Godel divulgativo

Thomas16
Salve, ho letto da qualche parte, in maniera divulgativa, che Godel ha dimostrato che una teoria coerente che contiene l'aritmetica non puo' dimostrare la proprio coerenza e anzi, nessuna teoria coerente che contiene l'aritmetica puo' dimostrare la propria coerenza all'interno della teoria stessa.

Quindi sostanzialmente a quanto capisco si puo' andare avanti a fare aritmetica, magari aggiungendo assiomi, ma non si potra' mai essere sicuri che la teoria che si studia sia coerente, e rimane sempre la probabilita' che tra 10000 anni qualcuno smonti tutto. Non possiamo quindi fidarci al 100% dei teoremi di analisi o geometria che studiamo all'unversita', in quanto, anche se dimostrati veri, se per caso stiamo lavorando con una teoria non coerente, potrebbe esistere una dimostrazione del fatto che sono falsi, altrettanto corretta di quella che dice che sono veri.

Quel che mi domanda e' su quali assunzioni/logiche/... si basano i teoremi di Godel, perche' possiamo "fidarci" dei teoremi di Godel?

Risposte
hyoukarou

Ryukushi1
Che discussione entusiasmante!


Godel è proprio un personaggio incredibile. Sto leggendo Godel, Escher e Bach di Hofstader e mi ha colpito molto il suo racconto relativo al l'aneddoto di Godel che doveva prendere la cittadinanza americana: dovendone studiare la Costituzione, riuscì a trovare una fallacia logica in un emendamento tale per cui gli USA avrebbero potuto diventare una dittatura "per vie legali" e, stimolato dal giudice, che fece una domanda sulla forma di Stato, stava per spiegare questa fallacia ma fu fermato da Morgenstern e Einstein. Del racconto mi ha colpito come Godel fosse proprio irritato da questo errore e provasse un'ansia incredibile temendo di essere interrogato su questo tema.

fields1
"Thomas":

Wow... grazie mille! cosi' mi torna un pochettino. Interessante anche questo concetto che esprimi di "versione informale della stessa logica". Mi verrebbe da chiederti a che livello interviene secondo te la "versione informale della stessa logica" nei ragionamenti di Godel...


Be', Godel è veramente inattaccabile. Il suo teorema non solo si formalizza in PA, ma è dimostrabile con una quantità di assiomi di PA veramente debole, cioè con l'Aritmetica di Robinson Q http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic. Nessuno sano di mente può dubitare che Q derivi contraddizioni. Godel, in altri termini, fa riferimento e utilizza quella matematica finitaria al centro del programma di Hilbert. Hilbert aveva ridotto la matematica ad un gioco di manipolazione e derivabilità di certe stringhe di simboli. Cose estremamente elementari.
Hilbert quindi sperava che la consistenza di tutti i sistemi matematici, dall'Aritmetica alla Analisi, fino alla teoria degli insiemi, si potesse dimostrare con metodi finitari, sicuri, senza concetti infiniti o principi sospetti, come l'assioma della scelta, ad esempio. Un programma di prove di consistenza di questo tipo, avrebbe ridotto la matematica a quella finitaria, e non ci sarebbero stati problemi di circolarità, come quello risibile della logica che prova la sua stessa consistenza. Ma Godel ha dimostrato, con i principi finitari di Hilbert, che non era possibile dimostrare in modo sensato la consistenza dell'Aritmetica, dell'Analisi etc., con metodi che si potessero esprimere nell'Aritmetica stessa, e quindi tantomeno con metodi finitari.

Questo non vuol dire, però, che le prove di consistenza non contengano informazioni interessanti. Di questo si accorsero per primi Godel e Kreisel, che mostrarono come persino una prova in Analisi che l'Aritmetica è consistente, contiene informazioni di estremo interesse. Ad esempio, che una prova aritmetica contiene inplicitamente un programma informatico, in grado di calcolare informazioni interessanti sugli enunciati dimostrati, e spesso persino di recuperare gli oggetti concreti la cui esistenza è stata provata non costruttivamente.


