Domanda strana
Per l'orale del primo modulo di Analisi 2, il nostro professore ci lascia portare un argomento a piacere: io ho intenzione di dimostrargli il teorema di Dini (per una funzione che va da $RR^2$ in $RR$). Vorrei chiedervi due cose: secondo voi, a che argomenti potrebbe collegarsi dopo? Io pensavo ai moltiplicatori di Lagrange, all'invertibilità locale o alla formula del valor medio.
In secondo luogo, vi chiedo se potete postarmi un link con la dimostrazione di Dini nel caso più generale (funzione da $RR^(n+m)$ a $RR^n$). Farei una bella figura, presentandomi con quello che il nostro prof. ha definito "mattone"
Grazie in anticipo per l'aiuto.
In secondo luogo, vi chiedo se potete postarmi un link con la dimostrazione di Dini nel caso più generale (funzione da $RR^(n+m)$ a $RR^n$). Farei una bella figura, presentandomi con quello che il nostro prof. ha definito "mattone"
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"Fioravante Patrone":
Certo, spero solo di non farti/averti fatto perdere tempo!
Dovrei dire io questa cosa nei tuo confronti.
Grazie per l'aiuto.
Certo, spero solo di non farti/averti fatto perdere tempo!
Intendo questo.
Ho una funzione $f(a_0,a_1,x)=a_0*x + a_1$. NB: ho cambiato la funzione rispetto alla tua, per mantenere la notazione coerente con quella che avevo usato io prima.
Suppongo che $a_0 != 0$.
Prendo una radice, ovvero $x_0$ t.c. $f(a_0,a_1,x_0)=0$.
Naturalmente, $x_0 = \frac{-a_1}{a_0}$.
Ora, $\frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} = a_0 != 0$. (*)
Quindi, visto che $f$ è di classe $C^1$, le hp. del teorema di Dini sono soddisfatte.
Allora, posso esprimere localmente la $x$ in funzione di $a_0$ ed $a_1$. Come ben sappiamo (e la formula è già scritta sopra: $\phi(x) = \frac{-a_1}{a_0}$.
Notare che $\frac{\partial \phi}{\partial a_0} = \frac{a_1}{a_0^2}$, come si vede direttamente dalla formula esplicita di $\phi$ che abbiamo.
Ma anche, dal teorema di Dini:
${\frac{\partial \phi}{\partial a_0}}_{x_0} = $
$= - {\frac{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial a_0} }{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} } }_{x_0} = $
$ = - {\frac{x}{a_0}}_{x_0} = - {\frac{ \frac{-a_1}{a_0} }{a_0}} = \frac{a_1}{a_0^2}$.
Idem, per $\frac{\partial \phi}{\partial a_1} = \frac{-1}{a_0}$, come si vede direttamente dalla formula esplicita di $\phi$ che abbiamo.
Ma anche, dal teorema di Dini:
${\frac{\partial \phi}{\partial a_1}}_{x_0} = $
$= - {\frac{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial a_1} }{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} } }_{x_0} = $
$ = - {\frac{1}{a_0}}_{x_0} = - \frac{1}{a_0}$.
(*) Notare che, in questo caso, la derivata rispetto ad $x$ è costante, cosa che non vale in generale per un polinomio, come propongo io. Ad esempio, se abbiamo: $g(a_0,a_1,a_2x)=a_0*x^2 + a_1 x + a_0$, è: $\frac{\partial g(a_0,a_1,a_2x)}{\partial x} = 2 a_0 x + a_1$. Notare che questa derivata si annulla in una radice $x_0$ se e solo se $x_0$ è una radice multipla del polinomio.
EDIT: la solita ere moscia
Intendo questo.
Ho una funzione $f(a_0,a_1,x)=a_0*x + a_1$. NB: ho cambiato la funzione rispetto alla tua, per mantenere la notazione coerente con quella che avevo usato io prima.
Suppongo che $a_0 != 0$.
Prendo una radice, ovvero $x_0$ t.c. $f(a_0,a_1,x_0)=0$.
