Non siamo degni della verità
Carissimi amici e conoscitori della matematica,
ci sforziamo di capire leggi dell'universo che trascendono completamente l'uomo e la sua natura razionale. Integrali, derivate, relatività einsteniana, leggi elettromagnetiche di Maxwell,...ma signori qualcuno tirando le somme mi sa spiegare perchè 1+1=2???
ci sforziamo di capire leggi dell'universo che trascendono completamente l'uomo e la sua natura razionale. Integrali, derivate, relatività einsteniana, leggi elettromagnetiche di Maxwell,...ma signori qualcuno tirando le somme mi sa spiegare perchè 1+1=2???
Risposte
se cambi gli assiomi e te ne inventi di altri nessuno te lo vieta...
scusa ma se posso imporre che 2+2=5 posso anche dire che 2+2=7 e via dicendo. Posso quindi creare infinite matematiche coerenti e per loro proprietà standard.
Certo che lo puoi porre (magari usando un altro simbolo per non confondersi), però adesso la tua "somma" non gode più delle proprietà di quella standard.
Il succo della matematica è dare definizioni intelligenti.
Il succo della matematica è dare definizioni intelligenti.
No devo dire che lo subito notato ma per me è indifferente!
Anzi a quanto mi hai detto tu Maxos io posso imporre benissimo che la somma di 2+2 sia uguale 5 quindi non ci vedo nulla di strano!
Anzi a quanto mi hai detto tu Maxos io posso imporre benissimo che la somma di 2+2 sia uguale 5 quindi non ci vedo nulla di strano!
@Luca
Fortuna che V per Vendetta non ha notato la tua avatar
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Sì, ok, ma come appunto si diceva questa definizione di successivo non è consistente con l'ordinamento ereditato da $\NN$.
Dunque anche in $\QQ$ non è ben posto il problema se uno vuole rispettare l'ordinamento.
Dunque anche in $\QQ$ non è ben posto il problema se uno vuole rispettare l'ordinamento.
"Maxos":
@Luca
In $QQ$ non è definito il successivo in maniera naturale, cioè che rispetti diciamo la metrica, ma conosci meglio di me il procedimento diagonale di Cantor, chiaro che è poco significativo, ma...
ecco, si, io mi riferivo appunto a questo.
1+1=2 è la definizione di una operazione sui naturali, cioè poni tu che la somma funziona così, basta, è una operazione che inventi tu e che si comporta come dici tu, non è un mistero.
@Luca
In $QQ$ non è definito il successivo in maniera naturale, cioè che rispetti diciamo la metrica, ma conosci meglio di me il procedimento diagonale di Cantor, chiaro che è poco significativo, ma...
@Luca
In $QQ$ non è definito il successivo in maniera naturale, cioè che rispetti diciamo la metrica, ma conosci meglio di me il procedimento diagonale di Cantor, chiaro che è poco significativo, ma...
Carissimi,
mi sembra di capire che dunque in matematica la domanda: "Qual è il numero reale quantificabile dopo l'1?" non si possa neppure pensare per definizione di R.
Voglio ritornare all'inizio della discussione sulla più elementare delle proposizioni numeriche ovvero: 1+1=2. Questa espressione è secondo quanto detto una verità assoluta quindi certezza. Ora possiamo rifiutarla questa verità?Si possiamo! Essa non è altro che un atto espresso dal segno + con il quale si associano due entità per generarne una sola, e di una affermazione, = 2 , che qualcuno potrebbe contestare come arbitraria. Infatti, per essa la nuova entità è semplicemente data dall'accostamento (logico, non fisico) delle due entità di partenza, accostamento che chiamiamo somma.
Dal punto di vista matematico, nessuno può impedirmi di stabilire questa, come una delle tante altre definizioni; ma dal punto di vista della realtà ciò non basta per dichiararla "vera" a priori: lo sarebbe solo se le entità di partenza fossero assimilabili agli atomi.
