Dimostrazioni di teoremi ovvi
Ultimamente sto leggendo Analisi 1, e non raramente trovo dei teoremi ovvi (nel senso che dici: "ma che cavolo me lo dimostra a fare?") con delle dimostrazioni relativamente lunghette e noiosette. Secondo voi è essenziale perdere tempo a leggerle e capirle?
Risposte
"eafkuor:
penso semplicemente che anche se Gauss abbia elaborato molti teoremi non ce ne sia nessuno attinente con il programma scolastico
Volevo solo sottolineare l'aspetto paradossale dell'insegnamento scolastico!
Il bello della matematica è che segue una linea logica ben precisa.
All'inizio di una teoria vi possono essere degli assiomi che vengono dati per noti.
Non significa necessariamente che non possono essere dimostrati.
Significa che vengono assunti come non dimostrabili nel contesto di una certa teoria.
Per esempio, in un corso di analisi 1, gli assiomi di partenza sono le proprietà dei numeri reali o dei numeri naturali.
Ma queste proprietà potrebbero essere dimostrate nel contesto di un corso di aritmetica o di teoria degli insiemi.
Un bel teoremino che consiglio dimostrare (partendo dagli assiomi di Peano) è il principio del buon ordinamento dei numeri naturali. Dice che igni insieme di numeri naturali ammette minimo. Semplice, intuitivo ma va dimostrato (se assumioamo come assiomi dell'aritmetica quelli di Peano).
Assioma, quindi, nella matematica moderna non è sinonimo di una proprietà evidente e che perciò non deve essere dimostrata, ma indica una proprietà che viene scelta come "punto di partenza".
Sono assiomi anche quelli delle "geometrie non euclidee" (o "geometrie impossibili") che sono tutt'altro che intuitivi, ma che costituiscono il punto di partenza della teoria.
Stabiliti gli assiomi, tutto il resto va dimostrato, anche quando dovesse sembrare del tutto intuitivo.
Poi, a seconda delle esigenze delle trattazioni, molte dimostrazioni si possono omettere, oppure lasciate come esercizio.
Ma, anche se non viene sviluppata in dettaglio, deve essere ben chiaro che una dimostrazione esiste - magari anche solo pensata - e che nulla deve essere lasciato all'intuito!
Del resto la matematica non è puro strumento di calcolo.
E'... l'arte di sapere ragionare in modo rigoroso. Quindi è opportuno che lo studente universitario faccia tesoro di questo modo di ragionare e lo veda come un utile allenamento dei neuroni!
Dimostrare che la somma dei limiti e il limite dalla somma non è difficile. E' un utile esempio di applicazione del modo di procedere deolla matematica. Ed è anche un ottimo metodo per verificare se si è veramente capita la definizione di limite.
Del resto, rinunciare a questo modo di trattare la matematica, non solo significa rinunciaree a capire il rigore che ci insegna, ma significa soprattutto in analisi, rischiare di commettere errori clamorosi, come succedeva prima che il grande Cauhy risistemo i concetti fondamentali dell'analisi con il concetto di limite, e il ragionamento matematico era limitato all'intuito.
All'inizio di una teoria vi possono essere degli assiomi che vengono dati per noti.
Non significa necessariamente che non possono essere dimostrati.
Significa che vengono assunti come non dimostrabili nel contesto di una certa teoria.
Per esempio, in un corso di analisi 1, gli assiomi di partenza sono le proprietà dei numeri reali o dei numeri naturali.
Ma queste proprietà potrebbero essere dimostrate nel contesto di un corso di aritmetica o di teoria degli insiemi.
Un bel teoremino che consiglio dimostrare (partendo dagli assiomi di Peano) è il principio del buon ordinamento dei numeri naturali. Dice che igni insieme di numeri naturali ammette minimo. Semplice, intuitivo ma va dimostrato (se assumioamo come assiomi dell'aritmetica quelli di Peano).
Assioma, quindi, nella matematica moderna non è sinonimo di una proprietà evidente e che perciò non deve essere dimostrata, ma indica una proprietà che viene scelta come "punto di partenza".
Sono assiomi anche quelli delle "geometrie non euclidee" (o "geometrie impossibili") che sono tutt'altro che intuitivi, ma che costituiscono il punto di partenza della teoria.
Stabiliti gli assiomi, tutto il resto va dimostrato, anche quando dovesse sembrare del tutto intuitivo.
Poi, a seconda delle esigenze delle trattazioni, molte dimostrazioni si possono omettere, oppure lasciate come esercizio.
Ma, anche se non viene sviluppata in dettaglio, deve essere ben chiaro che una dimostrazione esiste - magari anche solo pensata - e che nulla deve essere lasciato all'intuito!
Del resto la matematica non è puro strumento di calcolo.
E'... l'arte di sapere ragionare in modo rigoroso. Quindi è opportuno che lo studente universitario faccia tesoro di questo modo di ragionare e lo veda come un utile allenamento dei neuroni!
Dimostrare che la somma dei limiti e il limite dalla somma non è difficile. E' un utile esempio di applicazione del modo di procedere deolla matematica. Ed è anche un ottimo metodo per verificare se si è veramente capita la definizione di limite.
