Derive può sbagliare?
Ragazzi ma questo programma è infallibile o no?
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Risposte
gugo, che tu ci creda o no, quel famoso errore (-8)^(1/3)=(-8)^(2/6) mi è stato propinato anni fa a lezione di analisi 1 dal professore titolare del corso per dire che lui voleva solo radici con base positiva... condizione necessaria per passare analisi 1. e lo stesso errore dovrebbe trovarsi anche nel libro di gilardi "analisi 1" della mcgrawhill, edito attorno all' anno 1996. non ho sottomano adesso il libro per confermartelo (probabilmente quel testo l' ho prestato, adesso ho il bertsch-dal passo e il gambini), però se poi la matematica ci viene insegnata così... diventa deprimente ed incomprensibile... ed è un vero peccato.
"Mathcrazy":Il topic consta di 6 pagine di riflessioni su questo! Non mi dire che dobbiamo fare tutto daccapo.
Volevo farvi riflettere su ... Quindi avrebbe senso affermare che $x^a != e^(a*logx)$?
Nel tuo esempio, $a$ è intero, quindi si usa definire la potenza anche per basi negative. La formula con l'esponenziale invece permette di definire la potenza solo con basi positive. Di conseguenza si conviene di adottare diversi insiemi di definizione per le funzioni potenza a seconda dell'esponente: se è intero positivo, intero negativo, razionale con denominatore dispari, irrazionale... Certo, è bruttino, ma di meglio non si può fare.
Guarda pag 1, 2 e 3 di questo topic 
Sì, il motivo c'è, e quindi? Qual è la domanda?
Scusate se riesumo un topic omai gia troppo vecchio, spero di non commettere un'infrazione,ma volevo chiarirmi anch'io a riguardo!
Volevo farvi riflettere su questo:
$x^a = e^(a*logx)$
Permettetemi di chiedervi se non è vero che l'argomento di un logaritmo debba essere $> 0$.
Quindi avrebbe senso affermare che $x^a != e^(a*logx)$?
Poi volevo riportare un ulteriore esempio:
Ovviamente $(-3)^3 = -27$
Ma $(-3)^3 = (-3)^(6/2) = sqrt ((-3)^6)= sqrt (729) = 27$
Ma allora $27 = -27$?
Volevo farvi riflettere su questo:
$x^a = e^(a*logx)$
Permettetemi di chiedervi se non è vero che l'argomento di un logaritmo debba essere $> 0$.
Quindi avrebbe senso affermare che $x^a != e^(a*logx)$?
Poi volevo riportare un ulteriore esempio:
Ovviamente $(-3)^3 = -27$
Ma $(-3)^3 = (-3)^(6/2) = sqrt ((-3)^6)= sqrt (729) = 27$
Ma allora $27 = -27$?
Derive può disegnare anche la parte negativa delle radici cubiche utilizzando:
- Branch := Real
- Opzioni -> Modalità -> Radici complesse: Real
Per Mathematica RadOnly deve essere scaricato da http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/6771/; per attivarlo, una volta aperto il file *.m con il programma, cliccare su Run Package.
- Branch := Real
- Opzioni -> Modalità -> Radici complesse: Real
Per Mathematica RadOnly deve essere scaricato da http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/6771/; per attivarlo, una volta aperto il file *.m con il programma, cliccare su Run Package.
Sono un po' sfibrato da questa discussione, ma tento di rispondere ancora, per cercare di capire dove divergiamo.
Ma è proprio quello che sto dicendo!!!
Tu continui ad assimilare $x^(m/n)$ a $x^pi$ come se i domini $RR times QQ$ e $RR times RR$ non fossero diversi..[/quote]
Secondo me se "scrivi" $x^{m/n}$ e $x^{\pi}$ dovrebbe essere vero che c'e' una unica funzione potenza, $P:A\to B$ con un ben determinato dominio $A$ e un ben determinato
codominio $B$ tale che $x^{m/n}=P(x,m/n)$ e $x^\pi=P(x,\pi)$. Allora questa funzione $P$ deve prevedere tutti i casi possibili (in particolare il suo dominio deve essere quello complicato).
Non ho mai trovato in commercio tale funzione (che ha diritto di cittadinanza, beninteso).
Se neghi - in linea di principio dico e non nella pratica - che a nomi eguali debbano corrispondere oggetti eguali secondo me casca tutto-
Non e' vero che di sottrazione ce n'e' una sola - se cambi dominio hai un'altra funzione (sempre parlando in modo rigorosamente formale). E' vero che la situazione e' simile
e infatti e' errato in linea di principio usare lo stesso simbolo per la sottazione tra interi e quella tra numeri reali. Pero' in questo caso una e' la restrizione dell'altra e quindi questo comportamento e' ampiamente giustificato (ma io so, a richiesta, che le due funzioni sono diverse). E poi di solito si parla di interi o si parla di reali e la somma che si usa e' sempre la stessa.
Invece nel caso delle potenze mi sembra che il dominio accettato di $(x,y)\mapsto x^y$ sia $]0,+\infty[\times RR$ e quindi questa funzione non permetterebbe
di essere calcolata in $(-1,1/3)$.
Quando avremo finito questa diatriba ti chiedero' di spiegarmi la soluzione di Kant (mi riferisco ovviamente all'altro thread ... ) - spero tra l'altro che tutto questo scambio di messaggi non
dia fstidio gli altri utenti, che magari si saranno scocciati.
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Ti ricordo che funzioni aventi dominio diverso sono funzioni diverse.
Ma è proprio quello che sto dicendo!!!
Tu continui ad assimilare $x^(m/n)$ a $x^pi$ come se i domini $RR times QQ$ e $RR times RR$ non fossero diversi..[/quote]
Secondo me se "scrivi" $x^{m/n}$ e $x^{\pi}$ dovrebbe essere vero che c'e' una unica funzione potenza, $P:A\to B$ con un ben determinato dominio $A$ e un ben determinato
codominio $B$ tale che $x^{m/n}=P(x,m/n)$ e $x^\pi=P(x,\pi)$. Allora questa funzione $P$ deve prevedere tutti i casi possibili (in particolare il suo dominio deve essere quello complicato).
Non ho mai trovato in commercio tale funzione (che ha diritto di cittadinanza, beninteso).
Se neghi - in linea di principio dico e non nella pratica - che a nomi eguali debbano corrispondere oggetti eguali secondo me casca tutto-
Non e' vero che di sottrazione ce n'e' una sola - se cambi dominio hai un'altra funzione (sempre parlando in modo rigorosamente formale). E' vero che la situazione e' simile
e infatti e' errato in linea di principio usare lo stesso simbolo per la sottazione tra interi e quella tra numeri reali. Pero' in questo caso una e' la restrizione dell'altra e quindi questo comportamento e' ampiamente giustificato (ma io so, a richiesta, che le due funzioni sono diverse). E poi di solito si parla di interi o si parla di reali e la somma che si usa e' sempre la stessa.
Invece nel caso delle potenze mi sembra che il dominio accettato di $(x,y)\mapsto x^y$ sia $]0,+\infty[\times RR$ e quindi questa funzione non permetterebbe
di essere calcolata in $(-1,1/3)$.
Quando avremo finito questa diatriba ti chiedero' di spiegarmi la soluzione di Kant (mi riferisco ovviamente all'altro thread ... ) - spero tra l'altro che tutto questo scambio di messaggi non
dia fstidio gli altri utenti, che magari si saranno scocciati.
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Quindi mi confermi che, anche per te $F(x,y)=x^y$ intesa come $F:RR \times RR to RR$ e intesa $F:QQ \times QQ to QQ$ ( o meglio $F:QQ \times QQ to RR$ ) sono funzioni diverse ??
Forse sono stato troppo sbrigativo. In realtà di stava parlando di $F:RR times QQ to RR$, cioè di $F(x,y)=x^y$ con $x$ reale e $y$ razionale.
"ViciousGoblinEnters":
E dunque e' vero che nella pratica si usa la stessa notazione per indicare funzioni diverse ??
Scusa, la questione era: $x^(m/n)$ è uguale o no a $\root(n)(x^m)$?