Quindi, la definizione stessa non è l'espressione di una verità oggettiva, ma piuttosto di una convenzione. Ora, che la convenzione sia in pratica accettabile in un gran numero di situazioni del nostro mondo reale, è un dato di fatto che ne giustifica la convenienza; ma il passaggio all'assoluto non c'è. Con ciò non intendo affatto smontare la matematica, voglio smontare la sua presunta certezza!
Godel credeva in una matematica certa, perchè era si platonico come del resto Cartesio, ma in quanto riteneva che noi possiamo conoscere le verità matematica esattamente come Dio sebbene in una quantità infinitamente minore!
Se dunque sposiamo questa ipotesi dicendo 1+1=2 perchè ce l'ha detto Dio allora la matematica diviene all'istante umanamente incomprensibile.
"Quello che sappiamo non è molto. Quello che non sappiamo è immenso" diceva Laplace
"Il solo motivo di credere alla matematica è che la matematica funziona" diceva Imre Lakatos
...e poi professor Lussardi la sua domanda: "l'aula dove stiamo facendo lezione è derivabile?" è correttissima: tutto (o quasi) è matematica!
mi sembra di capire che dunque in matematica la domanda: "Qual è il numero reale quantificabile dopo l'1?" non si possa neppure pensare per definizione di R.
Voglio ritornare all'inizio della discussione sulla più elementare delle proposizioni numeriche ovvero: 1+1=2. Questa espressione è secondo quanto detto una verità assoluta quindi certezza. Ora possiamo rifiutarla questa verità?Si possiamo! Essa non è altro che un atto espresso dal segno + con il quale si associano due entità per generarne una sola, e di una affermazione, = 2 , che qualcuno potrebbe contestare come arbitraria. Infatti, per essa la nuova entità è semplicemente data dall'accostamento (logico, non fisico) delle due entità di partenza, accostamento che chiamiamo somma.
Dal punto di vista matematico, nessuno può impedirmi di stabilire questa, come una delle tante altre definizioni; ma dal punto di vista della realtà ciò non basta per dichiararla "vera" a priori: lo sarebbe solo se le entità di partenza fossero assimilabili agli atomi.
Quindi, la definizione stessa non è l'espressione di una verità oggettiva, ma piuttosto di una convenzione. Ora, che la convenzione sia in pratica accettabile in un gran numero di situazioni del nostro mondo reale, è un dato di fatto che ne giustifica la convenienza; ma il passaggio all'assoluto non c'è. Con ciò non intendo affatto smontare la matematica, voglio smontare la sua presunta certezza!
Godel credeva in una matematica certa, perchè era si platonico come del resto Cartesio, ma in quanto riteneva che noi possiamo conoscere le verità matematica esattamente come Dio sebbene in una quantità infinitamente minore!
Se dunque sposiamo questa ipotesi dicendo 1+1=2 perchè ce l'ha detto Dio allora la matematica diviene all'istante umanamente incomprensibile.
"Quello che sappiamo non è molto. Quello che non sappiamo è immenso" diceva Laplace
"Il solo motivo di credere alla matematica è che la matematica funziona" diceva Imre Lakatos
...e poi professor Lussardi la sua domanda: "l'aula dove stiamo facendo lezione è derivabile?" è correttissima: tutto (o quasi) è matematica!
Anche in $\QQ$ non è ben posto il problema, quindi non si tratta di un problema che discende dalla numerabilità, bensì dal fatto che $\NN$ e $\ZZ$ sono insiemi "discreti", ed in un insieme discreto totalmente ordinato il problema posto ha un suo significato.
Ribadisco quindi per l'ultima volta a chi ha posto la domanda, anche se già è stato detto, che non è che noi non sappiamo rispondere alla domanda, è la domanda che non è pertinente. E' come se io chiedessi ai miei studenti: "l'aula dove stiamo facendo lezione è derivabile?" Cos'è la risposta? non sappiamo rispondere e allora c'è mistero nella Matematica? non sappiamo rispondere perchè l'aula non è una funzione.
Ribadisco quindi per l'ultima volta a chi ha posto la domanda, anche se già è stato detto, che non è che noi non sappiamo rispondere alla domanda, è la domanda che non è pertinente. E' come se io chiedessi ai miei studenti: "l'aula dove stiamo facendo lezione è derivabile?" Cos'è la risposta? non sappiamo rispondere e allora c'è mistero nella Matematica? non sappiamo rispondere perchè l'aula non è una funzione.
