Godel divulgativo
Salve, ho letto da qualche parte, in maniera divulgativa, che Godel ha dimostrato che una teoria coerente che contiene l'aritmetica non puo' dimostrare la proprio coerenza e anzi, nessuna teoria coerente che contiene l'aritmetica puo' dimostrare la propria coerenza all'interno della teoria stessa.
Quindi sostanzialmente a quanto capisco si puo' andare avanti a fare aritmetica, magari aggiungendo assiomi, ma non si potra' mai essere sicuri che la teoria che si studia sia coerente, e rimane sempre la probabilita' che tra 10000 anni qualcuno smonti tutto. Non possiamo quindi fidarci al 100% dei teoremi di analisi o geometria che studiamo all'unversita', in quanto, anche se dimostrati veri, se per caso stiamo lavorando con una teoria non coerente, potrebbe esistere una dimostrazione del fatto che sono falsi, altrettanto corretta di quella che dice che sono veri.
Quel che mi domanda e' su quali assunzioni/logiche/... si basano i teoremi di Godel, perche' possiamo "fidarci" dei teoremi di Godel?
Quindi sostanzialmente a quanto capisco si puo' andare avanti a fare aritmetica, magari aggiungendo assiomi, ma non si potra' mai essere sicuri che la teoria che si studia sia coerente, e rimane sempre la probabilita' che tra 10000 anni qualcuno smonti tutto. Non possiamo quindi fidarci al 100% dei teoremi di analisi o geometria che studiamo all'unversita', in quanto, anche se dimostrati veri, se per caso stiamo lavorando con una teoria non coerente, potrebbe esistere una dimostrazione del fatto che sono falsi, altrettanto corretta di quella che dice che sono veri.
Quel che mi domanda e' su quali assunzioni/logiche/... si basano i teoremi di Godel, perche' possiamo "fidarci" dei teoremi di Godel?
Risposte
La risposta di Luca è corretta, ma ormai avevo scritto la mia, più pedante e tecnica 
Facciamo un po' d'ordine. Thomas, hai fatto almeno due domande. La prima è che principi siano necessari per assicurare la verità del teorema di Godel. La seconda è se Godel usa nei suoi ragionamenti come ipotesi la consistenza dell'Aritmetica per derivare il suo teorema.
La risposta alla prima domanda è puramente teoretica, perché Godel stesso, da buon formalista hilbertiano, non utilizzava il concetto di verità, considerato privo di senso. In particolare, per determinare se il teorema di Godel è vero o falso, devi specificare prima un modello che interpreti i simboli dell'Aritmetica. Dal momento che ci sono modelli non-standard dell'Aritmetica, la questione è un po' assurda, in sè. Quindi diciamo che è sufficiente alla verità del teorema di Godel che l'Aritmetica abbia un modello, quindi sia consistente.
Per rispondere alla seconda domanda, bisogna capire innanzitutto qual è la differenza tra un sistema assiomatico S e l'affermazione Cons(S). Alcuni sostengono, proprio come te, che se si accetta S, allora tra gli assiomi di S dovrebbe figurare anche Cons(S). Questo è certamente un pensiero ragionevole, purché si abbia chiaro che Cons(S) non è deduttivamente implicato da S. Affinché S deduca Cons(S), dovrebbe esserci una dimostrazione finita di Cons(S), che quindi usa un numero finito di assiomi di S. Ora, vedi bene che Cons(S) afferma qualcosa che riguarda tutti gli assiomi di S, non solo un numero finito. E' quindi intuitivamente chiaro che è difficile aspettarsi che S implichi deduttivamente Cons(S). Ad esempio in teoria degli insiemi ZF, non si usa mai, in nessuna dimostrazione, che ZF abbia un modello, cioè che esista un insieme, visto come modello, che renda veri tutti gli assiomi sugli insiemi. Quando dimostriamo il teorema di Cantor, usiamo qualche assioma di ZF, ma mai l'ipotesi che esista un modello di ZF, cioè Cons(ZF).