[/quote]
non proprio - per me era se la funzione $x\mapsto \root{3}{x}$ e la funzione $x\mapsto x^{1/3}$ fossero la stessa funzione (torno per semplicita' all'esempio iniziale). Questa e'
un problema traducibile in "come e' definita nei libri" la prima (la seconda) funzione. Ti giuro che all'inizio dicendo $x\mapsto \root{3}(x}$ e' la radice cubica di $x$, cioe' la funzione inversa
di $x\mapsto x^3$, mentre $x^{1/3}=e^{1/3 Ì^{ln(x)}$ pensavo di dire una cosa quasi ovvia. Mi rendo co $x\mapsto x^{1/3}$nto che non e' vero ma continuo a ritenere che le definizioni comunemente usate
definiscano $(x,y)\mapsto x^y$ solo per $x>0$ (anche se volessimo confinare $x$ e $ y$ a $QQ$). Ovviamente per confrontarci su questo dovremmo cominciare a guardate tutte le definizioni dei libri e questo per la verita' non mi interessa molto - vorrei solo essere sicuro che si capisca bene cio' che voglio dire)
Tu dici che sono funzioni diverse perché - mi sembra - confondi tra $F:RR times RR to RR$ e $F:RR times QQ to RR$, nel senso che "non vedi" che l'esponente razionale comporta che si tratti di $F:RR times QQ to RR$ e per la semplice esistenza di un esponente (che per te potrebbe anche essere $pi$, trascurando che $pi$ non è proprio il migliore esempio di numero razionale...) vorresti considerarla come se fosse $F:RR times RR to RR$.
Qui non capisco cosa intendi. Ti ricordo che funzioni aventi dominio diverso sono funzioni diverse. Secondo me, se tutto fosse rigoroso e coerente a nomi eguali dovrebbero corrispondere funzioni uguali. Quindi $x^{1/3}$ e $x^\pi$ dovrebbero essere due istanze di un'unica $F(x,y)=x^y$. Se e' cosi, per tenere conto di tutti i casi che tu vuoi includere la $F$ divrebbe avere il dominio complicato che ho scritto nel messaggio precedente. E non ho trovato da nessuna parte questa strategia (peraltro possibile ma secondo me innaturale).
Rileggendo le tue righe forse le posso interpretare dicendo che le "espressioni" che si usano di volta in volta suggeriscono di considerare a volte un dominio a volte un altro. Se questo
e' cio' che intendi sono d'accordo con te che e' prassi comune farlo, ma e' matematicamente scorretto. Un po' come quando negli esercizi sugli studi di funzione si dice di trovare il
"dominio" - che vuol dire?, per dare una funzione bisogna dare anche il dominio (e il codominio). Con questo non voglio dire che non si debba mai parlare in maniera imprecisa
(anzi credo che sia impossibile paunrlare in maniera precisa) ma dovremmo in teoria essere sempre in grado di "precisare i dettagli" su richiesta.
Io dico che, a quanto ho capito, $x^(m/n)$ viene definita come $\root(n)(x^m)$ e quindi non possono essere diverse. E si seguono le regole "di Gugo" tenendo conto del fatto che l'esponente è razionale, non reale, cioè che siamo in $F:RR times QQ to RR$, non in $F:RR times RR to RR$.
Se fosse come dici sopra $(-1)^{2/6}=\root{6}{(-1)^2}=1$. E comunque se non mi dici per quali $x$ dai la definizione sopra (secondo me solo per le $x>0$ - se vuoi posso provvisoriamente
concederti lo zero) non puoi sostenere che le funzioni sono eguali.
"Sergio":
Secondo me commetti un errore banalissimo: non vedi $QQ$.
Se ragioni su $F(x,y)=x^y$ come se fosse $F:RR \times RR to RR$, allora ottieni certi risultati.
Se ragioni su $F:QQ \times QQ to QQ$ le cose cambiano.
$F:RR \times RR to RR$ e $F:QQ \times QQ to QQ$ non sono la stessa cosa.
Prova a pensare ad un esempio facile facile: $F(x,y)=x-y$. Cambia parecchio da $F:NN \times NN to NN$ a $F:RR \times RR to RR$!
Quindi mi confermi che, anche per te $F(x,y)=x^y$ intesa come $F:RR \times RR to RR$ e intesa $F:QQ \times QQ to QQ$ ( o meglio $F:QQ \times QQ to RR$ )
sono funzioni diverse ?? E dunque e' vero che nella pratica si usa la stessa notazione per indicare funzioni diverse ??
Allora in linea di principio siamo d'accordo su tutto. Rimane il dettaglio che , in questo caso - dato che sono disponibili due notazioni,
io preferisco distingure esplicitamente le due funzioni anche nella pratica (perche' mi pare che a volte - nella pratica - sia utile tenere a mente questa distinzione)).
Faccio ammenda delle mie affermazioni sbagliate - sono stato frettoloso e avevo premesso "credo", ma questo non e' una scusante.
Scusate se insisto in una questione di lana caprina, vorrei pero' cercare di mettere a fuoco completamente il mio punto di vista e vedere se c'e' qualche "nodo concettuale" oltre alle opinioni.
Il punto in discussione mi pare sia, scrivendo:
$(-1)^{1/3}=-1$
sto usando la stessa funzione potenza che utilizzo nella scrittura
$e^{\ln(2)}=2$ ?
Cosa intendo con funzione potenza? Mi pare inevitabile intendere una $F(x,y)=x^y$.
1) Se la risposta e' che sto usando la stessa $F$ in entrambe le espressioni sopra, allora
il dominio di $F$ e'
$]0,+\infty[\times \RR \cup [0,+\infty[\times [0,+\infty[\cup \RR\times \{"razionali del tipo" 1/n "con n intero relativo dispari"\}$
Non ricordo di aver mai trovato una tale dichiarazione nei libri. Chiedendo in giro di
scrivere il "dominio di $f(x)=x^x$", quale pensate sarebbe la risposta?
2) Se invece $F$ ha come dominio $]0,+\infty[\times \RR$, allora scrivendo $(-1)^{1/3}=-1$
non stiamo scrivendo $F(-1,1/3)=-1$. Stiamo allora usando la stessa notazione per due funzioni diverse, scegliendo "istintivamente", volta per volta quale delle due usare.
Non ho ostracismi in proposito - ritenere che tutto sia formalmente rigoroso e' un mito che ho abbandonato da tempo - e in questa discussione mi sono accorto che io stesso, usando $(-1)^2=1$ non uso $F(-1,2)=1$.
Pero' vorrei sapere, secondo voi, qual e' la nozione di potenza a due argomenti (cioe' di $F$) "utilizzata dalla comunita' matematica" (non mi sogno di dire "giusta").
A parer mio - leggendo le definizioni sui libri - la definizione di $x^y$ e' quella con base positiva, ma poi, nella pratica e in certi casi, con lo stesso simbolo si usa un'altra funzione .
Un po' come con il termine serie che a volte significa la somma, quando si dice che $\sum_{n=0}^{\infty} 1/{2^n}=2$, e a volte la successione delle somme parziali, come quando si dice che $\sum_{n=0}^{\infty} 1/{2^n}$ converge.
Ripeto che non ho nulla da obiettare su questo comportamento - ma poi quando uno ti fa una domanda come quella da cui ha avuto origine il thread, ci si deve sforzare di chiarire il punto.
A questo punto io sono molto contento che qualcuno, non ricordo chi, piu' di trent'anni fa mi abbia insegnato a distinguere le due funzioni usando in maniera differente i simboli
$\root{n}{x}$ e $x^{1/n}$ (fermo restando che mi rimane il problema di $x^n$, a cui cerchero' di porre rimedio nei prossimi dieci anni...)
Scusate se insisto in una questione di lana caprina, vorrei pero' cercare di mettere a fuoco completamente il mio punto di vista e vedere se c'e' qualche "nodo concettuale" oltre alle opinioni.
Il punto in discussione mi pare sia, scrivendo:
$(-1)^{1/3}=-1$
sto usando la stessa funzione potenza che utilizzo nella scrittura
$e^{\ln(2)}=2$ ?
Cosa intendo con funzione potenza? Mi pare inevitabile intendere una $F(x,y)=x^y$.
1) Se la risposta e' che sto usando la stessa $F$ in entrambe le espressioni sopra, allora
il dominio di $F$ e'
$]0,+\infty[\times \RR \cup [0,+\infty[\times [0,+\infty[\cup \RR\times \{"razionali del tipo" 1/n "con n intero relativo dispari"\}$
Non ricordo di aver mai trovato una tale dichiarazione nei libri. Chiedendo in giro di
scrivere il "dominio di $f(x)=x^x$", quale pensate sarebbe la risposta?
2) Se invece $F$ ha come dominio $]0,+\infty[\times \RR$, allora scrivendo $(-1)^{1/3}=-1$
non stiamo scrivendo $F(-1,1/3)=-1$. Stiamo allora usando la stessa notazione per due funzioni diverse, scegliendo "istintivamente", volta per volta quale delle due usare.
Non ho ostracismi in proposito - ritenere che tutto sia formalmente rigoroso e' un mito che ho abbandonato da tempo - e in questa discussione mi sono accorto che io stesso, usando $(-1)^2=1$ non uso $F(-1,2)=1$.
Pero' vorrei sapere, secondo voi, qual e' la nozione di potenza a due argomenti (cioe' di $F$) "utilizzata dalla comunita' matematica" (non mi sogno di dire "giusta").
A parer mio - leggendo le definizioni sui libri - la definizione di $x^y$ e' quella con base positiva, ma poi, nella pratica e in certi casi, con lo stesso simbolo si usa un'altra funzione .
Un po' come con il termine serie che a volte significa la somma, quando si dice che $\sum_{n=0}^{\infty} 1/{2^n}=2$, e a volte la successione delle somme parziali, come quando si dice che $\sum_{n=0}^{\infty} 1/{2^n}$ converge.
Ripeto che non ho nulla da obiettare su questo comportamento - ma poi quando uno ti fa una domanda come quella da cui ha avuto origine il thread, ci si deve sforzare di chiarire il punto.
A questo punto io sono molto contento che qualcuno, non ricordo chi, piu' di trent'anni fa mi abbia insegnato a distinguere le due funzioni usando in maniera differente i simboli
$\root{n}{x}$ e $x^{1/n}$ (fermo restando che mi rimane il problema di $x^n$, a cui cerchero' di porre rimedio nei prossimi dieci anni...)
"ViciousGoblinEnters":
3) devo fare un po' di autocritica - effettivamente se seguissi integralmente la mia posizione anche $x^2$ dovrebbe essere definita solo per $x>0$ (o meglio dovrei avere due notazioni per la potenza)[...]
Questa sarebbe stata la mia prossima obiezione...
Riconosco che definire le potenza razionali solo per $x>0$ possa servire per giustificare l'uguaglianza $x^(p/q)=x^(m/n)$ quando $p/q,m/n$ individuano lo stesso numero razionale (anzi, porre $x>0$ è forse l'unica strada per ottenere ciò); tuttavia ciò importa che si devono usare i simboli $x^m$ ed $x^(1/n)$ ($m,n in NN$ ed $n!=0$) unicamente per denotare le restrizioni della potenza $m$-esima e della radice $n$-esima a $]0,+oo[$, il che mi pare sconveniente ed insensato.
"Raptorista":
L'ho letta tutta la discussione, ma non mi sembrava che si fosse giunti ad una conclusione..
Perche' forse una conclusione non c'e' ... A questo livello ho l'impressione non ci sia uniformita' di definizioni precise, dato anche il
fatto che in pratica ci sono poche differenze (pur di mettersi d'accordo prima).
Alcuni altri commenti che mi vengono in mente
1) credo di poter affermare che in tutti i software $x^a=e^{x\ln(a)}$ e quindi $0^{1/3}$ non e' definita.
2) mi pare che il vecchio libro di matematica di GodR1n0, sposi la mia posizione, (che $x^{1/3}$ e' definita solo per $x$ positivo)
3) devo fare un po' di autocritica - effettivamente se seguissi integralmente la mia posizione anche $x^2$ dovrebbe essere definita solo
per $x>0$ (o meglio dovrei avere due notazioni per la potenza) - in effetti devo riconoscere a Sergio che la matematica e' piena di eccezioni!!
Viciously yours
L'ho letta tutta la discussione, ma non mi sembrava che si fosse giunti ad una conclusione..
Gli interventi di Gugo82 e quello mio.
Vale a dire..??
Tutto sta nell'individuare il giusto campo d'esistenza.
Dunque, concludendo questa discussione, le funzioni $\root(n)(x^m)$ e $x^(m/n)$ sono o no equivalenti? Sono definite per $x=0$? In caso non fossero funzioni equivalenti, quale sarebbe la differenza?
Inoltre (e questa è una domanda banale temo..) l'errore nella catena di uguaglianze $-2=(-2)^1=(-2)^(2/2)=((-2)^(2))^(1/2)=sqrt((-2)^2)=2$ qual è?
Inoltre (e questa è una domanda banale temo..) l'errore nella catena di uguaglianze $-2=(-2)^1=(-2)^(2/2)=((-2)^(2))^(1/2)=sqrt((-2)^2)=2$ qual è?
