E questa dx????

[mickey88]

Ciao a tutti!
Ho un problema: a scuola abbiamo da poco affrontato il calcolo integrale, fino all'applicazione del teorema di Torricelli-Barrow. Tutto ok, a parte il fatto che non riesco a farmi un'idea di che cosa sia quel "dx" che c'è alla fine!
So che è legato alla notazione di derivazioe di Leibniz (e non ho ben capito neanche quella), che può essere trattato come quantità algebrica e che riguarda in qualche modo l'ampiezza degli intervalli in cui si divide la superficie da calcolare con l'integrale (quando si intende l'integrale definito come il limite della sommatorie delle varie superfici ecc..), ma non riesco a chiarire a me stesso
CHE COS'E'?
Potete darmi una mano, magari cercando un linguaggio un po' maccheronico?
Grazie

[mickey88]

Ok, Grazie mille!!!
Il tutto si fa sempre più affascinante, credo che non mi pentirò di iscrivermi all'università in matematica l'anno prossimo!
Adesso pensiamo all'esame di maturità, che (almeno cronologicamente) viene prima
Ancora grazie a tutti!!

[Lorenzo Pantieri]

Aggiungo alle cose "buone e giuste" dette da Fioravante e dagli altri che nell'analisi non standard di Robinson il "dx" non è semplicemente un promemoria: un numero iperreale, infatti, si può vedere, intuitivamente, come somma di una "parte reale" (detta standard) e di una "parte infinitesima" (detta non-standard), un po' come un numero complesso è la somma di una parte reale e di una parte immaginaria. In analisi non-standard si può scrivere qualcosa come $3+2dx$, in modo pienamente rigoroso. L'integrale (non-standard) è proprio una "somma di infiniti termini infinitesimi".

Suggerirei a Mickey86 di riflettere sulla nozione di "dx", capirne il valore puramente "convenzionale", ma di non perderne di vista il significato intuitivo ("base infinitesima di un rettangolo").

Ciao,
L.

[Fioravante Patrone1]

vorrei aggiungere alla chiacchierata di Camillo e alle tante cose dette prima alcune considerazioni (un po' buttate lì velocemente, scusate):


- del $dx$ se ne potrebbe fare a meno. Se parliamo di integrale definito di $f$ sull'intervallo $[a,b]$, una notazione molto più pulita sarebbe: $I(f,a,b)$, o cose simili: $\ I(f,[a,b]) \ $, $\ \int_{[a,b]} f \ $
notare che non solo non compare $dx$, ma neanche la $x$ (che in effetti ci sta come i cavoli a merenda: integro la funzione, e quindi $f$)


- tuttavia, è comodissimo averlo tra i piedi in tante occasioni:
--- per ricordarsi più facilmente la regola di integazione per parti
--- per ricordarsi più facilmente la regola di integazione per sostituzione (provate, se proprio non evete niente di meglio da fare, a enunciare il teorema di integrazione per sostituzione usando un formalismo che non utilizzi il $dx$)
--- negli integrali multipli, serve da "segnalino" per ricordarci se, data una funzione $f$ di due variabili, la stiamo integrando rispetto alla "$x$" o alla "$y$"


- come mai queste comodità? Per le ragioni già dette da altri (ci ricorda che un integrale è "essenzialmente" una sorta di "sommatoria" di tanti rettangolini, ed il $dx$ fa la parte della "base" di questi rettangolini)

[Camillo]

Non vorrei dire un'eresia, ma ti conviene vederlo come un modo di scrivere , un simbolismo di scrittura legato agli integrali , un compagno inseparabile del segno di integrale $ int f(x) dx $ , sia che si tratti di integrale indefinito appunto ma anche definito $int_a^b f(x) dx $ .

La ragione del simbolismo sta nel fatto che il segno $ int $ è nato come segno di sommatoria , una S allungata ; sommando infiniti prodotti del valore della funzione moltiplicati per un intervallino infinitesimo $dx $ si ottiene l'area della parte di piano sottesa dalla curva , dall'asse delle x e dalle rette di equazione $ x=a ; x=b $.
Questa mia chiacchierata non ha alcuna pretesa di rigore matematico.

[_Tipper]

Direi proprio di sì. Ad esempio $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$ (supponendo che entrambe le funzioni siano integrabili su tale intervallo).

[mickey88]

Va già meglio, grazie ragazzi!
Ma toglietemi un ultimo dubbio, devo considerare "dx" come una quantità che moltiplica l'argomento dell'integrale?

[beppe86]

"mickey88":Ciao a tutti!
Ho un problema: a scuola abbiamo da poco affrontato il calcolo integrale, fino all'applicazione del teorema di Torricelli-Barrow. Tutto ok, a parte il fatto che non riesco a farmi un'idea di che cosa sia quel "dx" che c'è alla fine!
So che è legato alla notazione di derivazioe di Leibniz (e non ho ben capito neanche quella), che può essere trattato come quantità algebrica e che riguarda in qualche modo l'ampiezza degli intervalli in cui si divide la superficie da calcolare con l'integrale (quando si intende l'integrale definito come il limite della sommatorie delle varie superfici ecc..), ma non riesco a chiarire a me stesso
CHE COS'E'?
Potete darmi una mano, magari cercando un linguaggio un po' maccheronico?
Grazie

Nella tua domanda c'è già la risposta, cioè per calcolare la tua area tu devi dividerla in tanti intervalli di uguale ampiezza.
Ora se provi proprio su carta a considera una porzione di una funzione e suddividerla in rettangoli vedrai che fai diversi errori di approssimazione in quanto alcuni triangoli vanno a coprire più (altri meno) superficie rispetto a quella effettiva che ti interessa calcolare.
Questo problema si risolve "facendo tendere l'ampiezza di questi intervalli a zero", facendo nuovamente una prova su carta lo capisci meglio, a questo punto come ha già detto elgiovo l'integrale altro non è che la somma di tutti questi rettangoli di ampiezza tendente a zero (identificata proprio col dx).
Più di questo per avere appena iniziato a studiare le integrali non mi sembra necessario.

[elgiovo]

Vedilo come "qualcosa di molto piccolo", che tende cioè a 0. Il segno di integrale invece vedilo come "Somma di tutte queste cose molto piccole". Tra l'altro il simbolo $int$ viene dalla parola summa.