"Thomas":


Ah ok... ottimo... ora forse comincio a capire la tua firma (modifica di una frase di Von Neumann se ben ricordo)... sostanzialmente mi pare di capire che, girandola come la si vuole, si arrivera' sempre ad una ipotesti primitiva che non si puo' altro che dire "vero perche' evidente", e che non si potra' mai nemmeno essere sicuri al 100% che questa affermazione non porti a contraddizioni...



Più o meno, è la ragione per cui ho generalizzato l'aforisma di von Neumann. Insomma, lo sforzo riduttivo finisce sempre per arrivare a concetti elementari che non arrivi a spiegare, ma che la tua mente, abituatasi ad essi, arriva ad accettare. Il fatto che qualcosa già esista, per me è inimmaginabile. Persino in matematica, nonostante mi sforzi di comprendere il perché di tutto, a volte mi accorgo di non capire nemmeno le mie stesse dimostrazioni, tipo qual è la ragione del perché un'idea mi è venuta o perché la dimostrazione funziona. A volte mi arrendo, e rispondo: perché è così.

Thomas16
"fields":
[quote="Thomas"]
Come si inquadra il risultato della coerenza della logica del primo ordine allora? In tal caso Godel mi sembra ne dimostri la coerenza. Ma, per quanto sopra, devo vedere questa dimostrazione come una "deduzione formale da assiomi mediante certe regole di deduzione". Nulla mi assicura che Godel stia provando la coerenza di una teoria all'interno di una teoria incoerente...


Be', una dimostrazione di coerenza della logica, infatti, non vale una cicca :smt005 Insomma, se per dimostrare la coerenza di un sistema logico usi una versione informale della stessa logica non ti puoi aspettare molto :-D
[/quote]

Wow... grazie mille! cosi' mi torna un pochettino. Interessante anche questo concetto che esprimi di "versione informale della stessa logica". Mi verrebbe da chiederti a che livello interviene secondo te la "versione informale della stessa logica" nei ragionamenti di Godel...

"fields":

Il teorema di completezza di Gödel a cui Luca accennava si dimostra del resto con principi abbastanza potenti, in particolare necessita il lemma di König: ogni albero con diramazioni finite e con infiniti nodi contiene un ramo infinito. La coerenza della logica segue, ma non è interessante.


Ah ok... ottimo... ora forse comincio a capire la tua firma (modifica di una frase di Von Neumann se ben ricordo)... sostanzialmente mi pare di capire che, girandola come la si vuole, si arrivera' sempre ad una ipotesti primitiva che non si puo' altro che dire "vero perche' evidente", e che non si potra' mai nemmeno essere sicuri al 100% che questa affermazione non porti a contraddizioni...

Ci tornero' su a pensarci un po' ma ora mi pare di cominciare a capire un po' di piu' lo "state of the art" (o forse e' solo una mia illusione...)... per ora potrei accontentermi :D

fields1
"Thomas":

Tieni conto che sono un ignorante e che la logica ho intenzione di studiarla tra qualche anno :D (purtroppo non ho molto tempo da dedicare alla matematica, non quanto vorrei almeno)... per questo sono in "Generale" :) ma volevo togliermi delle curiosità....

quale è il teorema di Peano, $0=0$? https://www.google.it/?gws_rd=ssl#q=teorema+di+peano non credo :)


No, 0=0 è il teorema di Dummy :-D Era solo un esempietto per dire che non ogni teorema è A implica B, a meno che non metti tutti gli assiomi che usi in un ragionamento come premesse dell'enunciato che dimostri, il che sarebbe un po' bizzarro, anche se lecito.

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"Thomas":

Come si inquadra il risultato della coerenza della logica del primo ordine allora? In tal caso Godel mi sembra ne dimostri la coerenza. Ma, per quanto sopra, devo vedere questa dimostrazione come una "deduzione formale da assiomi mediante certe regole di deduzione". Nulla mi assicura che Godel stia provando la coerenza di una teoria all'interno di una teoria incoerente...


