Dubbio su n fattoriale
mi vergogno quasi a postare, ma è solo una curiosità riguardante n fattoriale...
so cos'è, ma la definizione che mi da il mio libro, che è uguale a quella che ho trovato qui sul formulario di matematicamente (e quindi credo universalmente accettata) è $n! =n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1$
con la sola condizione $n>=1$. Chiarissimo. Ma se $n$ fosse 2, o 3, o 4, o 5 applicando la formula pari pari non si ottiene il prodotto dei fattori decrescenti di $n$ (spero di essermi spiegato) ma un numero diverso. Ad esempio per $n=3$, applicando la formula ciecamente, si ha che $3! =3*(3-1)*(3-2)*...*3*2*1=36$ che è diverso da $3! =6$. Mi chiedevo perchè, ad esempio, nelle condizioni non ci sia anche $n>5$ (riferendomi sempre alla formula soprariportata).Conoscendo la nota precisione dei matematici, mi sono stupito di questa definizione. Forse c'è qualche convenzione riguardante i puntini di sospensione che esclude questo mio dubbio, o cose del genere...O forse non esiste altro modo per scrivere questa formula generale...Vorrei che qualcuno mi illuminasse grazie
so cos'è, ma la definizione che mi da il mio libro, che è uguale a quella che ho trovato qui sul formulario di matematicamente (e quindi credo universalmente accettata) è $n! =n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1$
con la sola condizione $n>=1$. Chiarissimo. Ma se $n$ fosse 2, o 3, o 4, o 5 applicando la formula pari pari non si ottiene il prodotto dei fattori decrescenti di $n$ (spero di essermi spiegato) ma un numero diverso. Ad esempio per $n=3$, applicando la formula ciecamente, si ha che $3! =3*(3-1)*(3-2)*...*3*2*1=36$ che è diverso da $3! =6$. Mi chiedevo perchè, ad esempio, nelle condizioni non ci sia anche $n>5$ (riferendomi sempre alla formula soprariportata).Conoscendo la nota precisione dei matematici, mi sono stupito di questa definizione. Forse c'è qualche convenzione riguardante i puntini di sospensione che esclude questo mio dubbio, o cose del genere...O forse non esiste altro modo per scrivere questa formula generale...Vorrei che qualcuno mi illuminasse grazie
Risposte
grazie mille!!!! 
fatto
boh...un misto fra dubbio sfizioso/pignolo/sofista...però se ci fosse il modo di cambiare vorrei fosse "dubbio su n fattoriale"...si credo sarebbe meglio 
cosa volevi scrivere?
p.s. non so come mi è venuto il "fizioso" nel titolo del post...non so nemmeno cosa vuol dire, credo che non esista nemmeno come parola, l'ho inventata....c'è un qualche modo per cambiare i titoli dei post?
ringrazio Fioravante-Hegel per il suo intervento....credo di aver capito il motivo per il quale si continua a usare quel tipo di formula (è quello che avevo ipotizzato io prima di aprire il topic)...A me non crea alcun problema, ho capito la potenziale ambiguità all'inizio e ho, diciamo, filtrato la formula applicandola nel modo giusto...è verissimo che per chi ha parecchia dimestichezza con la matematica (e non è il mio caso 
) non è un problema evitare certe trappole, ma non sono molto d'accordo sull'altra categoria:
è vero che la rende leggibile, ma proprio a causa della poca dimestichezza questa persona potrebbe facilmente cadere nell'ambiguità, e scrivere che $3! =36$ o che $2! =0$...E' vero che se uno comincia a porsi questi problemi vuol dire che ha già capito e superato da solo l'insidia celata nella formula, ed è vero che la probabilità che uno studente scriva davvero $2! =0$ è infinitesima (dopo tutti gli esempi di fattoriali che avrà visto in classe ecc.) però continuo ad essere dell'idea che un bel warning sarebbe il benvenuto.
p.s. bello il discorso sulla matematica come prodotto sociale..