Ora, il teorema di Godel è che Cons(PA)-> Incompl(PA), dove PA è l'aritmetica di Peano. Godel ha dimostrato che in effetti PA dimostra Cons(PA)-> Incompl(PA), e non solamente che PA + Cons(PA) dimostra Cons(PA)-> Incompl(PA). In particolare PA + Cons(PA) dimostra Incompl(PA). Quindi l'ipotesi Cons(PA) è usata per dimostrare l'incompletezza di PA, non il teorema di Godel, che è un enunciato ipotetico.
Facciamo un po' d'ordine. Thomas, hai fatto almeno due domande. La prima è che principi siano necessari per assicurare la verità del teorema di Godel. La seconda è se Godel usa nei suoi ragionamenti come ipotesi la consistenza dell'Aritmetica per derivare il suo teorema.
La risposta alla prima domanda è puramente teoretica, perché Godel stesso, da buon formalista hilbertiano, non utilizzava il concetto di verità, considerato privo di senso. In particolare, per determinare se il teorema di Godel è vero o falso, devi specificare prima un modello che interpreti i simboli dell'Aritmetica. Dal momento che ci sono modelli non-standard dell'Aritmetica, la questione è un po' assurda, in sè. Quindi diciamo che è sufficiente alla verità del teorema di Godel che l'Aritmetica abbia un modello, quindi sia consistente.
Per rispondere alla seconda domanda, bisogna capire innanzitutto qual è la differenza tra un sistema assiomatico S e l'affermazione Cons(S). Alcuni sostengono, proprio come te, che se si accetta S, allora tra gli assiomi di S dovrebbe figurare anche Cons(S). Questo è certamente un pensiero ragionevole, purché si abbia chiaro che Cons(S) non è deduttivamente implicato da S. Affinché S deduca Cons(S), dovrebbe esserci una dimostrazione finita di Cons(S), che quindi usa un numero finito di assiomi di S. Ora, vedi bene che Cons(S) afferma qualcosa che riguarda tutti gli assiomi di S, non solo un numero finito. E' quindi intuitivamente chiaro che è difficile aspettarsi che S implichi deduttivamente Cons(S). Ad esempio in teoria degli insiemi ZF, non si usa mai, in nessuna dimostrazione, che ZF abbia un modello, cioè che esista un insieme, visto come modello, che renda veri tutti gli assiomi sugli insiemi. Quando dimostriamo il teorema di Cantor, usiamo qualche assioma di ZF, ma mai l'ipotesi che esista un modello di ZF, cioè Cons(ZF).
Ora, il teorema di Godel è che Cons(PA)-> Incompl(PA), dove PA è l'aritmetica di Peano. Godel ha dimostrato che in effetti PA dimostra Cons(PA)-> Incompl(PA), e non solamente che PA + Cons(PA) dimostra Cons(PA)-> Incompl(PA). In particolare PA + Cons(PA) dimostra Incompl(PA). Quindi l'ipotesi Cons(PA) è usata per dimostrare l'incompletezza di PA, non il teorema di Godel, che è un enunciato ipotetico.
Io, da quel poco che ho capito, ho sempre visto la cosa così, come esatta distruzione del programma di Hilbert. L'aritmetica di Peano non può dimostrare la propria consistenza, e questo è in sostanza il secondo th di Goedel: infatti, siccome la consistenza è formalizzabile, se ci fosse una dimostrazione delle consistenza allora l'aritmetica di Peano sarebbe consistente, ma Goedel ha dimostrato che se lo è allora la consistenza è indecidibile, e tutto questo è scritto nell'aritmetica stessa. Dunque non può esistere una prova diretta della consistenza, che è quello che Hilbert sperava. Quindi tu non devi assumere che gli assiomi siano consistenti, la matematica è "solo" l'insieme dei teoremi che si possono dedurre da un set di assiomi mediante le regole deduttive della logica (quella si è completa e corretta), se un giorno dedurremo A e nonA metteremo le mani sullo sbaglio e lo correggeremo, ma non credo che quel giorno arriverà. Almeno io mi sono fatto questa idea: l'aritmetica di Peano è in piedi, in sostanza, da più di 2500 anni... possibile che abbiamo "sbagliato" e che i numeri dell'intuizione non abbiano una di quelle proprietà? Se si, rispondo alla Cantor: lo vedo ma non ci credo.