"V per Vendetta":
Hai fatto bene a precisare a cosa si riferiva Godel. Ho voluto però evidenziare il fatto che uno dicesse che in matematica si conosce tutto e un'altro esattamente l'opposto. Inoltre Hilbert era molto dubbioso su quel che aveva asserito con quelle parole: in poche parole non ci credeva neanche lui a quel che aveva detto. Per quanto riguarda la mia domanda tu dici che in R non è ben definito un numero "successivo" ad un altro. Riassumendo penso che tu voglia dire che non sappiamo con certezza quale numero reale ci sia dopo 1. Ora alla luce di questo mi consentirai di dire che qualcosa di misterioso in matematica esiste!
mah...
di solito in una discussione mi piace metteri da chi sostiene la tesi in minoranza, ma devo dire che questa volta non posso...
Goedel sosteneva che all'interno di un sistema formale S c'è sempre una proposizione G vera che è indimostrabile, indipendentemente dagli assimi di S, all'interno del sistema stesso. Questo non significa che la matematica sia incerta, esprime solo i limiti del formalismo. E dirò di più: Goedel era un platonista, anche se può sembrare strano ad una prima analisi del suo lavoro, credeve quindi in una matematica certa e indipendente dall'uomo e dal suo pensiero.
Per la domanda riguardo il successivo R credo che ci vorrebbe un esempio azzeccato, che ora io non saprei fornirti..., per farti capire ciò che dice il professor Lussardi: non è che non si può parlare del sucessivo in $\RR$ perchè non lo si conosce, ma è così per definizione di $\RR$. E' quello che ha dimostrato Cantor: mentre gli altri insiemi numeri $\NN$, $\ZZ$ e $\QQ$ si possono ordinare e quindi mettere in corrispondenza biunivoca, non si può fare lo stesso con $\RR$, per questo si parla di un'altro tipo di infinito.
Caro V per Vendetta, scusa, la matematica la si può anche voler smontare, ma non nel modo in cui pensi tu.
Il successivo in $RR$ non esiste (in maniera naturale, poi vabbè c'è l'assioma del buon ordinamento ma insomma.....) perchè se ci pensi tra due numeri reali ne esistono tanti quanti sono gli stessi numeri reali, e così infinitamente.
Il $pi$ è il limite di una successione di razionali che sono classi di equivalenza di numeri naturali che sono definiti da Peano o simili.
Su questo non ci piove.
O contesti i fondamenti primi o contesti la logica, tertium non datur.
Beh, se contesti la logica, magari tertium datur, eh eh eh.
Il successivo in $RR$ non esiste (in maniera naturale, poi vabbè c'è l'assioma del buon ordinamento ma insomma.....) perchè se ci pensi tra due numeri reali ne esistono tanti quanti sono gli stessi numeri reali, e così infinitamente.
Il $pi$ è il limite di una successione di razionali che sono classi di equivalenza di numeri naturali che sono definiti da Peano o simili.
Su questo non ci piove.
O contesti i fondamenti primi o contesti la logica, tertium non datur.
Beh, se contesti la logica, magari tertium datur, eh eh eh.
Hai fatto bene a precisare a cosa si riferiva Godel. Ho voluto però evidenziare il fatto che uno dicesse che in matematica si conosce tutto e un'altro esattamente l'opposto. Inoltre Hilbert era molto dubbioso su quel che aveva asserito con quelle parole: in poche parole non ci credeva neanche lui a quel che aveva detto. Per quanto riguarda la mia domanda tu dici che in R non è ben definito un numero "successivo" ad un altro. Riassumendo penso che tu voglia dire che non sappiamo con certezza quale numero reale ci sia dopo 1. Ora alla luce di questo mi consentirai di dire che qualcosa di misterioso in matematica esiste!
