Derive può sbagliare?
Ragazzi ma questo programma è infallibile o no?
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
Risposte
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]A me francamente non piace. Inoltre ritengo che i simboli debbano avere delle proprieta' formali piu' semplici e uniformi possibili per cui "mi fa orrore"che $x^{1/3}$ si comporti in modo diverso da $x^\pi$.
Non ti preoccupare: c'è $x^(1/sqrt(3))$ che si comporta proprio come $x^pi$
[/quote]Grazie --- vedo che mi hai capito
Stavo per aprire un altro fronte a partire dal commento di GIBI (che mi ha evocato differenze tra senso e significato
collegate con l'idea di funzione .....) ma forse e' meglio evitare.Ciao
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Non volevo farti arrabbiare.
Arrabbiare??? Ma che dici? Trovo molto interessante la questione, anche perché ha "pochi risvolti pratici" (la matematica deve forse essere "pratica"?).
Volevo solo dire che le uguaglianze mi sembrano ben consolidate e quindi non vedo perché $x^(m/n)$ debba essere considerato diverso da $\root(n)(x^m)$ o da $(\root(n)(x))^m$.
Quanto al dominio, si deve distinguere tra i diversi casi, ma l'ha già fatto Gugo.[/quote]
O.K. amici ...
. Quindi per definire la funzione $x^{m/n}$ devo:1) ridurre "ai minimi termini" $n/m$ passando a $n_1/m_1$
2) andare a vedere se $m_1$ e pari o dispari e definire il dominio di conseguenza
3) definire $x^{m/n}$ come $\root{m_1}{x^{n_1}}$
A me francamente non piace. Inoltre ritengo che i simboli debbano avere delle proprieta' formali piu' semplici e uniformi possibili per cui "mi fa orrore"
che $x^{1/3}$ si comporti in modo diverso da $x^\pi$.Spero di essere riuscito a spiegare il mio punto di vista.
Non volevo farti arrabbiare. Non c'e' dubbio che i due concetti siano collegati. Dal mio punto di vista tutte le eguaglianze che mi riporti valgono (e costituiscono una definizione) per $x$ maggiore di zero.
Non sono certo che gli autori che menzioni volessero definire le potenze razionali anche per $x$ negativo, ma non voglio assolutamente andare a indagare a proposito soprattutto in una questione che
e' solo di principio, con pochissimi risvolti pratici ( io non scrivero' mai $(-1)^{1/3}$ ricorrendo a $\root{3}{-1}$, altri lo faranno, pazienza ...) .
Ti giuro che la distinzione non me la sono inventata io anche se viene perfettamente incontro ai miei gusti, probabilmente un po' "formalistici".
Mi ritiro in buon ordine
Non sono certo che gli autori che menzioni volessero definire le potenze razionali anche per $x$ negativo, ma non voglio assolutamente andare a indagare a proposito soprattutto in una questione che
e' solo di principio, con pochissimi risvolti pratici ( io non scrivero' mai $(-1)^{1/3}$ ricorrendo a $\root{3}{-1}$, altri lo faranno, pazienza ...) .
Ti giuro che la distinzione non me la sono inventata io anche se viene perfettamente incontro ai miei gusti, probabilmente un po' "formalistici".
Mi ritiro in buon ordine
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]Per me, dato $n$ intero e maggiore di uno $\root{n}{x}$ indica la funzione inversa di $x^n$, quest'ultima ristretta a $[0,+\infty[$ se $n$ e' pari,.
Invece se $a\in RR$ definisco $x^a:=e^{x\ln(x)}$, per $x\in]0,+\infty[$.
Interessante, ma mi pare che salti da $NN$ a $RR$ tralasciando $QQ$, che era quello di cui si stava parlando...
Per $QQ$ trovo un po' dovunque $x^(m/n)=\root(n)(x^m)$ e continuo a non vedere differenze.