Fields può comunque correggere se ho detto sciocchezze.
Fields può comunque correggere se ho detto sciocchezze.
Grazie alle vostre risposte, molto interessanti, mi sto facendo una idea! Interessante la parte sulla logica del primo ordine 
,
Ecco questo pero' ancora non lo capisco. Come e' possibile una deduzione del tipo "Aritmetica implica A" senza supporre che l'aritmetica sia coerente (o "consistente", che a quanto ho capito vogliono dire la stessa cosa)? Appena faccio la deduzione mi viene da pensare: "cavoli ma non sono sicuro di quel che ho fatto, se non so che i miei assiomi dell'artimetica sono coerenti!". A me verrebbe da dire quindi che qualunque implicazione debba avere Cons(ipotesi) tra le ipotesi.
Per essere espliciti poi, l'implicazione di Godel e' "Cons(Aritmetica) implica A" o "Aritmetica implica A" ?
, "fields":
Insomma, l'affermazione Cons(Aritmetica) implica A è ben diversa dall'affermazione Aritmetica implica A.
Ecco questo pero' ancora non lo capisco. Come e' possibile una deduzione del tipo "Aritmetica implica A" senza supporre che l'aritmetica sia coerente (o "consistente", che a quanto ho capito vogliono dire la stessa cosa)? Appena faccio la deduzione mi viene da pensare: "cavoli ma non sono sicuro di quel che ho fatto, se non so che i miei assiomi dell'artimetica sono coerenti!". A me verrebbe da dire quindi che qualunque implicazione debba avere Cons(ipotesi) tra le ipotesi.
Per essere espliciti poi, l'implicazione di Godel e' "Cons(Aritmetica) implica A" o "Aritmetica implica A" ?
Secondo me l'enunciato più chiaro è il contronominale del primo teorema, ovvero 'se vogliamo una matematica completa dobbiamo averla incoerente'; questo illustra in modo decisivo che dobbiamo rinunciare alla completezza se non vogliamo contraddizioni. Se poi parli di fiducia nella logica, in questa è riposta è bene dal momento che uno dei primi risultati di Goedel è stato proprio il teorema che dice che la logica predicativa del primo ordine può essere fondata su un sistema deduttivo coerente e completo, in altre parole il sistema dimostra tutte e sole le tautologie. Il problema arriva non appena introduciamo i numeri e cerchiamo di fare un po' di matematica, questi rompono e innescano l'argomentazione di Goedel, che non si innesca nella logica predicativa del primo ordine.
"Thomas":
Salve fields, ma allora quale e' la differenza tra "fidarsi di un qualunque sistema formale che contenga l'Aritmetica" e supporre che "l'aritmetica sia coerente" .
Non c'è nessuna differenza. C'è invece una bella differenza tra l'ipotizzare "l'Aritmetica è coerente" per dimostrare l'incompletezza e l'effettuare una deduzione del teorema di Gödel dagli assiomi dell'Aritmetica. Quest'ultima operazione non implica una fiducia negli assiomi dell'Aritmetica stessa. Insomma, l'affermazione Cons(Aritmetica) implica A è ben diversa dall'affermazione Aritmetica implica A. È molto diverso assumere che un sistema è coerente per dedurne qualcosa, dall'usare semplicemente il sistema per dedurre quel qualcosa. In generale, infatti, S è meno potente di S + Cons(S), che è quanto insegna Gödel.
Salve fields, ma allora quale e' la differenza tra "fidarsi di un qualunque sistema formale che contenga l'Aritmetica" e supporre che "l'aritmetica sia coerente" .