Non c'entra niente la questione dei fondamenti in questo caso, quella riguarda la completezza e la coerenza del sistema assiomatico, stai facendo un po' di confusione, forse non conosci bene l'argomento. Quello che sappiamo lo sappiamo, quello che non sappiamo "speriamo" che un giorno lo sapremo, più di così è ovvio che non si può dire. Questo ormai lo sanno tutti e tutti hanno accettato i Teoremi di Godel.
Quanto alla tua insistente domanda, ripeto che non è una domanda ben posta, in quanto in $\RR$ non è ben definito un numero "successivo", come invece lo è in $\NN$.
Quanto alla tua insistente domanda, ripeto che non è una domanda ben posta, in quanto in $\RR$ non è ben definito un numero "successivo", come invece lo è in $\NN$.
Carissimo Luca,
la tue frasi trovano una similitudine con quelle di Hilbert del settembre 1930 che recitivano così:"Wir mussen wissen. Wir werden wissen" (Noi dobbiamo sapere. Noi sapremo). Peccato che neanche Hilbert credeva a quello che aveva detto! Hilbert si era presentato a tutti dicendo che in matematica non c'è nulla di inconoscibile, ma purtroppo per lui Kurt Godel riuscì a far capire a tutti che l'ignoranza è parte integrante della matematica! Provo a rifarti la domanda del thread precedente: "qual è il numero reale quantificabile dopo il numero 1?"
la tue frasi trovano una similitudine con quelle di Hilbert del settembre 1930 che recitivano così:"Wir mussen wissen. Wir werden wissen" (Noi dobbiamo sapere. Noi sapremo). Peccato che neanche Hilbert credeva a quello che aveva detto! Hilbert si era presentato a tutti dicendo che in matematica non c'è nulla di inconoscibile, ma purtroppo per lui Kurt Godel riuscì a far capire a tutti che l'ignoranza è parte integrante della matematica! Provo a rifarti la domanda del thread precedente: "qual è il numero reale quantificabile dopo il numero 1?"
Non capisco perchè ti ostini a dire che non sappiamo cosa sono; essi hanno una definizione? sì, basta, sono quelli, che poi non importi come essi vengano definiti è un altro discorso, ma dalle tue parole uno potrebbe intendere che in Matematica ci siano delle cose misteriose che funzionano anche se nessuno sa perchè: niente di più falso.
Quanto all'ultima domanda, non è ben posta.
Quanto all'ultima domanda, non è ben posta.
Carissimi,
Ma io non conosco la Matematica come nessuno può vantarsi di farlo!
Quando dico che la matematica è inesatta, ma funziona intendo dire che pur operando con qualcosa di cui non conosciamo il valore ESATTO, come nel caso del pgreco, arriviamo ad una soluzione ESATTA. Il termine "inesatta" è un po' forte da usare in ambito scientifico, lo ammetto, ma rende l'idea. Sapevo di sconvolgervi altrimenti non avrei posto alcuna domanda dall'inizio. Io trovo che Russel abbia centrato il problema alla perfezione. Ha ragione l'attento Luca che il non sapere cos'è il numero di Nepero o il pgreco non ha importanza ai fini pratici, ma fatto sta che non sappiamo affatto cosa sono! Visto che Russel sbaglia e la matematica è esatta vi faccio questa domanda: Qual è il numero Reale che segue al numero 1?
Ma io non conosco la Matematica come nessuno può vantarsi di farlo!
Quando dico che la matematica è inesatta, ma funziona intendo dire che pur operando con qualcosa di cui non conosciamo il valore ESATTO, come nel caso del pgreco, arriviamo ad una soluzione ESATTA. Il termine "inesatta" è un po' forte da usare in ambito scientifico, lo ammetto, ma rende l'idea. Sapevo di sconvolgervi altrimenti non avrei posto alcuna domanda dall'inizio. Io trovo che Russel abbia centrato il problema alla perfezione. Ha ragione l'attento Luca che il non sapere cos'è il numero di Nepero o il pgreco non ha importanza ai fini pratici, ma fatto sta che non sappiamo affatto cosa sono! Visto che Russel sbaglia e la matematica è esatta vi faccio questa domanda: Qual è il numero Reale che segue al numero 1?