Be', una dimostrazione di coerenza della logica, infatti, non vale una cicca :smt005 Insomma, se per dimostrare la coerenza di un sistema logico usi una versione informale della stessa logica non ti puoi aspettare molto :-D

Il teorema di completezza di Gödel a cui Luca accennava si dimostra del resto con principi abbastanza potenti, in particolare necessita il lemma di König: ogni albero con diramazioni finite e con infiniti nodi contiene un ramo infinito. La coerenza della logica segue, ma non è interessante.

Thomas16
"fields":
[quote="Thomas"]Grazie mille innanzitutto per continuare a rispondermi :D

[quote="fields"]
Che intendi per enunciato ipotetico? Ciò che è tra le ipotesi và a sinistra della freccia, che c'è in qualsiasi enunciato, ipotetico o no... :shock:
[/quote]

Scusa, quali sono le ipotesi del teorema di PA: 0=0? :roll: Nel caso del teorema di Gödel, dico ipotetico nel senso che non dice PA è incompleta, come spesso viene scorrettamente riportato, ma che se è consistente, allora è incompleta.[/quote]

Tieni conto che sono un ignorante e che la logica ho intenzione di studiarla tra qualche anno :D (purtroppo non ho molto tempo da dedicare alla matematica, non quanto vorrei almeno)... per questo sono in "Generale" :) ma volevo togliermi delle curiosità....

quale è il teorema di Peano, $0=0$? https://www.google.it/?gws_rd=ssl#q=teorema+di+peano non credo :)

Thomas16
Ok, grazie Luca :)

... quindi quando leggo una dimostrazione, devo sempre pensarla come "deduzione formale da assiomi mediante certe regole di deduzione", e presupporre sempre che, se non ho motivo di supporre la coerenza della teoria, che possa esistere una dimostrazione del contrario.

Come si inquadra il risultato della coerenza della logica del primo ordine allora? In tal caso Godel mi sembra ne dimostri la coerenza. Ma, per quanto sopra, devo vedere questa dimostrazione come una "deduzione formale da assiomi mediante certe regole di deduzione". Nulla mi assicura che Godel stia provando la coerenza di una teoria all'interno di una teoria incoerente...

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"Thomas":
Grazie mille innanzitutto per continuare a rispondermi :D

[quote="fields"]
Che intendi per enunciato ipotetico? Ciò che è tra le ipotesi và a sinistra della freccia, che c'è in qualsiasi enunciato, ipotetico o no... :shock:
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Scusa, quali sono le ipotesi del teorema di PA: 0=0? :roll: Nel caso del teorema di Gödel, dico ipotetico nel senso che non dice PA è incompleta, come spesso viene scorrettamente riportato, ma che se è consistente, allora è incompleta.

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"Luca.Lussardi":
Intanto che fields non c'e' provo io: perché scusa devi presupporre la coerenza? prendi gli assiomi di Euclide, fai tutta la geometria senza fregartene della consistenza logica dei postulati euclidei, perché 'evidenti' nel mondo attorno a noi. E' chiaro che se gli assiomi sono inconsistenti tutto crolla in linea di principio, ma forse quello che ti sta dicendo fields è che quando tu deduci i teoremi da un set di assiomi stai facendo deduzioni solo dagli assiomi, non dal set di assiomi a cui aggiungi l'assioma 'questo set di assiomi è coerente'. Capisco l'importanza della consistenza di un set di assiomi, anzi è fondamentale, ma non devi assumerlo come assioma per derivarne i teoremi: per assurdo, tu puoi anche derivare teoremi da un set di assiomi contraddittorio.