Se poi mi dici che nella pratica per calcolare una radice $n$-esima si intende l'eponente razionale come se fosse reale e si usa $x^(m/n)=e^(m/n log(x))$ allora una differenza c'è, ma direi che è analoga a quella che c'è tra $sin(x)$ e $\sum_(k=0)^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}$... Una cosa, cioè, che dipende dal metodo di calcolo, non dalla definizione.
In particolare, a me sembra che $0^(1/3)=0$ e $root(3)(0)=0$ senza alcun problema.
"ViciousGoblinEnters":
RIpeto che mi sembra molto ragionevole visto che fare delle eccezioni per $a$ razionale della forma $a=1/n$ con $n$ dispari mi sembra assai artificioso.
Artificioso? Pensa a quanto è "artificiosa" la definizione di campo $K$: $(K,+)$ è un gruppo abeliano additivo, ma il gruppo moltiplicativo è $(K\\{0},*)$.
È "artificiosa" anche la definizione dei razionali: $p/q$ con $q != 0$.
Ed anche quella delle potenze con esponente intero: $x^n$, con $x != 0$ se $n<0$.
Insomma: la matematica è piena di eccezioni. O no?[/quote]
Quando scrivi $x^\frac{n}{m}$ intendi che il risultato dipende da $n/m$ e non dai singoli $n$ ed $m$. Quindi per usare la definizione $x^\frac{n}{m}=\root{m}{x^n}$ ( o $(\root{m}{x})^n$ ? )
devi controllare che il risultato sia indipendente da come rappresenti $n/m$ come razionale. Ora, questo e' vero se $x\geq0$ (mettiamo che $n/m\geq0$) per cui - secondo me - non e' ragionevole definire
$x^{n/m}$ per $x$ negativo.
A questo punto a me la distinzione tra $\root{3}{x}$ e $x^{1/3}$ piace moltissimo (non ricordo bene quando l'ho incontrata, ma ricordo di averla trovata illuminante). Personalmente $x^{1/3}$ mi appare piu' parente di $x^{\pi}$ che di $\root{3}x$. Si tratta di gusti/attitudini mentali (mia moglie direbbe seghe mentali....) e non di questioni fondamentali.
L'artificiosita' di cui parlavo nel post precedente e' a livello di linguaggio e non di contenuti - mi disturba che per calcolare $x^{1/3}$ si debba segure una procedura diversa che per calcolare $x^{\pi}$.
Sergio e Gugo,
da voi non me lo sarei mai aspettato, passi per Gugo che è un matematico, ma tu Sergio che hai studiato filosofia.
E palese l’erroneità dell’affermazione $x^(1/3)= root(3)( x)$, $x^(1/3)$ è uguale $x^(1/3)$ e $ root(3)( x)$ è uguale a $root(3)( x)$;
altrimenti una mela sarebbe uguale a un cavallo e si potrebbe scrivere “mela=cavallo”.
L’errata concezione ha cominciato a diffondersi circa 1000 anni fa e ha avuto come conseguenza gran parte dello sviluppo scientifico
con tutto quello che ne è conseguito, ma a poco a poco la verità verrà a galla e prima o poi, forse più poi che prima,
le cose si rimetteranno a posto.
da voi non me lo sarei mai aspettato, passi per Gugo che è un matematico, ma tu Sergio che hai studiato filosofia.
E palese l’erroneità dell’affermazione $x^(1/3)= root(3)( x)$, $x^(1/3)$ è uguale $x^(1/3)$ e $ root(3)( x)$ è uguale a $root(3)( x)$;
altrimenti una mela sarebbe uguale a un cavallo e si potrebbe scrivere “mela=cavallo”.
L’errata concezione ha cominciato a diffondersi circa 1000 anni fa e ha avuto come conseguenza gran parte dello sviluppo scientifico
con tutto quello che ne è conseguito, ma a poco a poco la verità verrà a galla e prima o poi, forse più poi che prima,
le cose si rimetteranno a posto.
