Problema con una dimostrazione per induzione.

[terubozu]

Salve spero che qualcuno possa aiutarmi con la dimostrazione per induzione semplice di questa formula:

(1/3)(5/7)...[(4n+1)/(4n+3)]<1/sqrt(4n+5)

scusatemi il modo con cui l'ho scritta ma attualmente non ho nessun editor di fomule matematiche perchè sono appena passato ad un macbook. Sono sicuro che la soluzione sarà di una semplicità disarmante... io l'ho risolto in un certo modo ma non sono sicuro di aver seguito un procedimento lecito. Mi pacerebbe avere il parere di altri.


Grazie a tutti.

[alberto.cena]

Devi dimostrare che $\frac{\sqrt{4n+5}}{4n+7} < \frac{1}{\sqrt{4n+9}}$.
Riscrivi la disuguaglianza
$\sqrt{4n+5} \sqrt{4n+9} < 4n+7$
ed osservi che $4n+7 = \frac{(4n+5)+(4n+9)}{2}$.

[terubozu]

Qualcuno può aiutarmi a capire l'ultimo passaggio della soluzione datami da pic ? io non riesco ad applicarla alla disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica come ha fatto lui.

Grazie mille.

[terubozu]

Ti ringrazio per la velocità nella risposta, ma pur avendo presente la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica non riesco a capire l'ultimo passaggio. Se tu potessi spiegarmi più in dettaglio (se possibile) te ne sarei molto grato.

Grazie mille.

[pic2]

Non serve l'editor basta conoscere i codici .... $\frac{1}3\cdot \frac{5}7...\frac{4n+1}{4n+3}<(4n+5)^{-\frac{1}2} $

Comunque se quella roba vale per n allora per n+1 hai $LHS < (4n+5)^{\frac{1}2}(4n+7)^{-1}<(4n+9)^{-\frac{1}{2}$ che è la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica