Derive può sbagliare?
Ragazzi ma questo programma è infallibile o no?
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Risposte
Sicuramente sei più competente di me (non che ci voglia tanto, ma vabe'...), pertanto se mi dici che $(-1)^{\frac{1}{3}}$ e $(-1)^{\frac{2}{6}}$ sono due cose diverse, ci credo. Mi resta un po' difficile da digerire, sinceramente, dato che se $\frac{1}{3}$ e $\frac{2}{6}$ sono solo due modi diversi di scrivere lo stesso numero, così come $x^{\frac{1}{3}}$ è esattamente la stessa roba di $x^{\frac{1}{3}}$ (e grazie al cavolo), intuitivamente mi verrebbe da dire che è esattamente la stessa roba di $x^{\frac{2}{6}}$ (dato che l'esponente di $x$ è lo stesso numero). Ma vabe', mi sbagliavo.
Vorrei comunque dire che, sempre ammesso che non abbia capito fischi per fiaschi, su Wikipedia c'è scritto che la potenza ad esponente frazionario è definita solo per basi non negative.
Vorrei comunque dire che, sempre ammesso che non abbia capito fischi per fiaschi, su Wikipedia c'è scritto che la potenza ad esponente frazionario è definita solo per basi non negative.
L'uguaglianza $x^(1/3)=x^(2/6)$ sussiste solo per gli $x>=0$, dato che la potenza con esponente $1/6$ è formalmente definita solo in $[0,+oo[$.
Questa restrizione, che pare assurda, in realtà viene fuori dal fatto che, nell'estensione della funzione potenza dagli esponenti interi a quelli razionali, si cerca di "salvaguardare" la proprietà commutativa della potenza di potenza, ossia $(x^alpha)^beta=x^(alpha*beta)=(x^beta)^alpha$: infatti, volendo conservare tale proprietà, c'è bisogno di dare senso ad entrambe le espressioni:
$(x^(1/6))^2$ e $(x^2)^(1/6)$
la prima delle quali, chiaramente, non ha significato in $RR$ se $x<0$.
Per scrivere una relazione tra le potenze d'esponenti $1/3$ e $2/6$ che valga identicamente in $RR$ bisogna ricorrere al valore assoluto (anche se tali frazioni rappresentano lo stesso numero razionale): invero si ha:
$|x|^(1/3)=|x|^(2/6)$
per ogni $x\in RR$.
Questa restrizione, che pare assurda, in realtà viene fuori dal fatto che, nell'estensione della funzione potenza dagli esponenti interi a quelli razionali, si cerca di "salvaguardare" la proprietà commutativa della potenza di potenza, ossia $(x^alpha)^beta=x^(alpha*beta)=(x^beta)^alpha$: infatti, volendo conservare tale proprietà, c'è bisogno di dare senso ad entrambe le espressioni:
$(x^(1/6))^2$ e $(x^2)^(1/6)$
la prima delle quali, chiaramente, non ha significato in $RR$ se $x<0$.
Per scrivere una relazione tra le potenze d'esponenti $1/3$ e $2/6$ che valga identicamente in $RR$ bisogna ricorrere al valore assoluto (anche se tali frazioni rappresentano lo stesso numero razionale): invero si ha:
$|x|^(1/3)=|x|^(2/6)$
per ogni $x\in RR$.
E dunque non è vero che $(-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}}$...
Scusate, ma state impazzendo?
Che la funzione $f(x):=x^(1/3)$ è forse definita solo per $x>=0$???
Visto che ci sono, ricordo un po' come stanno le cose per la funzione potenza ad esponente razionale.
Sia $p/q \in QQ\setminus \{0\}$ una frazione ridotta ai minimi termini, ossia con $p\in ZZ\setminus \{0\}$ e $q\in NN\setminus \{0\}$ coprimi. Distinguiamo i casi:
a) $p>0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in tutto $RR$;
b) $p>0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $[0,+oo[$;
c) $p<0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $RR\setminus \{0\}$;
d) $p<0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $]0,+oo[$.
La restrizione sul fatto che $p/q$ abbia da essere r.m.t. si può anche eliminare.
Ragazzi, sono le basi... dai non scherzate.
Le uniche difficoltà nel definire le potenze si incontrano quando si voglia definire la potenza ad esponente irrazionale: in tal caso, e solo in tal caso, si deve restringere "a priori" il dominio della funzione a $[0,+oo[$ o $]0,+oo[$ a seconda che l'esponente sia positivo o negativo.
P.S.: Il passaggio "illecito" nella scrittura di Tipper è il terzo: infatti per la b) non ha senso calcolare $(-1)^(2/6)$.
Che la funzione $f(x):=x^(1/3)$ è forse definita solo per $x>=0$???
Visto che ci sono, ricordo un po' come stanno le cose per la funzione potenza ad esponente razionale.
Sia $p/q \in QQ\setminus \{0\}$ una frazione ridotta ai minimi termini, ossia con $p\in ZZ\setminus \{0\}$ e $q\in NN\setminus \{0\}$ coprimi. Distinguiamo i casi:
a) $p>0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in tutto $RR$;
b) $p>0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $[0,+oo[$;
c) $p<0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $RR\setminus \{0\}$;
d) $p<0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $]0,+oo[$.
La restrizione sul fatto che $p/q$ abbia da essere r.m.t. si può anche eliminare.
Ragazzi, sono le basi... dai non scherzate.
Le uniche difficoltà nel definire le potenze si incontrano quando si voglia definire la potenza ad esponente irrazionale: in tal caso, e solo in tal caso, si deve restringere "a priori" il dominio della funzione a $[0,+oo[$ o $]0,+oo[$ a seconda che l'esponente sia positivo o negativo.
P.S.: Il passaggio "illecito" nella scrittura di Tipper è il terzo: infatti per la b) non ha senso calcolare $(-1)^(2/6)$.
A dire la verità, pure io sapevo che le potenze ad esponente non intero sono (anzi erano, a questo punto...) definite solo per basi positive. Ma poco male, avrò creduto ad una corbelleria... Ora, però, mi sorge una domanda: cos'è che non va, allora, in questi passaggi?
$-1 = \root[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \root[6]{(-1)^2} = \root[6]{1} = 1$
$-1 = \root[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \root[6]{(-1)^2} = \root[6]{1} = 1$
"5InGold":
La potenza con in esponente razionale è definita solo per basi non negative e quindi le funzioni $x^{2/3} $ e $ \root(3)(x^2)$ hanno domini diversi.
Ma questa è una delle corbellerie più grosse che ho letto da diverso tempo a questa parte...
La storia è questa: in generale questi programmi considerano di lavorare nel campo complesso, e considerano le radici come radici principali. Mi spiego con un esempio: $2^(1/3)$ è $(2e^(0i))^(1/3)=root(3)(2)*(e^(0i))^(1/3)$ e $(e^(0i))^(1/3)=e^((0/3)i)$. Quindi nessun problema: otteniamo ancora un numero reale perché $0/3=0$.
Ma altra storia sono i numeri negativi: $-2=2e^(pii)$, quindi $(-2)^(1/3)=root(3)(2)e^(pi/3i)$, che non è un numero reale e da qui il rifiuto di plottarlo.
In Maple e in Mathematica si può ovviare a questo problema caricando il pacchetto RealOnly o RealDomain (non mi ricordo quale dei due sia di Maple e quale di Mathematica). Questi pacchetti fanno sì che tutti i numeri siano intepretati come reali, non come complessi, e le operazioni sono affrontate di conseguenza. Ad esempio, dire $(-1)^(1/2)$ risulterà in un messaggio di errore.
Sono sicuro che esiste un pacchetto del genere anche in Derive. Altrimenti, ci deve essere una funzione "radice reale" (in Maple si chiama SURD, se non sbaglio), o ancora puoi implementare le radici di indice dispari usando la disparità, con stratagemmi tipo:
$root(3)(x)="sign"(x)root(3)(|x|)$, che non ti dà problemi perché hai sotto radice solo numeri positivi.
Comunque se guardi sulla guida in linea sono sicurissimo che troverai informazioni al riguardo.
Ma altra storia sono i numeri negativi: $-2=2e^(pii)$, quindi $(-2)^(1/3)=root(3)(2)e^(pi/3i)$, che non è un numero reale e da qui il rifiuto di plottarlo.
In Maple e in Mathematica si può ovviare a questo problema caricando il pacchetto RealOnly o RealDomain (non mi ricordo quale dei due sia di Maple e quale di Mathematica). Questi pacchetti fanno sì che tutti i numeri siano intepretati come reali, non come complessi, e le operazioni sono affrontate di conseguenza. Ad esempio, dire $(-1)^(1/2)$ risulterà in un messaggio di errore.
Sono sicuro che esiste un pacchetto del genere anche in Derive. Altrimenti, ci deve essere una funzione "radice reale" (in Maple si chiama SURD, se non sbaglio), o ancora puoi implementare le radici di indice dispari usando la disparità, con stratagemmi tipo:
$root(3)(x)="sign"(x)root(3)(|x|)$, che non ti dà problemi perché hai sotto radice solo numeri positivi.
Comunque se guardi sulla guida in linea sono sicurissimo che troverai informazioni al riguardo.
fatto sta che in questo caso i programmi cadono in errore a causa di impostazioni non sufficientemente dinamiche. Infatti il dominio della funzione proposta è tutto R.
Si evita la possibilità di basi negative nelle potenze razionali per evitare antinomie come questa:
$-2=-2^(1)$ può essere scritto come $(-2)^(2/2)$ da cui anche $((-2)^2)^(1/2)=2$
Si evita la possibilità di basi negative nelle potenze razionali per evitare antinomie come questa:
$-2=-2^(1)$ può essere scritto come $(-2)^(2/2)$ da cui anche $((-2)^2)^(1/2)=2$
In genere $f(x)=x^alpha$ con $alpha in RR$ è definita solo per $x>0$
Da qui il comportamento di Derive.
Poi in alcuni particolari casi la si può estendere anche a domini più grandi, ma solo in particolari casi..
Non conosco i comandi del Derive, ma una situazione analoga è in Maple..
Da qui il comportamento di Derive.
Poi in alcuni particolari casi la si può estendere anche a domini più grandi, ma solo in particolari casi..
Non conosco i comandi del Derive, ma una situazione analoga è in Maple..
La potenza con in esponente razionale è definita solo per basi non negative e quindi le funzioni $x^{2/3} $ e $ \root(3)(x^2)$ hanno domini diversi.
usa Maple...
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