uno si trova in un ghetto. Come quei poveretti che non hanno in casa la TV e non possono vedere tutti i reality. Scherzi a parte, potrebbero esserci problemi con classi parallele, con l'esame di maturità, con il seguito;
- l'argomentazione di irenze: per evitare i limiti si segue una strada che, forse, porta a un sovraccarico mnemonico eccessivo
- il concetto di limite è importante e può essere compreso a un ragionevole livello da uno studente medio-buono di un liceo scientifico. Piuttosto che privilegiare l'approccio esotico di luluemicia, dedicherei impegno e mezzi a una presentazione grafico-intuitiva dell'idea. Non capisco perché non si faccia uso sufficiente di strumenti multimediali che servirebbero molto alla comprensione del concetto

Ulteriori commenti sparsi:
- comunque è una strada che potrebbe essere interessante. Guardati un po' attorno, per vedere se non sia già stata seguita (il mondo è grande!)
- un approccio assiomatico è sempre una strada carina. Il guaio è fissare la classe cui lo applichi. Almeno i polinomi, ok. Ma allora anche le funzioni razionali (mica gli vorrai proibire di fare le divisioni). E le inverse? Un po' duro dire di no... Insomma, il guaio è trovare una classe ragionevole e maneggevole di funzioni che sia "chiusa" rispetto ai "mastruzzi" standard che si fanno con le funzioni

[size=75]Però la piantiamo di menzionarmi a sproposito? Altro che grande vecchio, mi sento una specie di santone (ho anche dovuto dare la benedizione, oggi!). E ad un ateo inossidabile come me, questo crea delle crisi esistenziali profonde![/size]

[zorn1]

Sembra davvero interessante! Come hai definito le derivate assiomaticamente? Operatori lineari con la regola del prodotto? (così l'ho trovata una volta, la teoria dei campi differenziali)... O bisogna anche aggiungere altro (tipo regola per la derivata della reciproca ecc.)?

Chiedo lumi.

[remo2]

io ho proprio problemi a ricordare le cose!se non capisco sono spacciato!

[irenze]

io al liceo odiavo sinceramente le mie prof quando mi davano diecimila definizioni per lo stesso oggetto (in questo caso la derivata) senza una spiegazione, quindi una cosa del genere l'avrei trovata decisamente insopportabile
il motivo? preferivo (e preferisco) capire piuttosto che usare la memoria, in realtà di solito avevo (ho) proprio problemi a ricordarmi le cose che non capisco