Naturalmente, $x_0 = \frac{-a_1}{a_0}$.
Ora, $\frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} = a_0 != 0$. (*)
Quindi, visto che $f$ è di classe $C^1$, le hp. del teorema di Dini sono soddisfatte.
Allora, posso esprimere localmente la $x$ in funzione di $a_0$ ed $a_1$. Come ben sappiamo (e la formula è già scritta sopra: $\phi(x) = \frac{-a_1}{a_0}$.
Notare che $\frac{\partial \phi}{\partial a_0} = \frac{a_1}{a_0^2}$, come si vede direttamente dalla formula esplicita di $\phi$ che abbiamo.
Ma anche, dal teorema di Dini:
${\frac{\partial \phi}{\partial a_0}}_{x_0} = $
$= - {\frac{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial a_0} }{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} } }_{x_0} = $
$ = - {\frac{x}{a_0}}_{x_0} = - {\frac{ \frac{-a_1}{a_0} }{a_0}} = \frac{a_1}{a_0^2}$.
Idem, per $\frac{\partial \phi}{\partial a_1} = \frac{-1}{a_0}$, come si vede direttamente dalla formula esplicita di $\phi$ che abbiamo.
Ma anche, dal teorema di Dini:
${\frac{\partial \phi}{\partial a_1}}_{x_0} = $
$= - {\frac{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial a_1} }{ \frac{\partial f(a_0,a_1,x)}{\partial x} } }_{x_0} = $
$ = - {\frac{1}{a_0}}_{x_0} = - \frac{1}{a_0}$.
(*) Notare che, in questo caso, la derivata rispetto ad $x$ è costante, cosa che non vale in generale per un polinomio, come propongo io. Ad esempio, se abbiamo: $g(a_0,a_1,a_2x)=a_0*x^2 + a_1 x + a_0$, è: $\frac{\partial g(a_0,a_1,a_2x)}{\partial x} = 2 a_0 x + a_1$. Notare che questa derivata si annulla in una radice $x_0$ se e solo se $x_0$ è una radice multipla del polinomio.
EDIT: la solita ere moscia
@ Fioravante Patrone
Non riesco a applicare quello che mi hai suggerito. Potresti darmi qualche suggerimento partendo dal caso del polinomio di primo grado, definito dalla funzione $f(a_0,a_1,x)=a_0+a_1*x$? Grazie
Non riesco a applicare quello che mi hai suggerito. Potresti darmi qualche suggerimento partendo dal caso del polinomio di primo grado, definito dalla funzione $f(a_0,a_1,x)=a_0+a_1*x$? Grazie
Pappus,potresti spiegare che razza di avatar hai?
Non riesco a capire se sia uno scherzo o cosa.
Non riesco a capire se sia uno scherzo o cosa.
Dopo aver finito lo studio della teoria, ci farò sicuramente un pensierino. Grazie per l'aiuto. 
Se hai un problema, costituito da dati e dalla soluzione (supponiamo per il momento che sia unica), se questi sono numerici hai di fronte una funzione che va da un certo $R^k$ (lo "spazio" dei dati; sto supponendo che ti serva un numero finito, $k$, di dati) ad un $R^h$ (lo "spazio" della soluzione).
Quindi ti puoi chiedere se questa funzione $\phi$ è continua, derivabile, di classe $C^oo$, etc. In particolare, ti puoi porre il problema di trovare "quanto fanno" le derivate della $\phi$ rispetto ai dati. Per sensitività si intende proprio questa stima quantitativa di come varia la soluzione al variare dei dati.
Nel caso particolare che suggerivo io, la $\phi$ è proprio la funzione che ti viene gentilmente fornita dal teorema di Dini. E' $\phi(a_0,\ldots,a_n)$ e quindi è una funzione di $n+1$ variabili. Tu puoi calcolarne le derivate parziali nel punto $x_0$ (si tratta di unna radice semplice del polinomio) e queste ti dicono di quanto varia la soluzione al variare, che so, del coefficiente $a_3$. Naturalmente, per variazioni "piccole". Basta calcolarsi $\frac{\partial \phi}{\partial a_3}$.