) non è un problema evitare certe trappole, ma non sono molto d'accordo sull'altra categoria:"Fioravante Patrone":
per chi ha poca dimestichezza con il formalismo matematico e quindi rende per loro leggibile una "formula" che altrimenti sarebbe ostica
è vero che la rende leggibile, ma proprio a causa della poca dimestichezza questa persona potrebbe facilmente cadere nell'ambiguità, e scrivere che $3! =36$ o che $2! =0$...E' vero che se uno comincia a porsi questi problemi vuol dire che ha già capito e superato da solo l'insidia celata nella formula, ed è vero che la probabilità che uno studente scriva davvero $2! =0$ è infinitesima (dopo tutti gli esempi di fattoriali che avrà visto in classe ecc.) però continuo ad essere dell'idea che un bel warning sarebbe il benvenuto.
p.s. bello il discorso sulla matematica come prodotto sociale..
"zorn":
X Fioravante Patrone:
[...]Per di piu', so anche bene che ci sono le "trappoline" descritte in questo post e non ho nessun problema ad evitarle.
Beh, lo credo, sei un matematico di professione. L'esempio che ho postato è tratto da una rivista per professori di scuola superiore, e gli alunni potrebbero invece incappare in certe trappole (se si limitano a sostituire meccanicamente)...
E' indubbio che la notazione coi puntini è molto più chiara (e nella pratica si "prova" prima questa poi eventualmente si converte in sommatoria), però perde di rigore soprattutto se la si usa con le serie.
sono d'accordo con quello che dici
il problema e' bilanciare rigore con comprensione
"zorn":
Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...
Cosa vuol dire? Io la prima cosa che raccomando agli studenti appena introduco gli integrali è non dimenticarsene perché non è un oggetto ornamentale ma necessario, anche perché quando si integra per sostituzione si possono fare erroracci di tutti i tipi se lo si dimentica...
ti rispondo altrove
X Fioravante Patrone:
[...]Per di piu', so anche bene che ci sono le "trappoline" descritte in questo post e non ho nessun problema ad evitarle.
Beh, lo credo, sei un matematico di professione. L'esempio che ho postato è tratto da una rivista per professori di scuola superiore, e gli alunni potrebbero invece incappare in certe trappole (se si limitano a sostituire meccanicamente)...
E' indubbio che la notazione coi puntini è molto più chiara (e nella pratica si "prova" prima questa poi eventualmente si converte in sommatoria), però perde di rigore soprattutto se la si usa con le serie.
---
Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...
Cosa vuol dire? Io la prima cosa che raccomando agli studenti appena introduco gli integrali è non dimenticarsene perché non è un oggetto ornamentale ma necessario, anche perché quando si integra per sostituzione si possono fare erroracci di tutti i tipi se lo si dimentica...
[...]Per di piu', so anche bene che ci sono le "trappoline" descritte in questo post e non ho nessun problema ad evitarle.
Beh, lo credo, sei un matematico di professione. L'esempio che ho postato è tratto da una rivista per professori di scuola superiore, e gli alunni potrebbero invece incappare in certe trappole (se si limitano a sostituire meccanicamente)...
E' indubbio che la notazione coi puntini è molto più chiara (e nella pratica si "prova" prima questa poi eventualmente si converte in sommatoria), però perde di rigore soprattutto se la si usa con le serie.
---
Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...
Cosa vuol dire? Io la prima cosa che raccomando agli studenti appena introduco gli integrali è non dimenticarsene perché non è un oggetto ornamentale ma necessario, anche perché quando si integra per sostituzione si possono fare erroracci di tutti i tipi se lo si dimentica...
"Fioravante Patrone":
Tesi (?).
Antitesi (?).
Sintesi (?).
un perfetto esempio di cos'è un movimento dialettico direi
"alvinlee88":
Allora, se è necessario, perchè nei libri e nei siti di matematica continua a essere usata come definizione quella coi puntini? Almeno sarebbe benvenuta una sorta di postilla in fondo alla pagina che spieghi la possibile ambiguità, o un discorsino sulla cosa...
Premessa.
alvinlee88, ti voglio ringraziare per aver posto la questione. E soprattutto per questo ultimo post. Perche' mi hai fatto riflettere su una cosa di cui ero consapevole ma che ha comunque sempre rappresentato per me un problema di poco conto.
Tesi (?). Si', ci sono quei problemi di ambiguita' che tu, ed altri, avete segnalato. Da quel che mi riordo, nelle poche cose che scrivo (in posti seri, non sto parlando del forum, dove sono logorroico
) cerco di evitare la notazione con i puntini, per evitare proprio le ambiguita' (o veri e propri errori) che si possono commettere. Se mi ricordo bene, e' roba di cui discussi anni fa con mio collega di sede che di mestiere fa il logico matematicoAntitesi (?). Come mai si usa la notazione coi puntini? Ovvio. Per molti essa e' piu' comoda e soprattutto rende subito, in modo immediatamente utilizzabile, il significato di quello che si vuole definire. Per qaunto mi riguarda, ma non sono certo il solo, se mi danno la def formale senza puntini sento quasi sempre il bisogno di trasformarla nella corrispondente espressione coi puntini, per "afferrarne" il significato. Per di piu', so anche bene che ci sono le "trappoline" descritte in questo post e non ho nessun problema ad evitarle.
Sintesi (?). Quanto detto sopra, nella "antitesi", puo' spiegare come mai la notazione "coi puntini" sia tanto usata. Aggiungo anche una considerazione. La notazione "coi puntini" e' superiore all'altra per due tipi di utenti/lettori:
- per chi ha poca dimestichezza con il formalismo matematico e quindi rende per loro leggibile una "formula" che altrimenti sarebbe ostica
- per chi ne ha parecchia e quindi sa benssimo che ci sono i "buchi", le trappole, di cui si e' parlato in questo post.
Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...
Commenti di natura generale.
1. Come per il "dx", non a caso citato, ed altri ancora, occorre chiedersi sempre, per capire davvero cosa succede, come mai certe schifezze continuano ad esistere. C'e' un aspetto pragmatico, ci sono delle ragioni comunicative, delle determinanti di natura cognitiva, dietro a molti fenomeni che si osservano in matematica. Credo che sia buona cosa ricordarsene, per avere una versione piu' ricca della matematica. Che non e' un'accozzaglia di formule, ma un prodotto sociale.
2. d'accordissimo con la nota finale di alvinlee88: che c'e', gli si consuma l'inchiostro a mettere un warning? Che lo facessero!
X alvinlee88: certo, quantomeno bisogna fare chiarezza (almeno quando si dà una definizione o una formula). Poi per il resto sono d'accordo con ficus2002
"zorn":
Ecco perché è necessario usare i simboli di sommatoria e produttoria!
Con questo simbolo $n! =prod_(i=1)^n i; => 3! =1*2*3$
Volete un "paradosso" ancora più divertente per l'uso scorretto dei puntini sospensivi? E' apparso su un numero del periodico Mathesis dell'anno scorso (Laforgia):
Formula di Newton:
$(a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n*(n-1))/(1*2)a^(n-2)b^2+...++(n*(n-1))/(1*2)a^2b^(n-2)+nab^(n-1)+b^n$
valida per $n=1,2,3,...$
Poniamo $n=1$. Sostituiamo: $(a+b)=1(a+b)=(a+b)^1=a^1+1*a^0*b+0+...+0+1*a*b^0+b^1=a+b+a+b=2(a+b)$ da cui, se $a+b!=0$ ricavo, dividendo per $a+b$ che $1=2$
Allora, se è necessario, perchè nei libri e nei siti di matematica continua a essere usata come definizione quella coi puntini? Almeno sarebbe benvenuta una sorta di postilla in fondo alla pagina che spieghi la possibile ambiguità, o un discorsino sulla cosa...lo stesso vale per la formula di Newton..possibile che non si sia ancora fatto niente per questo problema?
"zorn":
Ecco perché è necessario usare i simboli di sommatoria e produttoria!
