Modo facile per calcolare il quadrato dei numeri

[lasa_pigna]

Correggio, 07/12/2009

Sapevate che per calcolare il quadrato di un numero composta dalle stesse cifre 33, 55, 222, 9999, ecc. c’è un metodo differente dal moltiplicare tra loro i due numeri?
Ecco la nostra proposta; usare una piramide composta da numeri palindromi.

1
121
12321
1234321
123454321
1xxxxxxxxx1

Prendiamo ad esempio il numero 44.
Ora calcoliamo il quadrato di 4 (4*4 = 16)

44 ha due cifre, quindi prenderemo la seconda riga dall’alto della piramide (121)
Ora calcoliamo il numero di partenza uguale al quadrato del numero base per i differenti numeri della riga preposta
16 * 1 = 16
16 * 2 = 32
16 * 1 = 16

Quindi il quadrato di 44 sarà:
16*100 + 32 *10 + 16 = 1.936


Prendiamo ad esempio il numero 7777.
Ora calcoliamo il quadrato di 7 (7*7 = 49)

7777 ha quattro cifre, quindi prenderemo la quarta riga dall’alto della piramide (1234321)
Ora calcoliamo il numero di partenza uguale al quadrato del numero base per i differenti numeri della riga preposta:
49 * 1 = 49
49 * 2 = 98
49 * 3 = 147
49 * 4 = 196
49 * 3 = 147
49 * 2 = 98
49 * 1 = 49

Quindi il quadrato di 7777 sarà:
49*10E6 + 98*10E5 + 147*10E4 + 196*10E3 + 147*10E2 + 98*10 + 49 = 60.481.729


Questo sistema si basa sulla progressione dei quadrato dei numeri 11, 111, 1.111 …, (la piramide) e sul quadrato della cifra elementare del numero di base.

Esiste quindi una relazione tra i quadrati di un numero e quelli di un altro? A voi la dimostrazione.

Lasagni Lorenzo

[GPaolo1]

I coefficienti binomiali sono ottenuti non dal quadrato di 1, 11, 111, e così via, ma da potenze crescenti di 11 in cui si eseguono le somme senza riporto. Ad esempio:
$11^2=121$
$11^3=1331$
$11^4=1331*11=\ \ 1331$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \1331$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \---------$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \14641 * 11\ =\ \ 1\ 4\ 6\ 4\ 1$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ 4\ 6\ 4\ 1$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ------------------$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ 5 \ 10\ 10\ 5\ 1\ *11$ e così via.

[Thomas16]

per dimostrare la tua formula espandi (1+10+10^2+10^3+...+10^n)^2 in potenze di 10... ti usciranno i coefficienti della tua piramidona...

dopo aver fatto i primi calcoli a mano per convincersi che questo è vero, dimostri la cosa per induzione... (nb: prima devi chiarire però cosa succede quando ti finiscono le cifre )

[lasa_pigna]

mi rendo conto che la domanda è generica, quello che tu proponi è la soluzione generale di un polinomio, di secondo grado, avente come partenza la somma di due numeri.
io intendevo una risoluzione dei quadrati di numeri composti da solo una cifra (33, 555, 8888) (sai se abbiano un nome questi numeri?), partendo dalla piramide formata dai quadrati dei numeri 1,11,111,1111,ecc.. ho trovato questa relazione ma non sono riuscito a trovare una dimostrazione a questo legame, così ho provato a chiedere in questo forum. ho trovato questa relazione anche con i cubi e le elevazioni al quarto grado quindi presumo che non sia una caso.
spero di essere stato più chiaro, se non lo sono stato ricontattami.

[Luca.Lussardi]

Domanda: "Esiste quindi una relazione tra i quadrati di un numero e quelli di un altro?"

Risposta: sì, e non serve andar lontano: $(n+k)^2=n^2+2nk+k^2$, ecco una relazione che lega il quadrato di un numero con il quadrato di un altro...

Chiarisci cosa pretendi dalla tua domanda.