Anzi in particolare quale sono le differenze, se ci sono tra :
1) "sistema formale che contenga l'aritmetica" e "aritmetica" ;
2) "fidarsi di qualcosa" e "supporre che quel qualcosa sia coerente"
Scusate se sono di coccio, prima o poi approfondirò meglio le cose, ma immagino ci vogliano dei mesi e io sono curioso
Anzi in particolare quale sono le differenze, se ci sono tra :
1) "sistema formale che contenga l'aritmetica" e "aritmetica" ;
2) "fidarsi di qualcosa" e "supporre che quel qualcosa sia coerente"
Scusate se sono di coccio, prima o poi approfondirò meglio le cose, ma immagino ci vogliano dei mesi e io sono curioso
"Thomas":
ALlora quindi Goedel per ragionare parte sempre dall'ipotesi che l'aritmetica (e un po' di logica) sia coerente e la usa nelle sue dimostrazioni?
No. Una cosa che pochi dicono è che il teorema di Gödel è un teorema estremamente elementare, dimostrabile con mezzi e concetti molto rudimentali. In particolare, è esso stesso un teorema dell'Aritmetica; in altri termini, esso si può formalmente derivare dagli assiomi di Peano del sistema formale "Aritmetica". Questo perché sia il concetto di consistenza sia il concetto di dimostrabilità sono abbastanza elementari da potersi definire all'interno dell'Aritmetica. Quindi nell'Aritmetica c'è una formula che dice: Consistenza dell'Aritmetica implica sua Incompletezza, e questa formula è derivabile nell'Aritmetica stessa. Gödel ha mostrato come si fa questa derivazione, né più né meno.
La risposta, dunque, è che se ti fidi di un qualunque sistema formale che contenga l'Aritmetica, allora devi necessariamente accettare il teorema di Gödel.
Ciao Luca grazie per la risposta! Sono ancora confuso però 
ALlora quindi Goedel per ragionare parte sempre dall'ipotesi che l'aritmetica (e un po' di logica) sia coerente e la usa nelle sue dimostrazioni? (tu dici per esempio che usa i numeri interi..)
Così potrei capire ed in effetti per iniziare un qualsiasi ragionamento l'unico modo sensato per procedere mi pare dare per ipotesi il fatto che si possa ragionare correttamente...
Però a questo punto come si può solo pensare di dimostrare la coerenza di una teoria "al suo interno"?... se per fare un qualsiasi ragionamento dobbiamo supporla coerente al massimo arriveremmo a dire "se la teoria è coerente è coerente", il che non è molto...
ALlora quindi Goedel per ragionare parte sempre dall'ipotesi che l'aritmetica (e un po' di logica) sia coerente e la usa nelle sue dimostrazioni? (tu dici per esempio che usa i numeri interi..)
Così potrei capire ed in effetti per iniziare un qualsiasi ragionamento l'unico modo sensato per procedere mi pare dare per ipotesi il fatto che si possa ragionare correttamente...
Però a questo punto come si può solo pensare di dimostrare la coerenza di una teoria "al suo interno"?... se per fare un qualsiasi ragionamento dobbiamo supporla coerente al massimo arriveremmo a dire "se la teoria è coerente è coerente", il che non è molto...
I teoremi di Goedel sono stati dimostrati "senza uscire dalla matematica", si tratta cioè di teoremi di metamatematica, cioè di teoremi "sulla matematica" e non di matematica. Ad esempio, l'affermazione $\exists x : x+1=2$ è un teorema della matematica, formalmente deducibile dagli assiomi di Peano, invece l'affermazione `L'aritmetica di Peano è coerente' è una proposizione metamatematica. Goedel ha dimostrato, senza usare regole di deduzione logiche aggiuntive rispetto a quelle che si usano per costruire la matematica come sistema formale, la seguente proposizione metamatematica: `Se l'aritmetica è coerente allora è incompleta', e lo ha dimostrato traducendo nel sistema formale la proposizione `Io non sono dimostrabile' mediante un'intelligente corrispondenza che mette in relazione affermazioni metamatematiche con numeri interi (numerazione di Goedel). Dunque i teoremi di Goedel sono dimostrati "senza uscire" dalla matematica: va da se' che usando altri mezzi si può dimostrare la coerenza della matematica, aggiungendo principi alla metamatematica (assumere ad esempio l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di $\aleph_0$ permette di costruire un modello della teoria ZF).
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