Non saprei dirla meglio :wink:

Luca.Lussardi
Intanto che fields non c'e' provo io: perché scusa devi presupporre la coerenza? prendi gli assiomi di Euclide, fai tutta la geometria senza fregartene della consistenza logica dei postulati euclidei, perché 'evidenti' nel mondo attorno a noi. E' chiaro che se gli assiomi sono inconsistenti tutto crolla in linea di principio, ma forse quello che ti sta dicendo fields è che quando tu deduci i teoremi da un set di assiomi stai facendo deduzioni solo dagli assiomi, non dal set di assiomi a cui aggiungi l'assioma 'questo set di assiomi è coerente'. Capisco l'importanza della consistenza di un set di assiomi, anzi è fondamentale, ma non devi assumerlo come assioma per derivarne i teoremi: per assurdo, tu puoi anche derivare teoremi da un set di assiomi contraddittorio.

Thomas16
Grazie mille innanzitutto per continuare a rispondermi :D

Non so a me pare fields che in tutte le implicazioni che scrivi ci sia un Cons(PA) a sinistra, il che mi sembra ragionevole.. e ancora non capisco come si possa anche solo pensare di dedurre qualcosa da degli assomi senza presupporne la coerenza...

"fields":

"Quindi l'ipotesi Cons(PA) è usata per dimostrare l'incompletezza di PA, non il teorema di Godel, che è un enunciato ipotetico."


Che intendi per enunciato ipotetico? Ciò che è tra le ipotesi và a sinistra della freccia, che c'è in qualsiasi enunciato, ipotetico o no... :shock:

Luca.Lussardi
se pensi di liberarti di me così sappi che ho colleghi anche a Vienna... scherzo ovviamente, buon inizio in Austria.

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"Luca.Lussardi":
La prossima volta che vengo in Francia ti faccio un colpo di telefono così vengo a sentire le tue lezioni....


Dal prossimo ottobre mi trasferisco a lavorare all'università di Vienna, tanto per rimanere in tema Gödel :-D

Luca.Lussardi
La prossima volta che vengo in Francia ti faccio un colpo di telefono così vengo a sentire le tue lezioni....

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"Luca.Lussardi":
ok... mi basta la prima metà della tua risposta, da povero analista.


Non sopravvaluterai la difficoltà della logica :wink: Semplicemente i libri divulgativi creano spesso una gran confusione, un po' come quando io leggo libri divulgativi di meccanica quantistica o di relatività generale, uscendo ogni volta più confuso di prima. L'anno scorso in Francia, ad esempio, ho insegnato Godel a matematici e informatici del terzo anno, che non hanno avuto grossi problemi nel comprendere tutti i dettagli.

Luca.Lussardi
ok... mi basta la prima metà della tua risposta, da povero analista.

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"Luca.Lussardi":
In effetti, aggiungo una cosina: la Cons(PA+Cons(PA)) equivale a Cons(PA) giusto? quindi siccome a noi basta la Cons(PA) è del tutto inutile aggiungere come assioma la sua consistenza, dico bene?


E' una domanda estremamente pericolosa -- facile scivolare malamente nel rispondere. Tutto dipende da cosa intendi per "equivalere". Se usi la logica "meta", la riposta è certamente sì. Se PA è consistente, sia PA sia Cons(PA) sono vere nel modello dei naturali, dunque PA + Cons(PA) è consistente. Ma dal punto di vista deduttivo si crea purtroppo una torre illimitata di sistemi logici, di potenza strettamente crescente: PA, poi PA + Cons(PA), poi PA + Cons(PA) + Cons(PA+Cons(PA)), e via all'infinito. Il logico americano Feferman studiò questa abnorme e anomala torre di sistemi, e i modi per estenderla addirittura nel transfinito, di cui francamente non mi sono mai interessato.

Thomas16
Io mi prendo un po' di tempo per cercare di capire gli ultimi interventi :)

Luca.Lussardi
In effetti, aggiungo una cosina: la Cons(PA+Cons(PA)) equivale a Cons(PA) giusto? quindi siccome a noi basta la Cons(PA) è del tutto inutile aggiungere come assioma la sua consistenza, dico bene?

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