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]E' chiaro che si tratta di convenzioni, ma anche a me e' stato insegnato, e mi sembra un'ottima idea, che radice cubica di $x$ e $x$ elevato a $1/3$ sono funzioni diverse.
?
E la differenza quale sarebbe?[/quote]
Per me, dato $n$ intero e maggiore di uno $\root{n}{x}$ indica la funzione inversa di $x^n$, quest'ultima ristretta a $[0,+\infty[$ se $n$ e' pari,.
Invece se $a\in RR$ definisco $x^a:=e^{x\ln(x)}$, per $x\in]0,+\infty[$.
RIpeto che mi sembra molto ragionevole visto che fare delle eccezioni per $a$ razionale della forma $a=1/n$ con $n$ dispari mi sembra assai artificioso.
"Raptorista":
[quote="Gugo82"][quote="Sergio"][quote="ViciousGoblinEnters"]E' chiaro che si tratta di convenzioni, ma anche a me e' stato insegnato, e mi sembra un'ottima idea, che radice cubica di $x$ e $x$ elevato a $1/3$ sono funzioni diverse.
?
E la differenza quale sarebbe?[/quote]
Sergio, stavolta mi hai levato le parole di bocca...
(Probabilmente VGE vuol dire che gli hanno insegnato che $x^(1/3)$ è la restrizione a $]0,+oo[$ di $root(3)(x)$, ma aspetto una sua risposta. Ad ogni modo mi pare strano.)[/quote]
A me hanno insegnato che le scritture $x^(1/3)$ e $root(3)(x)$ sono equivalenti. Inoltre, lo zero non è compreso nel dominio di questa funzione?[/quote]
concordo!
"Gugo82":
[quote="Sergio"][quote="ViciousGoblinEnters"]E' chiaro che si tratta di convenzioni, ma anche a me e' stato insegnato, e mi sembra un'ottima idea, che radice cubica di $x$ e $x$ elevato a $1/3$ sono funzioni diverse.
?
E la differenza quale sarebbe?[/quote]
Sergio, stavolta mi hai levato le parole di bocca...
(Probabilmente VGE vuol dire che gli hanno insegnato che $x^(1/3)$ è la restrizione a $]0,+oo[$ di $root(3)(x)$, ma aspetto una sua risposta. Ad ogni modo mi pare strano.)[/quote]
A me hanno insegnato che le scritture $x^(1/3)$ e $root(3)(x)$ sono equivalenti. Inoltre, lo zero non è compreso nel dominio di questa funzione?
"Sergio":
[quote="ViciousGoblinEnters"]E' chiaro che si tratta di convenzioni, ma anche a me e' stato insegnato, e mi sembra un'ottima idea, che radice cubica di $x$ e $x$ elevato a $1/3$ sono funzioni diverse.
?
E la differenza quale sarebbe?[/quote]
Sergio, stavolta mi hai levato le parole di bocca...
(Probabilmente VGE vuol dire che gli hanno insegnato che $x^(1/3)$ è la restrizione a $]0,+oo[$ di $root(3)(x)$, ma aspetto una sua risposta. Ad ogni modo mi pare strano.)
"dissonance":
[quote="roxy"]
il derive ha i suoi limiti... scrivi la funzione in questo modo $(x^2)^(1/3)$ e il problema non ti si pone.... perchè?....
Mah, io non sono d'accordo con questa impostazione mentale. Non è questione di "limiti" di un software: semplicemente non possiamo aspettarci che ragioni come un umano, e dobbiamo sempre sapere cosa sta facendo, quali algoritmi sta applicando.
Non conosco Derive, ma sono sicuro che la maniera di procedere è la stessa di Maple, in cui (cito la guida in linea):
sqrt(x) represents the "principal square root", defined by the formula sqrt(x) = exp(1/2 * ln(x))
E analogamente la radice terza sarà $ "exp"(1/3 * ln(x))$, e così via. (Il discorso è lo stesso del mio post precedente e non sto a rifarlo).
Dire che questo è un "limite" del software mi pare inesatto. Agli occhi del calcolatore, questa definizione di potenza è valida come un'altra, e in più ha il vantaggio di essere computabile. Se poi l'utente vuole lavorare solo con i numeri reali, è pregato di farlo presente (in Maple con il comando with(RealDomain);).
Ripeto: sono al 100% sicuro che la guida in linea di Derive ha delle informazioni sull'argomento; basta consultarla e il problema si risolve.[/quote]
concordo con quello che dici... il mio intervento voleva significare questo! non si è capito
"Gugo82":
[quote="5InGold"]La potenza con in esponente razionale è definita solo per basi non negative e quindi le funzioni $x^{2/3} $ e $ \root(3)(x^2)$ hanno domini diversi.
Ma questa è una delle corbellerie più grosse che ho letto da diverso tempo a questa parte...
[/quote]E' chiaro che si tratta di convenzioni, ma anche a me e' stato insegnato, e mi sembra un'ottima idea, che radice cubica di $x$ e $x$ elevato a $1/3$ sono funzioni diverse.
Bravo “dissonance” hai centrato il problema:
“Dire che … è un "limite" del software mi pare inesatto”, non solo è inesatto ma è anche sciocco, il computer non può sostituire la conoscenza e lo studio della materia.
Il caso proposto da questo post è banale e senza conseguenza alcuna, il vero problema è che al giorno d’oggi gran parte degli utilizzatori dei codici di calcolo inerenti le applicazioni tecniche, si limitano solo a pigiare i tasti, senza possedere alcuna conoscenza delle ipotesi su cui sono fondati i programmi, con conseguenze sulla sicurezza delle persone allarmanti.
Molti disastri che si verificano ogni giorno sono causati dal “computer” (ovviamente la macchina non c’entra nulla).
“Dire che … è un "limite" del software mi pare inesatto”, non solo è inesatto ma è anche sciocco, il computer non può sostituire la conoscenza e lo studio della materia.
Il caso proposto da questo post è banale e senza conseguenza alcuna, il vero problema è che al giorno d’oggi gran parte degli utilizzatori dei codici di calcolo inerenti le applicazioni tecniche, si limitano solo a pigiare i tasti, senza possedere alcuna conoscenza delle ipotesi su cui sono fondati i programmi, con conseguenze sulla sicurezza delle persone allarmanti.
Molti disastri che si verificano ogni giorno sono causati dal “computer” (ovviamente la macchina non c’entra nulla).
"roxy":
il derive ha i suoi limiti... scrivi la funzione in questo modo $(x^2)^(1/3)$ e il problema non ti si pone.... perchè?....
Mah, io non sono d'accordo con questa impostazione mentale. Non è questione di "limiti" di un software: semplicemente non possiamo aspettarci che ragioni come un umano, e dobbiamo sempre sapere cosa sta facendo, quali algoritmi sta applicando.
Non conosco Derive, ma sono sicuro che la maniera di procedere è la stessa di Maple, in cui (cito la guida in linea):
sqrt(x) represents the "principal square root", defined by the formula sqrt(x) = exp(1/2 * ln(x))
E analogamente la radice terza sarà $ "exp"(1/3 * ln(x))$, e così via. (Il discorso è lo stesso del mio post precedente e non sto a rifarlo).
Dire che questo è un "limite" del software mi pare inesatto. Agli occhi del calcolatore, questa definizione di potenza è valida come un'altra, e in più ha il vantaggio di essere computabile. Se poi l'utente vuole lavorare solo con i numeri reali, è pregato di farlo presente (in Maple con il comando with(RealDomain);).
Ripeto: sono al 100% sicuro che la guida in linea di Derive ha delle informazioni sull'argomento; basta consultarla e il problema si risolve.
