Premi in denaro per problemi di matematica
Esistono problemi o equazioni irrisolte, teoremi non dimostrati o qualcosa di simile per cui sono stati stanziati dei premi in denaro per la loro soluzione?
Risposte
Come si pone il problema di Yang-Mills link rispetto agli altri sei? Vale a dire:
Results from lattice gauge theory have convinced many that quantum Yang–Mills theory for a non-abelian Lie group model exhibits confinement—as indicated, for example, by an area law for the falloff of the vacuum expectation value (VEV) of a Wilson loop. However, these results are not mathematically rigorous because much of the evidence comes from numerical (computer) methods.
Un matematico potrebbe approcciarsi al problema studiando libri di fisica matematica o è necessaria un conoscenza profonda ed intuitiva delle idee dal punto di vista fisico e di tutti i paper di fisica delle particelle? O è un problema matematico ben posto da analizzare "semplicemente" dal punto di vista matematico? Sempre che la mia domanda abbia senso.
Results from lattice gauge theory have convinced many that quantum Yang–Mills theory for a non-abelian Lie group model exhibits confinement—as indicated, for example, by an area law for the falloff of the vacuum expectation value (VEV) of a Wilson loop. However, these results are not mathematically rigorous because much of the evidence comes from numerical (computer) methods.
Un matematico potrebbe approcciarsi al problema studiando libri di fisica matematica o è necessaria un conoscenza profonda ed intuitiva delle idee dal punto di vista fisico e di tutti i paper di fisica delle particelle? O è un problema matematico ben posto da analizzare "semplicemente" dal punto di vista matematico? Sempre che la mia domanda abbia senso.
"Luca.Lussardi":
[quote="balestra_romani"]
Esistono gli enunciati dei problemi in lingua italiana comprensibili anche ai meno colti in matematica?
Vorrei rispondere a questa domanda. I problemi segnalati non sono un gioco accademico: la matematica non è come nei film in cui arriva il bambino prodigio che stupisce gli scienziati o arriva il giovane bidello palestrato che scrive sulle lavagne una soluzione di un difficile problema di teoria dei grafi senza aver studiato. Fare matematica è una cosa seria, e anche quei problemi sono una cosa seria, al di là del compenso offerto, e in quanto seria richiedono competenza anche solo per essere compresi, figuriamoci per essere risolti.[/quote]
Quanto hai ragione!
Comunque Fermat non è nell'elenco perché risolto prima del nuovo millennio e i problemi del Clay sono apposta dedicati al Duemila. E i problemi aperti sono molti altri... La congettura di Goldbach è un esempio. Tra l'altro, ho letto da qualche larte che si stanno facendo importanti passi avanti verso la soluzione della congettura debole di Goldbach, senza alcun premio per la dimostrazione
@balestra_romani: L'ultimo teorema di Fermat ti è stato citato come esempio di enunciato semplice con dimostrazione inaccessibile alla maggior parte delle persone, matematici inclusi, nessuno ci si è mai riferito come ad un problema aperto.
Io personalmente (*) ho interpretato le tue domande come: "c'è qualche bel problema aperto in cui mi posso cimentare per vincere il premio?". Mi sembra di capire dal tuo ultimo intervento che non è così (mi auguro che tu estenda quanto detto anche a tutti gli altri problemi, però!) e allora ti porgo le mie sentite scuse.
Sai, il mondo è pieno di pazzi arroganti che provano a risolvere l'ultimo teorema di Fermat in modo "elementare" e su questo forum abbiamo già avuto spiacevoli precedenti. Quindi siamo tutti un po' prevenuti, credo.
@dzcosimo: il problema in sé merita poco più del titolo di "curiosità". L'interesse è il fatto che è rimasto aperto per 300 anni. E le tecniche sviluppate per affrontarlo hanno un'importanza teorica pazzesca, ma non voglio entrare adesso nei dettagli, sia perché non sono (ancora) così tanto competente da poter salire in cattedra, sia perché è un discorso che comunque ci porterebbe assai off topic. E' un ottimo esempio di quel che si diceva prima: un problema che ha guidato la ricerca matematica per la bellezza di 300 anni.
(*) A giudicare dalle risposte che hai avuto, però, mi sembra di non essere il solo!
