Dubbio su radici di polinomi complessi

[Telemaco1]

Salve a tutti, mi sono iscritto da poco e ne approfitto per cercare di risolvere un dubbio che mi è nato mentre risolvevo un esercizio.
L'equazione polinomiale è la seguente: $ x^2+2x+i $ e la consegna è trovare le radici e rappresentarle graficamente.
Ora, usando la classica formula per equazioni di secondo grado trovo che le soluzioni sono: $ x=-1+-sqrt(1-i) $ e ricordando anche il teorema fondamentale dell'algebra (se degP(x)=n allora ci sono n soluzioni) dovrei essere a posto,ho un polinomio di secondo grado e ho due soluzioni,finito, stop.
Il dubbio mi è venuto guardando la radice che, essendo di un numero complesso, in teoria non dovrei sviluppare trovando le radici n-esime? Quindi alla fine dovrei ottenere quattro soluzioni (?)cioè:
$ X1=-1+Z1 $
$ X2=-1-Z1 $
$ X3=-1+Z2 $
$ X4=-1-Z2 $
il fatto che nel teorema fondamentale dell'algebra sia specificato che un polinomio di grado n ammette n soluzioni contate nella loro molteplicità è a supporto della tesi a 4 soluzioni (io sono indirizzato a questa)?
Però ho provato a verificare i risultati con Wolfram Alpha e mi da solo le due soluzioni iniziali, anche graficamente
Vi chiedo gentilmente delle delucidazioni

[Telemaco1]

Ok, grazie mille per il chiarimento

[killing_buddha]

Le due radici di $1-i$ sono \(\sqrt[4]{2}e^{-\frac{i\pi}{8}}e^{i\epsilon\pi}\), con $\epsilon=0,1$. Sicché esse differiscono di un segno, che hai già contato quando hai scritto \(-1\pm \sqrt{1-i}\) (la quale, in questo contesto, è una scrittura lievemente impropria: meglio dire che esiste un numero complesso $z$, le cui due radici quadrate sono $\pm w$ --nota infatti che non c'è niente di particolare nel motivo per cui le radici differiscono per un segno, segue dal fatto che sono radici quadrate e non di ordine maggiore).