Le uniche difficoltà nel definire le potenze si incontrano quando si voglia definire la potenza ad esponente irrazionale: in tal caso, e solo in tal caso, si deve restringere "a priori" il dominio della funzione a $[0,+oo[$ o $]0,+oo[$ a seconda che l'esponente sia positivo o negativo.
Questo accade, secondo me, poichè non ha più senso parlare di comportamento pari/dispari di esponenti irrazionali, non appartenendo questi numeri a nessuna delle due categorie. Dico bene?
Mentre sappiamo che il dominio di $x^(1/2)$ è $[0,+oo[$ facciamo fatica a sistematizzare il comportamento di una cosa come $x^(e)$ non essendo $e$ nè pari nè dispari (come tutti i numeri nemici dei greci).
"Cod":
Ragazzi ma questo programma è infallibile o no?
Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...
il derive ha i suoi limiti... scrivi la funzione in questo modo $(x^2)^(1/3)$ e il problema non ti si pone.... perchè?....
basta leggere il post di Gugo82.....
Io, come Tipper, parlerei di semplicità... se non addirittura di grossolanità.
Insomma, secondo le dispense linkate, non avrebbe senso scrivere $(-1)^(1/3)$, il che equivale ad affermare che la potenza d'indice $3$ non è invertibile in $RR$... Francamente (e con tutto il rispetto per gli autori degli scritti) tutto ciò è deprimente.
In risposta a Sergio (ed ai proff. Pagani e Salsa): anche le a-d) permettono di definire la potenza per ogni esponente razionale, non c'è bisogno di semplificare ulteriormente la storia.
Ammetto che sorgano delle difficoltà quando gli esponenti non siano r.m.t. o quando si debbano applicare alcune proprietà delle potenze, ma chi dice che la Matematica deve essere semplice? E poi, come ho detto, basta usare il valore assoluto per ottenere relazioni d'uguaglianza valide.
Insomma, secondo le dispense linkate, non avrebbe senso scrivere $(-1)^(1/3)$, il che equivale ad affermare che la potenza d'indice $3$ non è invertibile in $RR$... Francamente (e con tutto il rispetto per gli autori degli scritti) tutto ciò è deprimente.
In risposta a Sergio (ed ai proff. Pagani e Salsa): anche le a-d) permettono di definire la potenza per ogni esponente razionale, non c'è bisogno di semplificare ulteriormente la storia.
Ammetto che sorgano delle difficoltà quando gli esponenti non siano r.m.t. o quando si debbano applicare alcune proprietà delle potenze, ma chi dice che la Matematica deve essere semplice? E poi, come ho detto, basta usare il valore assoluto per ottenere relazioni d'uguaglianza valide.
La calcolatrice di Ubuntu non dà errore.
La cosa più inquietante è che se si prova a fare con la calcolatrice ad esempio $-5^(3/2)$, mi da errore *-*
Questa volta però non è solo Wikipedia a sbagliare... Voglio dire, qui considerano solo basi > 0, quando l'esponente è razionale, qui c'è scritto che La teoria delle successioni nel campo reale consente di generalizzare, in modo naturale , l’operazione di potenza che, a partire dall’operazione prodotto e da quella di estrazione di radice (cfr. Capitolo 1), è definita nel caso di numeri reali positivi quando l’esponente è un numero razionale, qui, qui e qui considerano solo il caso con base maggiore di zero... Può darsi però che considerino solo questi casi per un fatto di semplicità...
Non sarebbe il primo errore di wikipedia in ambito matematico...
Ed in realtà la cosa è un po' più complicata, come ho cercato di far vedere nei miei post.
P.S.: Rileggi il post precedente che ho aggiunto qualcosa.
Ed in realtà la cosa è un po' più complicata, come ho cercato di far vedere nei miei post.
P.S.: Rileggi il post precedente che ho aggiunto qualcosa.
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