Omeomorfismo fra un aperto ed un chiuso
Considerate l'insieme composto da \(0\) ed \(1\) con \(0\) aperto. \(f(0)=1\) è un omeomorfismo nella topologia degli insiemi di definizione, che sono rispettivamente un aperto ed un chiuso. Qual è l'intoppo? 
Risposte
"vict85":
Se tu invece ti riferisci al fatto che la funzione \(\displaystyle f\colon \{0\}\to \{1\} \) è un omeomorfismo in cui dominio e codominio hanno la topologia indotta allora è ovvio per il fatto che sono formati da un solo elemento e l'insieme completo è sia aperto che chiuso. Sostanzialmente hanno la topologia discreta.
Anche questo è vero. Con aperto però intendo sempre aperto nella topologia di \(\{0,1\}\), idem per chiuso. Altrimenti non mi sarei preso la briga di specificare la topologia di \(\{0,1\}\) e sarebbe stato troppo banale. Scusa ma continuo a non capire che cosa vuoi dire. Niente di trascendentale, solo che dato uno spazio posso costruire un omeomorfismo fra un suo aperto ed un suo chiuso.
Me lo sono chiesto perché ne avevo bisogno in un esercizio e ho trovato questo esempio che mi sembrava curioso link. Ho ingenuamente pensato che generasse lo stesso dubbio verso chiunque, ovvero un omeomorfismo trasforma aperti in aperti...
Scusa ma continuo a non capire che cosa vuoi dire. Se \(\{0,1\}\) ha quella topologia sia nel dominio che nel codominio allora la funzione
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & \text{se }x=0\\ 0 &\text{se }x=1 \end{cases} \)
Non solo non è un omeomorfismo ma non risulta neanche essere continua in quanto la controimmagine dell'aperto \(\displaystyle {0} \) non è un aperto.
Se tu invece ti riferisci al fatto che la funzione \(\displaystyle f\colon \{0\}\to \{1\} \) è un omeomorfismo in cui dominio e codominio hanno la topologia indotta allora è ovvio per il fatto che sono formati da un solo elemento e l'insieme completo è sia aperto che chiuso. Sostanzialmente hanno la topologia discreta.
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & \text{se }x=0\\ 0 &\text{se }x=1 \end{cases} \)
Non solo non è un omeomorfismo ma non risulta neanche essere continua in quanto la controimmagine dell'aperto \(\displaystyle {0} \) non è un aperto.
Se tu invece ti riferisci al fatto che la funzione \(\displaystyle f\colon \{0\}\to \{1\} \) è un omeomorfismo in cui dominio e codominio hanno la topologia indotta allora è ovvio per il fatto che sono formati da un solo elemento e l'insieme completo è sia aperto che chiuso. Sostanzialmente hanno la topologia discreta.
Giusto, devo essere più chiaro. La funzione \(f\) va da \(\{0\}\) ad \(\{1\}\) sottoinsiemi di \(\{0,1\}\). La topologia di \(\{0,1\}\) ha \(\{0\}\) e \(\{0,1\}\) come aperti, oltre all'insieme vuoto. Ora, quello che viene fuori è un omeomorfismo fra un aperto in \(\{0,1\}\) ed un chiuso in \(\{0,1\}\). Mi ha incuriosito dato che un omeomorfismo trasforma aperti in aperti, a patto di considerare la giusta topologia.
Direi che i problemi sono 3:
[list=1][*:1434dr21] Non hai definito la funzione per tutto l'insieme ma per un solo punto;[/*:m:1434dr21]
[*:1434dr21] Non hai espresso quale sia il secondo insieme;[/*:m:1434dr21]
[*:1434dr21] Non hai definito la topologia sul secondo insieme.[/*:m:1434dr21][/list:o:1434dr21]
Indicativamente direi che \(\displaystyle f \) è una funzione da \(\displaystyle (\{0,1\}, \mathscr{T} = \{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\}) \) in \(\displaystyle (\{0,1\}, \mathscr{T}' = \{\emptyset, \{1\}, \{0,1\}\}) \). In questo senso non ci sono intoppi.
[list=1][*:1434dr21] Non hai definito la funzione per tutto l'insieme ma per un solo punto;[/*:m:1434dr21]
[*:1434dr21] Non hai espresso quale sia il secondo insieme;[/*:m:1434dr21]
[*:1434dr21] Non hai definito la topologia sul secondo insieme.[/*:m:1434dr21][/list:o:1434dr21]
Indicativamente direi che \(\displaystyle f \) è una funzione da \(\displaystyle (\{0,1\}, \mathscr{T} = \{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\}) \) in \(\displaystyle (\{0,1\}, \mathscr{T}' = \{\emptyset, \{1\}, \{0,1\}\}) \). In questo senso non ci sono intoppi.
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