Del resto, rinunciare a questo modo di trattare la matematica, non solo significa rinunciaree a capire il rigore che ci insegna, ma significa soprattutto in analisi, rischiare di commettere errori clamorosi, come succedeva prima che il grande Cauhy risistemo i concetti fondamentali dell'analisi con il concetto di limite, e il ragionamento matematico era limitato all'intuito.
Un problema che è facile da enunciare, ma incredibilmente difficile da dimostrare o confutare, è un bellissimo problema!
"eafkuor":
[quote="carlo23"][quote="Crook"]Se ne sente parlare poco di Cantor come di tutta la matematica astratta, purtroppo.
è incredibile come sia conosciuto nello ambito scolastico il nome di Ruffini, mentre sia ignoto Gauss!!!![/quote]
penso semplicemente che anche se Gauss abbia elaborato molti teoremi non ce ne sia nessuno attinente con il programma scolastico[/quote]
Si, è vero. Volevo solo mostrare il lato paradossale dell'insegnamento scolastico
"carlo23":
[quote="Crook"]Se ne sente parlare poco di Cantor come di tutta la matematica astratta, purtroppo.
è incredibile come sia conosciuto nello ambito scolastico il nome di Ruffini, mentre sia ignoto Gauss!!!![/quote]
penso semplicemente che anche se Gauss abbia elaborato molti teoremi non ce ne sia nessuno attinente con il programma scolastico
"Crook":
Se ne sente parlare poco di Cantor come di tutta la matematica astratta, purtroppo.
è incredibile come sia conosciuto nello ambito scolastico il nome di Ruffini, mentre sia ignoto Gauss!!!!
Se ne sente parlare poco di Cantor come di tutta la matematica astratta, purtroppo.
"Crook":
Dimostrazioni capibili anche da uno scolaretto, ma tutt'altro che facili da realizzare. Mi sorprendono ogni volta.
è proprio vero, Cantor è stato un matematico incredibile, peccato che se ne senta parlare molto poco...
Dimostrazioni capibili anche da uno scolaretto, ma tutt'altro che facili da realizzare. Mi sorprendono ogni volta.
"Crook":
Un po' esagerato come esercizio per chi eventualmente non conoscesse le dimostrazioni di cantor. Magari uno ci arriva lo sttesso, però ci sono voluti secoli per dimostrare quei due "problemini".
Certo, non riuscivo a capire se intendevi "esagerato" per banale oppure difficile, nel primo caso saremmo stati in disaccordo ma vedo che non è così.
Ciao, ciao!
Un po' esagerato come esercizio per chi eventualmente non conoscesse le dimostrazioni di cantor. Magari uno ci arriva lo sttesso, però ci sono voluti secoli per dimostrare quei due "problemini".
"Crook":
Questo magari è un po' esagerato.
Scusa, in che senso?
Il teorema della curva di Jordan è molto piu' che intuitivo, eppure è estremamente complesso da dimostrare.
Un vecchio libro sulle variabili complesse ha tra i suoi problemini a fine capitolo: "Dimostrare che i numeri razionali sono numerabili", oppure "Dimostare che i numeri reali compresi tra 0 e 1 non sono numerabili". Questo magari è un po' esagerato.
Un vecchio libro sulle variabili complesse ha tra i suoi problemini a fine capitolo: "Dimostrare che i numeri razionali sono numerabili", oppure "Dimostare che i numeri reali compresi tra 0 e 1 non sono numerabili". Questo magari è un po' esagerato.
"giuseppe87x":
La mia prof ha detto che il teorema di Weierstrass è piuttosto lungo da dimostrare...ed è un teorema abbastanza ovvio.
mi porti con la memoria al mio esame di analisi 1... eheheh
la prima domanda che mi fanno e': "Dimostra il teorema di Weiestrass!" Prima di me avevano chiesto la dimostrazione a 4 persone di fila... niente, tutti bocciati
a riprova che la dimostrazione e' tutt'altro che facile, ma molto importante anche se il teorema e' molto intuitivo
vabbhe' era solo un bel ricordo da condividere (presi 30 all'esame!)
ciao ciao
appunto...
No, in effetti ora che ci penso bene è abbastanza "ovvio".
"fireball":
Mica tanto ovvio...
Perchè non ti sembra tanto ovvio?
Anche a em sembra ovvio; infatti i primi analisti presero questo teorema (come anche quello dell'esistenza dello zero) come veri senza averne una dimostrazione formale.
Platone
Platone
"fireball":
[quote="giuseppe87x"]La mia prof ha detto che il teorema di Weierstrass è piuttosto lungo da dimostrare...ed è un teorema abbastanza ovvio.
Mica tanto ovvio...[/quote]
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato mi sembra abbastanza ovvio che in quell'intervallo ci sarà un punto dove assume valore massimo e uno dove assume valore minimo...
"giuseppe87x":
La mia prof ha detto che il teorema di Weierstrass è piuttosto lungo da dimostrare...ed è un teorema abbastanza ovvio.
Mica tanto ovvio...
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