Suggerimento: prova a fare i conti a mano e con Dini per i polinomi di primo e secondo grado. Visto che sono casi in cui hai una espressione esplicita della $\phi$.
Quindi ti puoi chiedere se questa funzione $\phi$ è continua, derivabile, di classe $C^oo$, etc. In particolare, ti puoi porre il problema di trovare "quanto fanno" le derivate della $\phi$ rispetto ai dati. Per sensitività si intende proprio questa stima quantitativa di come varia la soluzione al variare dei dati.
Nel caso particolare che suggerivo io, la $\phi$ è proprio la funzione che ti viene gentilmente fornita dal teorema di Dini. E' $\phi(a_0,\ldots,a_n)$ e quindi è una funzione di $n+1$ variabili. Tu puoi calcolarne le derivate parziali nel punto $x_0$ (si tratta di unna radice semplice del polinomio) e queste ti dicono di quanto varia la soluzione al variare, che so, del coefficiente $a_3$. Naturalmente, per variazioni "piccole". Basta calcolarsi $\frac{\partial \phi}{\partial a_3}$.
Suggerimento: prova a fare i conti a mano e con Dini per i polinomi di primo e secondo grado. Visto che sono casi in cui hai una espressione esplicita della $\phi$.
"Fioravante Patrone":
Una applicazione che mi ero scoperto da solo e che mi è sempre piaciuta: come dipende uno "zero" di un polinomio dai coefficienti.
$f(a_0,a_1,\ldots,a_n,x) = a_0 x^n + \ldots + a_n$
Se $x_0$ è una radice semplice del polinomio posso usare Dini per una analisi di sensitività della radice dai coefficienti.
Può anche valere la pena vedere cosa succede se una radice non è semplice (e quindi Dini non si applica): caso $x^2=0$ è già carino. Ad esempio, $x^2 + c = 0$ per $c < 0$ ha due soluzioni e per $c > 0$ non ne ha nessuna...
Non ho capito bene: cosa intendi per sensitività di una radice?
Una applicazione che mi ero scoperto da solo e che mi è sempre piaciuta: come dipende uno "zero" di un polinomio dai coefficienti.
$f(a_0,a_1,\ldots,a_n,x) = a_0 x^n + \ldots + a_n$
Se $x_0$ è una radice semplice del polinomio posso usare Dini per una analisi di sensitività della radice dai coefficienti.
Può anche valere la pena vedere cosa succede se una radice non è semplice (e quindi Dini non si applica): caso $x^2=0$ è già carino. Ad esempio, $x^2 + c = 0$ per $c < 0$ ha due soluzioni e per $c > 0$ non ne ha nessuna...
$f(a_0,a_1,\ldots,a_n,x) = a_0 x^n + \ldots + a_n$
Se $x_0$ è una radice semplice del polinomio posso usare Dini per una analisi di sensitività della radice dai coefficienti.
Può anche valere la pena vedere cosa succede se una radice non è semplice (e quindi Dini non si applica): caso $x^2=0$ è già carino. Ad esempio, $x^2 + c = 0$ per $c < 0$ ha due soluzioni e per $c > 0$ non ne ha nessuna...
il teorema delle funzioni implice è un pilastro portante della matematica moderna, quindi potresti collegarlo a ciò che ti pare.
Ti ricordo inoltre che il teorema della funzione inversa (e quello del rango) sono equivalenti ad esso (nel senso che puoi
dimostrarne uno eottenere l'altro come corollario). Il libro Analisi matematica 2 di Fusco Marcellini Sbordone dedica un'intero capitolo
al teorema di Dini, potresti cercarlo in biblioteca.
Ti ricordo inoltre che il teorema della funzione inversa (e quello del rango) sono equivalenti ad esso (nel senso che puoi
dimostrarne uno eottenere l'altro come corollario). Il libro Analisi matematica 2 di Fusco Marcellini Sbordone dedica un'intero capitolo
al teorema di Dini, potresti cercarlo in biblioteca.
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