Io personalmente (*) ho interpretato le tue domande come: "c'è qualche bel problema aperto in cui mi posso cimentare per vincere il premio?". Mi sembra di capire dal tuo ultimo intervento che non è così (mi auguro che tu estenda quanto detto anche a tutti gli altri problemi, però!) e allora ti porgo le mie sentite scuse.
Sai, il mondo è pieno di pazzi arroganti che provano a risolvere l'ultimo teorema di Fermat in modo "elementare" e su questo forum abbiamo già avuto spiacevoli precedenti. Quindi siamo tutti un po' prevenuti, credo.
@dzcosimo: il problema in sé merita poco più del titolo di "curiosità". L'interesse è il fatto che è rimasto aperto per 300 anni. E le tecniche sviluppate per affrontarlo hanno un'importanza teorica pazzesca, ma non voglio entrare adesso nei dettagli, sia perché non sono (ancora) così tanto competente da poter salire in cattedra, sia perché è un discorso che comunque ci porterebbe assai off topic. E' un ottimo esempio di quel che si diceva prima: un problema che ha guidato la ricerca matematica per la bellezza di 300 anni.
(*) A giudicare dalle risposte che hai avuto, però, mi sembra di non essere il solo!
"balestra_romani":
RIBADISTO PER LA 2° VOLTA: NON HO NESSUNA SOLUZIONE DIFFERENTE A QUESTO BENEDETTO TEOREMA DI FERMAT E NON SONO ARROGANTE PERCHE' NON HO MAI DETTO A NESSUNO DI AVERE O DI POTER TROVARE IN TEMPI BREVI UNA SOLUZIONE SEMPLICE AL TEOREMA DI FERMAT! Se con capite sta volta, senza offesa, siete da ricovero!
ecco
ora sei stupidamente arrogante
Non fregandomene nulla nè del discorso nè della tua opinione la cosa non mi offende, quindi non ti disturbare a scusarti
chiarito questo, come dicevano prima fermat non è fra i 7 problemi, anche perchè personalmente non credo sia di tutta questa importanza teorica (anche se probabilmente mi sbaglio essendo un assoluto ignorante a riguardo)
"dzcosimo":
da come parli sembri alludere ad una possibile tue elaborazione di una soluzione semplice al teorema di fermat (che personalmente credevo non avesse tutt'ora soluzione). Se così è mi sento di appoggiare in linea di massima quanto detto da maurer, anche se magari con un po' più di diplomazia (ma non per forza).
Se così non è credo ci sia stato solo un misunderstanding
Se per il teorema di Fermat non ci sono premi per quale ragione me ne avete parlato?!?
RIBADISTO PER LA 2° VOLTA: NON HO NESSUNA SOLUZIONE DIFFERENTE A QUESTO BENEDETTO TEOREMA DI FERMAT E NON SONO ARROGANTE PERCHE' NON HO MAI DETTO A NESSUNO DI AVERE O DI POTER TROVARE IN TEMPI BREVI UNA SOLUZIONE SEMPLICE AL QUESITO SULLA TERNA NUMERICA! Se con capite sta volta, senza offesa, siete da ricovero!
da come parli sembri alludere ad una possibile tue elaborazione di una soluzione semplice al teorema di fermat (che personalmente credevo non avesse tutt'ora soluzione). Se così è mi sento di appoggiare in linea di massima quanto detto da maurer, anche se magari con un po' più di diplomazia (ma non per forza).