Certamente, è meglio relegare l'uso dei punti di sospensione ad un livello informale e dove è possibile evitare delle ambiguità.
Ecco perché è necessario usare i simboli di sommatoria e produttoria!
Con questo simbolo $n! =prod_(i=1)^n i; => 3! =1*2*3$
Volete un "paradosso" ancora più divertente per l'uso scorretto dei puntini sospensivi? E' apparso su un numero del periodico Mathesis dell'anno scorso (Laforgia):
Formula di Newton:
$(a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n*(n-1))/(1*2)a^(n-2)b^2+...++(n*(n-1))/(1*2)a^2b^(n-2)+nab^(n-1)+b^n$
valida per $n=1,2,3,...$
Poniamo $n=1$. Sostituiamo: $(a+b)=1(a+b)=(a+b)^1=a^1+1*a^0*b+0+...+0+1*a*b^0+b^1=a+b+a+b=2(a+b)$ da cui, se $a+b!=0$ ricavo, dividendo per $a+b$ che $1=2$
Con questo simbolo $n! =prod_(i=1)^n i; => 3! =1*2*3$
Volete un "paradosso" ancora più divertente per l'uso scorretto dei puntini sospensivi? E' apparso su un numero del periodico Mathesis dell'anno scorso (Laforgia):
Formula di Newton:
$(a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n*(n-1))/(1*2)a^(n-2)b^2+...++(n*(n-1))/(1*2)a^2b^(n-2)+nab^(n-1)+b^n$
valida per $n=1,2,3,...$
Poniamo $n=1$. Sostituiamo: $(a+b)=1(a+b)=(a+b)^1=a^1+1*a^0*b+0+...+0+1*a*b^0+b^1=a+b+a+b=2(a+b)$ da cui, se $a+b!=0$ ricavo, dividendo per $a+b$ che $1=2$
p.s. ma Generale è la sezione giusta o ho sbagliato?
si luluemicia, hai proprio colto il punto di quello che volevo dire io...c'è questo rischio, e credo che sia anche alto..per questo ho proposto la questione nel forum....
Ciao,
condivido anch'io il fastidio per la def. con i puntini sospensivi; cerco sempre di evitarle ma purtroppo sono usatissime. Fra l'altro mi e vi chiedo: ma è proprio vero che è più immediata dell'altra? Per n=2 non farebbe scrivere a molti studenti che il fattoriale è 0? (forse è più immediata, nel senso che può far sbagliare "immediatamente"........)
Ciao
condivido anch'io il fastidio per la def. con i puntini sospensivi; cerco sempre di evitarle ma purtroppo sono usatissime. Fra l'altro mi e vi chiedo: ma è proprio vero che è più immediata dell'altra? Per n=2 non farebbe scrivere a molti studenti che il fattoriale è 0? (forse è più immediata, nel senso che può far sbagliare "immediatamente"........)
Ciao
ok quindi il fatto che sia più immediata compensa e supera il fatto che sia meno rigorosa...Cercavo solo una motivazione, mica voglio cambiare la formula...mi ci trovo benissimo....però non so perchè ma mi lascia comunque un senso di incompletezza...ok adesso andiamo a occuparci di dubbi seri, tipo a che ora vado stasera a vedere i simpson!!!
"alvinlee88":
infatti ficus 2002, la seconda non lascia alcun dubbio. So bene che la prima serve a far capire come funziona il calcolo, ma a me sembra sbagliata, se la si spaccia come "definizione".
La scrittura
$n! =n*(n-1)*(n-2)*\ldots *3*2*1$
è più immediata, ma meno rigorosa; forse, per questo, la si è preferita.
infatti ficus 2002, la seconda non lascia alcun dubbio. So bene che la prima serve a far capire come funziona il calcolo, ma a me sembra sbagliata, se la si spaccia come "definizione". So che sto cercando l'ago nel pagliaio, ma questo dubbio mi rode fin da quando abbiamo studiato il fattoriale per la prima volta..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo