Lunghezza di una sinusoide
Come si calcola la lunghezza di una sinusoide[?]Dove per lunghezza intendo la lunghezza della curva in un semiperiodo.
Risposte
Io infatti ho usato un algoritmo implementato su matlab, facendo fare al calcolatore più di 1200 operazioni floating point....
Però Giovanni è andato molto vicino al risultato: 3.3300
contro il 3.3295836 di Derive.
contro il 3.3295836 di Derive.
Sì, credo anch'io, lo davo come riferimento..difficile da raggiungere a mano !
Camillo
Camillo
Sì, ma tiercam credo che lo voglia calcolare "a mano".
Un calcolo preciso, effettuato con Derive dà come lunghezza della sinusoide tra 0 e pi : 3.3295836
Camillo
Camillo
Posso puntualizzare una cosa?
Per arrivare a calcolare questo integrale devi considerare la tua sinusoide come una curva del piano parametrizzabile del piano, ossia una F:R->R^2, in cui la posizione di ogni tuo punto è indicata dal vettore posizione (x,f(x)).
facciamo la derivata scalare ds/dx=||F'(x)|| allora l'elento di lunghezza infinitesima ds=||F'(x)||*dx , nel tuo caso ||F'(x)||=sqrt(1+1/4*cos(x)^2), per le regole di derivazione e la norma in R^2,
allora ds=sqrt(1+1/2*cos(x)), basta integrarlo per trovare s
nel nostro caso l'ho approssimato coi rettangoli e per a=0, b=pi s=3.3300
Per arrivare a calcolare questo integrale devi considerare la tua sinusoide come una curva del piano parametrizzabile del piano, ossia una F:R->R^2, in cui la posizione di ogni tuo punto è indicata dal vettore posizione (x,f(x)).
facciamo la derivata scalare ds/dx=||F'(x)|| allora l'elento di lunghezza infinitesima ds=||F'(x)||*dx , nel tuo caso ||F'(x)||=sqrt(1+1/4*cos(x)^2), per le regole di derivazione e la norma in R^2,
allora ds=sqrt(1+1/2*cos(x)), basta integrarlo per trovare s
nel nostro caso l'ho approssimato coi rettangoli e per a=0, b=pi s=3.3300
Poiché sen(30°) = 1/2, la funzione è: y = 1/2 sen(x)
La sua derivata è, ovviamente, 1/2 cos(x); il suo quadrato è 1/4 cos²(x)
Quindi la lunghezza dell'arco richiesto è uguale all'integrale
tra 0 e pi di sqrt(1/4 cos²(x) + 1) dx, cioè a metà dell'integrale
tra 0 e pi di sqrt(cos²(x) + 4) dx. Per calcolarlo approssimativamente
direi che potresti usare il metodo dei rettangoli...
La sua derivata è, ovviamente, 1/2 cos(x); il suo quadrato è 1/4 cos²(x)
Quindi la lunghezza dell'arco richiesto è uguale all'integrale
tra 0 e pi di sqrt(1/4 cos²(x) + 1) dx, cioè a metà dell'integrale
tra 0 e pi di sqrt(cos²(x) + 4) dx. Per calcolarlo approssimativamente
direi che potresti usare il metodo dei rettangoli...
Grazie a Luca77 e Camillo, mi va bene il valore approssimato, la mia funzione è y=sen(30°)*sen(x) integrata tra 0 e pi.
Grazie
Grazie
In generale se devi calcolare la lunghezza di una curva di equazione : y=f(x) , con x che varia tra a e b devi operare così:
calcolare la derivata prima della funzione : f'(x) ; farne il quadrato : [f'(x)]^2 e aggiungere 1 ; poi mettere il tutto sotto radice quadrata e integrare questa funzione tra a e b .
Nel caso specifico tuo sarebbe :
f(x) = sin x
f'(x) = cos x
Quindi la funzione da integrare tra 0 e pi vale : sqrt(1+(cosx)^2); purtroppo , come ha già detto Luca non è integrabile in forma chiusa.
Per la spiegazione del come si arrivi a questa formula, fai riferimento a un testo di Analisi.
Una curva di cui è semplice calcolare la lunghezza è ad es. : y=x*sqrt(x)
Camillo
calcolare la derivata prima della funzione : f'(x) ; farne il quadrato : [f'(x)]^2 e aggiungere 1 ; poi mettere il tutto sotto radice quadrata e integrare questa funzione tra a e b .
Nel caso specifico tuo sarebbe :
f(x) = sin x
f'(x) = cos x
Quindi la funzione da integrare tra 0 e pi vale : sqrt(1+(cosx)^2); purtroppo , come ha già detto Luca non è integrabile in forma chiusa.
Per la spiegazione del come si arrivi a questa formula, fai riferimento a un testo di Analisi.
Una curva di cui è semplice calcolare la lunghezza è ad es. : y=x*sqrt(x)
Camillo
Il calcolo in questione conduce al calcolo di un integrale detto "ellittico". Gli integrali ellittici non sono calcolabili "a mano", ma solo per via numerica, quindi il risultato e' approssimato.
Luca.
Luca.
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