Se così non è credo ci sia stato solo un misunderstanding
Se così non è credo ci sia stato solo un misunderstanding
"FedeCapo":
sono appunto i sette problemi del millennio: un milione di dollari per chi riesce a dimostrarli:
- Ipotesi di Riemann: dimostrare che tutti gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann hanno parte reale pari a $\frac{1}{2}$. La cosa appartiene all'analisi complessa ma ha importanti ripercussioni sui numeri primi. (1)
- Congettura di Poincaré: l'n-sfera è l'unica superficie semplicemente connessa (topologia). Risolta nel 2003 da Perelman che ha rifiutato il premio (2)
- Equazioni di Navier-Stokes (fluidodinamica): dimostrare che le soluzioni, per dati reali, esistono sempre e sono continue. i tratta di equazioni alle derivate parziali troppo complesse da risolvere e comprendere. (3)
- P vs NP: (teoria della complessità e informatica teorica): tutti i problemi che possono essere verificati da una macchina deterministica in tempo polinomiale (cioè breve) possono essere risolti dalla stessa macchina in un tempo polinmiale. inutile dire quali sarebbero le conseguenze sull'informatica. (4)
- Congettura di Hodge sulla relazione tra varietà algebriche e spazio proiettivi (5)
- Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer: le equazioni ellittiche sui numeri razionali hanno un numero finito o infinito di soluzioni? le equazioni ellittiche vengono usate nella crittografia e la congettura è collegata all'ipotesi di Riemann e ai numeri primi. (6)
- Teoria di Yang-Mills: è una teoria quantistica di gauge del gruppo SU(N) su cui si basa il Modello Standard. L'ipotesi del confinamento, e cioè che nello spettro a bassa energia la massa particellare non è nulla, è dimostrata sperimentalmente: un milione di dollari al coraggioso eroe che riuscirà a dedurla dalla teoria di Yang-Mills. (7)
Io qua ne conto 7 e il cosiddetto ultimo teorema di Fermat non lo vedo.
Semplice = Comprensibile da un ragazzo delle elementari.
Arroganza!?!?! Hai bevuto? Io ho fatto quella domanda solo per capire se i problemi erano 6 oppure 7! Se il teorema di Fermat é stato risolto allora non é più un problema da 1000000 di dollari e non dovete elencarmelo quando vi chiedo i quesiti di matematica irrisolti a cui é stato assegnato un premio. Prima di dar dell'arrogante ad una persona forse sarebbe meglio pensare se i risultati a cui siete giunti sono corretti e curare un pochetto di più i vostri interventi.
P.S.: Le tue scuse maurer sarebbero gradite.
Arroganza!?!?! Hai bevuto? Io ho fatto quella domanda solo per capire se i problemi erano 6 oppure 7! Se il teorema di Fermat é stato risolto allora non é più un problema da 1000000 di dollari e non dovete elencarmelo quando vi chiedo i quesiti di matematica irrisolti a cui é stato assegnato un premio. Prima di dar dell'arrogante ad una persona forse sarebbe meglio pensare se i risultati a cui siete giunti sono corretti e curare un pochetto di più i vostri interventi.
P.S.: Le tue scuse maurer sarebbero gradite.
no vanno bene solo dimostrazioni complicate
Io sinceramente non capirò mai questa arroganza mentale. Il fatto che ci abbiano provato per 300 anni le migliori menti matematiche del pianeta senza successo, non dovrebbe essere indice di qualcosa? Poi la speranza è l'ultima a morire, per la carità, ma mi sembra davvero presuntuoso, soprattutto da parte di chi non ha una salda conoscenza della materia.
In ogni caso quel premio (mi riferisco al Wolfskehl) è stato assegnato proprio a Wiles.
E, per finire, definisci la parola "semplice".
In ogni caso quel premio (mi riferisco al Wolfskehl) è stato assegnato proprio a Wiles.
E, per finire, definisci la parola "semplice".
"Quinzio":
[quote="Luca.Lussardi"][quote="balestra_romani"]
Esistono gli enunciati dei problemi in lingua italiana comprensibili anche ai meno colti in matematica?
Vorrei rispondere a questa domanda.
[...]
[/quote]
Concordo pienamente sul fatto che questi problemi non vadano presentati come giochi da "settimana enigmistica", ma richiedono le più alte conoscenze di varie discipline di matematica.
D'altra parte non sento la necessità di avvertire i curiosi sulle inestricabili difficoltà che questi problemi presentano.
Chi si cimentasse alla loro comprensione senza le dovute conoscenze e cautele ben presto si ritroverebbe impigliato in pagine e pagine di simboli e concetti pressochè incomprensibili, e velocemente troverebbe una qualche attività più consona al suo livello.
Viceversa anche la sola curiosità e la sfida del premio potrebbero avvicinare più di una persona ad appassionarsi a questa materia che non gode di molta popolarità e di molta simpatia tra il popolo.
Dunque non vedo la necessità di allontanare alcuno.
E torniamo alla domanda
"balestra_romani":
Esistono gli enunciati dei problemi in lingua italiana comprensibili anche ai meno colti in matematica?
La semplicità o difficoltà dell'enunciato non è direttamente proporzionale alla difficoltà della soluzione. Esistono enunciati brevi, a volta anche intuitivi, ma che sono orribili da dimostrare formalmente. come esistono problemi complessi da enunciare, ma di cui esiste una soluzione non incomprensibile.
Ad es. l'ultimo teorema di Fermat, ormai famoso, è rimasto irrisolto per secoli ed è stato dimostrato solo qualche anno fa da un professore inglese, tal Wiles.
L'enunciato del teorema è quanto mai semplice... ovvero che non esistono $a, b, c \in NN$ tali che $a^n+b^n=c^n$, con $n>2$.
Per $n=2$ siamo al famosissimo teorema di Pitagora che tutti conoscono, ed esistono infinite terne di numeri interi che soddisfano l'equazione, ad es. 3, 4, e 5.
Con $n=3$ no, non ce n'è neanche una di terne. Neanche con n=10, 20, qualunque n.
Per secoli è stato congetturato che il teorema fosse corretto senza avere la dimostrazione.
Il problema è dimostrarlo.
La dimostrazione di Wiles è un documento di 100 pagine, dove si tratta di forme modulari, curve ellittiche e altri aggeggi matematici. Da qualche parte c'è in rete. Io non vado oltre la metà della prima pagina, dopo la prefazione.
Però esistono dei libri che cercano di spiegare questo e altri interessanti quesiti in forma molto più accessibile. Buon divertimento.[/quote]
Ma se un matematico riuscisse a dimostrare in modo semplice che esiste una terna a, b, c appartenente ad N solo quando n é minore di 2 avrebbe diritto ai 700000 euro oppure no?
Lo so che P vs NP indica solo che una soluzione esiste, non quale essa sia. Però apre le porte ad una possibile ricerca. Non è per risolvere il commesso viaggiatore, è ovvio, ha importanza teorica. Quello che ho scritto era soltanto per indicare alcune possibile ripercussioni del problema. Notare che molti dei problemi del millennio hanno iportanza pratica per scienze applicate come PvsNP per l'informatica appunto, o Navier-Stokes per la fisica e l'ingegneria e così via.
"hamming_burst":
se le città sono tutte collegate con misura euclidea, un algoritmo di risoluzione ha complessità nota $O(nlogn)$.
Il TSP è NP-hard anche con la distanza euclidea. Però a differenza del TSP nel caso generale (che non ammette approssimazioni) e nel caso metrico (inapprossimabile a meno di 4/3 dall'ottimo) ammette uno schema di approssimazione polinomiale (PTAS), ovvero per ogni $epsilon$ esiste un algoritmo polinomiale nell'istanza del problema, ma non in $epsilon$, che restituisce una soluzione $epsilon$-ottima.
Ad ogni modo per il TSP esistono algoritmi (Held-Karp) che lavorano in tempo $2^n$ che è già qualcosa meglio che $n!$.
Comunque se dovesse venire provato P=NP saremmo di fronte ad una rivoluzione inedita per l'informatica e la matematica tutta; e non solo per la possibilità di trovare algoritmi efficienti per una varietà enorme di problemi, non solo perché la moderna crittografia verrebbe praticamente annullata, ma soprattutto perché le nostre intuizioni su come funziona la computazione che abbiamo raffinato nel corso degli ultimi 40 anni verrebbero drasticamente mutate.
Questo però non credo potrà mai accadere visto che nessun ricercatore del settore ormai pensa che P=NP.
E anche dimostrare che P!=NP è per ora un traguardo molto lontano; basti pensare che vorremmo dimostrare dei lower bound superpolinomiali per SAT quando ancora non esistono dei lower bound superlineari (sappiamo però che non possono esistere algoritmi per SAT in tempo lineare usando spazio logaritmico).
Meglio precisare:
questo è il TSP euclideo o geodetico versione ottimizzazione dove le città non sono tutte collegate. Le distanze in un altro TSP potrebbero esser misurate in peperoni. Nel senso si dice "note le distanze" la misura è su un altro piano.
Poi sarebbe il "circuito" più breve...
se le città sono tutte collegate con misura euclidea, un algoritmo di risoluzione ha complessità nota $O(nlogn)$.
non è esattamente così. Ma ciò che hai espresso da un'idea...
"FedeCapo":
Si tratta di determinare qual è il percorso più breve tra n città di cui sono note le distanze chilometriche.
questo è il TSP euclideo o geodetico versione ottimizzazione dove le città non sono tutte collegate. Le distanze in un altro TSP potrebbero esser misurate in peperoni. Nel senso si dice "note le distanze" la misura è su un altro piano.
Poi sarebbe il "circuito" più breve...
Ad oggi l'unico tipo di soluzione conosciuta è... provarle tutte, ma la complessità è $n!$, certamente non polinomiale.
se le città sono tutte collegate con misura euclidea, un algoritmo di risoluzione ha complessità nota $O(nlogn)$.
se P e NP fossero equivalenti, allora esisterebbe un algoritmo polinomiale (andrebbe trovato) per il problema e ciò semplificherebbe molte cose. tra l'altro trovare un algoritmo del genere dimostrerebbe già P vs NP
non è esattamente così. Ma ciò che hai espresso da un'idea...
"dzcosimo":
D'altro canto PvsNP ha un enorme importanza teorica, non foss'altro per indirizzare o meno la ricerca degli anni futuri, e credo che la stessa cosa possa valere per gli altri problemi, anche se non ho le competenze per affermarlo con coscienza di causa.
Sono sostanzialmente d'accordo, per lo meno sui problemi su cui ho competenze sufficienti per pronunciarmi in merito (intendo dire quelli di cui per lo meno capisco l'enunciato e la difficoltà).
"dzcosimo":
Esistono già ottimi algoritmi sub-ottimi per il TSP, è vero, all'aumentare dei nodi non scalano molto bene, ma a mio avviso è molto più utile da un punto di vista puramente pratico procedere su questo versante che risolvere PvsNP,
esattamente ed è molto corretto ciò che dici.
Nelle scienze informatiche ci sono molti settori di ricerca che creano e sviluppano tecniche algoritmiche che danno delle soluzioni quasi-ottimi a questi problemi, cioè dare soluzioni pratiche al mondo reale. La ricerca ha sviluppato tecniche affascinanti che risolvono questi problemi a seconda della nostra volontà di correttezza, es. gli algoritmi approssimati o la ricerca locale.
"FedeCapo":
Riguardo alle applicazioni di P vs NP: si pensi ad un problema NP-completo, cioè sicuramente non polinomiale se si dimostrasse che P e NP non sono equivalenti: il problema del commesso viaggiatore. Si tratta di determinare qual è il percorso più breve tra n città di cui sono note le distanze chilometriche. Ad oggi l'unico tipo di soluzione conosciuta è... provarle tutte, ma la complessità è $n!$, certamente non polinomiale. Pensiamo alle applicazioni del problema del commesso viaggiatore: navigatori satellitari, sistemi geografici ma anche circuiti elettronici. se P e NP fossero equivalenti, allora esisterebbe un algoritmo polinomiale (andrebbe trovato) per il problema e ciò semplificherebbe molte cose. tra l'altro trovare un algoritmo del genere dimostrerebbe già P vs NP: qualcuno ha voglia di un milioncino di dollari?
Da un punto di vista pratico mi sento di ridimensionare decisamente quello che dici. Esistono già ottimi algoritmi sub-ottimi per il TSP, è vero, all'aumentare dei nodi non scalano molto bene, ma a mio avviso è molto più utile da un punto di vista puramente pratico procedere su questo versante che risolvere PvsNP, tanto più che una sua eventuale soluzione non risolverebbe affatto il problema del commesso viaggiatore, ma direbbe solo che la soluzione esiste.
D'altro canto PvsNP ha un enorme importanza teorica, non foss'altro per indirizzare o meno la ricerca degli anni futuri, e credo che la stessa cosa possa valere per gli altri problemi, anche se non ho le competenze per affermarlo con coscienza di causa.
A chi fosse interessato a capire la reale portata di questi problemi, un paio di "letturine":
- The Riemann Hypothesis - Peter Borwein e compagni
- Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem - Andrew Wiles
- The Riemann Hypothesis - Peter Borwein e compagni
- Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem - Andrew Wiles
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