Per V per Vendetta: è vero che la Matematica ha i suoi limiti, ma non sono quelli che tu hai elencato. In Matematica è perfettamente definito il numero 1, così come la radice di due o il numero di Nepero.
Russel diceva che la Matematica è la sola Scienza esatta nella quale non si sa di cosa si sta parlando nè se quello di cui si parla sia vero o no.
Questa frase è in parte vera (l'esattezza della Matematica) ed in parte va letta con attenzione; infatti in Matematica poco importa come gli oggetti vengono definiti, la cosa veramente importante sono le proprietà che tali oggetti hanno. Quindi non ha una grossa importanza, se non fondazionale, sapere cosa è un numero naturale o cosa è il numero di Nepero, ma l'importante è sapere come si opera con questi oggetti, quali proprietà hanno.
Evidentemente se tu credi che i limiti della Matematica siano quelli che hai detto, non conosci la Matematica.
Russel diceva che la Matematica è la sola Scienza esatta nella quale non si sa di cosa si sta parlando nè se quello di cui si parla sia vero o no.
Questa frase è in parte vera (l'esattezza della Matematica) ed in parte va letta con attenzione; infatti in Matematica poco importa come gli oggetti vengono definiti, la cosa veramente importante sono le proprietà che tali oggetti hanno. Quindi non ha una grossa importanza, se non fondazionale, sapere cosa è un numero naturale o cosa è il numero di Nepero, ma l'importante è sapere come si opera con questi oggetti, quali proprietà hanno.
Evidentemente se tu credi che i limiti della Matematica siano quelli che hai detto, non conosci la Matematica.
"V per Vendetta":
Caro Fields,
noto che la mia affermazione: "la matematica è una scienza inesatta" ti ha sconvolto. Ma scusa non girare intorno al palo, spogliati per una volta della dimensione illuminista e dimmi mi sai spiegare fino in fondo una formula del genere: e^(i*pgreco)+1=0.
Cioè non sai cos'è effettivamente e (numero di Nepero)!
non sai effettivamente cos'è i (radice(-1)???)!
non sai effettivamente cos'è pgreco (per non parlare del suo valore)!
non sai effettivamente cos'è l'1 e lo 0!
Come puoi quindi razionalmente spiegarmi una cosa del genere???
Capisci perchè ti dico che la matematica ha i suoi limiti, ma straordinariamente funziona!!!
Guarda che la matematica non soltanto è esatta, ma non c'è nulla di più esatto! Capisco quello che intendi, ad esempio che non si potrà mai conoscere del tutto $\pi$, causa l'infinità dello sviluppo decimale. Ciononostante tutti concetti che hai elencato possono essere definiti rigorosamente (come ha detto nato_pigro), e la formula si può dimostrare formalmente. Tutto perfettamente esatto!
Che poi la matematica abbia dei limiti è un altro paio di maniche...
"V per Vendetta":
Caro Fields,
noto che la mia affermazione: "la matematica è una scienza inesatta" ti ha sconvolto. Ma scusa non girare intorno al palo, spogliati per una volta della dimensione illuminista e dimmi mi sai spiegare fino in fondo una formula del genere: e^(i*pgreco)+1=0.
Cioè non sai cos'è effettivamente e (numero di Nepero)!
non sai effettivamente cos'è i (radice(-1)???)!
non sai effettivamente cos'è pgreco (per non parlare del suo valore)!
non sai effettivamente cos'è l'1 e lo 0!
Come puoi quindi razionalmente spiegarmi una cosa del genere???
Capisci perchè ti dico che la matematica ha i suoi limiti, ma straordinariamente funziona!!!
no, questi numeri sono definiti precisamente...
poteva sorgere un dubbio di questo tipo se volgliamo partire da prima dell'accettacione degli assiomi. Lo scopo del fondazionalimo nel '900 era quello di dare basi solide alla matematica fondandola sull'insiemistica. Ma l'ultimo importante tentativo in questo senso mi semra di ricordare che sia quello di Frege, smontato però da Russel poco dopo trovandovi un paradosso (quelo spiegato con l'esempio del barbiere...). Quindi direi che la tua obiezione potrebbe aver a che fare con questo fatto...
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