"ViciousGoblinEnters":
O.K. amici .... Quindi per definire la funzione $x^{m/n}$ devo:
1) ridurre "ai minimi termini" $n/m$ passando a $n_1/m_1$.
Se x non è obbligatoriamente maggiore o uguale a 0 io mi fermerei già qui: $(-2)^(6/8)!=(-2)^(3/4)$, la prima esiste e la seconda no. Quindi $x^(6/8)=|x|^(3/4)$
Finisco il discorso:
se $n$ è pari, la radice algebrica esiste solamente se è $a>=0$ e si ottengono due valori opposti che corrispondono alla radice n-esima assoluta di $a$ ed al suo opposto :
$_root(n)(a)= +-root(n)(a)$ per $ a>=0$,
non esiste invece la radice n-esima algebrica quando $a-<0$;
se $n$ è dispari, la radice algebrica esiste sia quando $a>=0$, sia quando $a-<0$ ed è :
$_root(n)(a)=root(n)(a)$ per $a>=0$
$_root(n)(a)=-root(n)(-a)$ per $a-<0$.
se $n$ è pari, la radice algebrica esiste solamente se è $a>=0$ e si ottengono due valori opposti che corrispondono alla radice n-esima assoluta di $a$ ed al suo opposto :
$_root(n)(a)= +-root(n)(a)$ per $ a>=0$,
non esiste invece la radice n-esima algebrica quando $a-<0$;
se $n$ è dispari, la radice algebrica esiste sia quando $a>=0$, sia quando $a-<0$ ed è :
$_root(n)(a)=root(n)(a)$ per $a>=0$
$_root(n)(a)=-root(n)(-a)$ per $a-<0$.
Qualche mese fa il prof. di matematica ha spiegato gli esponenziali e abbiamo fatto un piccolo ripasso anche sui radicali. sulle potenze ad esponente razionale Ci ha forinito un piccolo schema sulle potenze ad esponente razionale, proprio come quello di gugo82:
Poi ho cercato qualche informazione sul mio vecchio libro di matematica che afferma:
"in generale; supposto $a>=0$ e dati due numeri $m$ e $n$ positiviti conveniamo di porre:
$a^(m/n)=root(n)(m)$
Continua dicendo: "tuttavia occorre poter dare un significato anche a scritture come $root(3)(-8)$ in modo da poter applicare anche ad esse analoghe proprietà. Intorduce allora il concetto di radicale algebrico:
Si dice radice n-esima algebrica di un numero reale $a$, ogni numero reale $b$, se esiste, tale che $b^n=a$. Per indicare la radice n-esima algebrica di $a$ useremo il simbolo $_root(n)(a)$.
Ps. Al mio paese quando una persona spunta dal nulla si dice che è come una piantina di prezzemolo.
Visto che ci sono, ricordo un po' come stanno le cose per la funzione potenza ad esponente razionale.
Sia pq∈ℚ\{0} una frazione ridotta ai minimi termini, ossia con p∈ℤ\{0} e q∈ℕ\{0} coprimi. Distinguiamo i casi:
a) p>0 e qdispari: la funzione potenza xpq è definita in tutto ℝ;
b) p>0 e qpari: la funzione potenza xpq è definita in [0,+∞[;
c) p<0 e qdispari: la funzione potenza xpq è definita in ℝ\{0};
d) p<0 e qpari: la funzione potenza xpq è definita in ]0,+∞[.
La restrizione sul fatto che pq abbia da essere r.m.t. si può anche eliminare.
Poi ho cercato qualche informazione sul mio vecchio libro di matematica che afferma:
"in generale; supposto $a>=0$ e dati due numeri $m$ e $n$ positiviti conveniamo di porre:
$a^(m/n)=root(n)(m)$
Continua dicendo: "tuttavia occorre poter dare un significato anche a scritture come $root(3)(-8)$ in modo da poter applicare anche ad esse analoghe proprietà. Intorduce allora il concetto di radicale algebrico:
Si dice radice n-esima algebrica di un numero reale $a$, ogni numero reale $b$, se esiste, tale che $b^n=a$. Per indicare la radice n-esima algebrica di $a$ useremo il simbolo $_root(n)(a)$.
Ps. Al mio paese quando una persona spunta dal nulla si dice che è come una piantina di prezzemolo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo