Definizioni
Scusate l'ignoranza ma non credo di aver capito un concetto di base:
si puo' dire che una definizione e' vera o falsa?
Quando si da una definizione bisogna dimostrarla come un teorema o considerarla vera come un assioma?
Qualcuno mi ha detto che una definizione non puo' essere vera o falsa ma conveniente o meno conveniente cosi' come:
si definisce che a^0=1 perche' grazie a questo si puo' dire che a^(m+n)=a^m*a^n e perche' tutta una serie di teoremi funzionera' con questa definizione.
A me sembra strano che un oggetto matematico tanto importate come la definizione sia cosi' arbitrario ed empirico come quanto mi hanno detto.
si puo' dire che una definizione e' vera o falsa?
Quando si da una definizione bisogna dimostrarla come un teorema o considerarla vera come un assioma?
Qualcuno mi ha detto che una definizione non puo' essere vera o falsa ma conveniente o meno conveniente cosi' come:
si definisce che a^0=1 perche' grazie a questo si puo' dire che a^(m+n)=a^m*a^n e perche' tutta una serie di teoremi funzionera' con questa definizione.
A me sembra strano che un oggetto matematico tanto importate come la definizione sia cosi' arbitrario ed empirico come quanto mi hanno detto.
Risposte
leggendo i post mi è venuto in mente il fatto che le definizioni nascano spesso come una scelta di convenienza. ad esempio eulero difinì e^(yi) assicurandosi che alcune proprietà nel campo reale continuassero a sussistere anche in quello complesso. Inoltre dimostrò che quella era l'unico tipo di definizione che fosse utile a tal fine. a volte però mi incuriosisce il fatto che alcune definizioni non vengano dimostrate. ad esempio si definisce lungnezza di una curva come integrale di etc etc.. ma questa corrisponde proprio alla lunghezza che misureremmo se posassimo un centimetro sulla curva. allora non c'era bisogno di dimostrarlo? bo..
ma, a me vien logico chiedere, esiste un sistema assiomatico "alternativo" ???
[img=http://img175.imageshack.us/img175/4200/riemannfw5.jpg]http://img175.imageshack.us/img175/4200/riemannfw5.jpg[/img]
giusto
quella non e' una dimostrazione per i motivi che hai detto tu, ma serve a mostrare che la definizione a^0=1 e' l'unica possibile se si vogliono mantenere le proprieta' delle potenze
spero di essere riuscito a spiegarmi
Ora sì. Ma bisogna dirlo chiaramente (come hai fatto ora), perché è importante, che $a^0=1$ non deriva dalle proprietà delle potenze, non è un teorema, ma una ragionevole scelta, una definizione, proprio al fine di mantenere le proprietà delle potenze. Non sempre questo è chiaro a tutti.
"pjcohen":
Ripeto che non è possibile dimostrare che $a^0=1$. L'errore nella tua dimostrazione, giusepperoma, è questo. Tu dai la definizione di $a^n$ per n maggiore o uguale a 1. Dunque dimostri giustamente che per n e k maggiori uguali a 1 $a^{n+k}=a^n*a^k$. Poi però affermi che $a^n*a^0 = a^(n+0)$: qui sta l'errore: infatti nel tuo caso $k=0$, dunque k non è maggiore o uguale a 1, come richiede la proprietà che hai dimostrato e che quindi non puoi invocare nella presunta dimostrazione.
vero!
evidentemente non sono stato chiaro... o mi sono espresso male!
quella non e' una dimostrazione per i motivi che hai detto tu, ma serve a mostrare che la definizione a^0=1 e' l'unica possibile se si vogliono mantenere le proprieta' delle potenze
spero di essere riuscito a spiegarmi
ciao
Ripeto che non è possibile dimostrare che $a^0=1$. L'errore nella tua dimostrazione, giusepperoma, è questo. Tu dai la definizione di $a^n$ per n maggiore o uguale a 1. Dunque dimostri giustamente che per n e k maggiori uguali a 1 $a^{n+k}=a^n*a^k$. Poi però affermi che $a^n*a^0 = a^(n+0)$: qui sta l'errore: infatti nel tuo caso $k=0$, dunque k non è maggiore o uguale a 1, come richiede la proprietà che hai dimostrato e che quindi non puoi invocare nella presunta dimostrazione.
a^n = a*...*a n volte per definizione
a^k = a*...*a k volte per definizione
a^n*a^k = a*...*a*a*.....*a per un totale di n+k volte.
Questo deriva immediatamente dalla definizione,
quindi per k=0
a^n*a^0 = a^(n+0) = a^n
risolvendo l'equazione
a^n*a^0=a^n
rispetto ad a^0
si ottiene
a^0 = a^n/a^n = 1
a^k = a*...*a k volte per definizione
a^n*a^k = a*...*a*a*.....*a per un totale di n+k volte.
Questo deriva immediatamente dalla definizione,
quindi per k=0
a^n*a^0 = a^(n+0) = a^n
risolvendo l'equazione
a^n*a^0=a^n
rispetto ad a^0
si ottiene
a^0 = a^n/a^n = 1
Un po' di chiarezza. Non si può dimostrare che $a^0=1$. Infatti avete data per scontata la proprietà $a^m/a^n=a^{m-n}$. Questa proprietà è vera per TUTTI i numeri naturali proprio perché si definisce $a^0=1$. Ad esempio, poiché si vuole che $a^m*a^n=a^{m+n}$ sia vero, siamo costretti a definire $a^0=1$; infatti $a^m=a^{m+0}=a^ma^0$, dunque per forza $a^0=1$. E' bene notare che la definizione viene data per mantenere le proprietà utili delle potenze, e SOLTANTO perché si vuole realizzare l'intento si è costretti a dare la definizione. La stessa regola del segno per gli interi: perché meno per più fa meno? Non c'è nessun tiranno che l'abbia imposto e non si può dimostrare che è vero. Il motivo del fatto che meno per più fa meno è che si sono volute mantenere le fondamentali proprietà dei numeri naturali fra le quali la distributività. Infatti si definisce in modo puramente arbitrario $a+(-b)=a-b$. Dunque, $0=1*0=1*(1-1)=1*(1+(-1))=1*1+1*(-1)$, e quindi siamo costretti a definire $1*(-1)= -1$.
In generale le definizioni matematiche sono totalmente arbitrarie, purché non si possano dedurre contraddizioni, altrimenti diventerebbero dei sistemi in cui tutto è dimostrabile. In ogni caso, anche se ognuno è libero di definire come vuole ciò che vuole, ad esempio meno per più fa più (e gli cade la distributività), alcune definizioni producono matematica sensata altre invece soltanto un gioco di assiomi e regole, come sono ad esempio gli scacchi.
In generale le definizioni matematiche sono totalmente arbitrarie, purché non si possano dedurre contraddizioni, altrimenti diventerebbero dei sistemi in cui tutto è dimostrabile. In ogni caso, anche se ognuno è libero di definire come vuole ciò che vuole, ad esempio meno per più fa più (e gli cade la distributività), alcune definizioni producono matematica sensata altre invece soltanto un gioco di assiomi e regole, come sono ad esempio gli scacchi.
Ops, noto adesso che giusepperoma aveva dato la stessa mia dimostrazione, solo scritta al contrario.
Scusa Giuseppe, non avevo letto tutti i post.
Scusa Giuseppe, non avevo letto tutti i post.
Che poi, una proprietà come quella appena descritta, non può essere una definizione, al limite potrebbe essere assunta per convenzione, quindi un assioma.
Torno a dire che comunque è una proprietà che si dimostra.
Torno a dire che comunque è una proprietà che si dimostra.
a^0=1 non è per definizione, ma si dimostra.
a^0=a^(n-n)=a^n/a^n=1
a^0=a^(n-n)=a^n/a^n=1
Forse a NK sarebbe bene chiarire che una dafinizione e' solo un nome per chiarire di cosa si sta parlando. Ad esempio i numeri primi hanno delle particolari proprieta' e quindi gli do un nome particolare; ci sono dei numeri che consentono di fattorizzare gli altri in maniera unica, e questi sono tutti quelli divisibili solo per se stessi e per uno tranne l'uno. Allora decido di chiamare questi primi. Potevo anche chiamare primi quelli in cui c'e' anche uno, e chesso', numeri fattori quelli che mi danno la fattorizzazione unica. Ma, come si stava dicendo prima, e' chiara che questa doppia distinzione e' inutile e sicuramente "meno conveniente". E poi l'uno e' gia' di per se un numero "speciale" essendo l'elemento initario dell'anello.
Platone
Platone
esatto! questo e' il motivo alla base della definizione.
si sarebbe potuto includere 1 fra i numeri primi, ma non sarebbe stato conveniente.
l'unicita' della fattorizzazione sarebbe stata unica "a meno di fattori del tipo 1^a".
una compilicazione inutile che ha indotto alla definizione in uso dei numeri primi
si sarebbe potuto includere 1 fra i numeri primi, ma non sarebbe stato conveniente.
l'unicita' della fattorizzazione sarebbe stata unica "a meno di fattori del tipo 1^a".
una compilicazione inutile che ha indotto alla definizione in uso dei numeri primi
"Giusepperoma":
1 non e' primo per definizione:
"un numero naturale p si dice primo se:
a) p>1
b) p non ha divisori eccetto che 1 e se stesso"
ora e' chiaro che e' la definizione stessa ad essere frutto di una convenzione: si sarebbe potuto definire un numero primo solo tramite la condizione b.
In questo caso no, se 1 fosse primo allora non ci sarebbe più unicità essenziale nella fattorizzazione dei numeri interi.
1 non e' primo per definizione:
"un numero naturale p si dice primo se:
a) p>1
b) p non ha divisori eccetto che 1 e se stesso"
ora e' chiaro che e' la definizione stessa ad essere frutto di una convenzione: si sarebbe potuto definire un numero primo solo tramite la condizione b.
per quanto riguarda "a^0=1", deriva dalla definizione di potenza e dalle sue proprieta'.
se n e k sono due naturali,
a^n/a^k = a^(n-k) [ conseguenza della definizione]
allora:
1 = a^n/a^n = a^(n-n) = a^0
da cui, per la proprieta' transitiva dell'uguaglianza, segue la tesi.
"un numero naturale p si dice primo se:
a) p>1
b) p non ha divisori eccetto che 1 e se stesso"
ora e' chiaro che e' la definizione stessa ad essere frutto di una convenzione: si sarebbe potuto definire un numero primo solo tramite la condizione b.
per quanto riguarda "a^0=1", deriva dalla definizione di potenza e dalle sue proprieta'.
se n e k sono due naturali,
a^n/a^k = a^(n-k) [ conseguenza della definizione]
allora:
1 = a^n/a^n = a^(n-n) = a^0
da cui, per la proprieta' transitiva dell'uguaglianza, segue la tesi.
Tutte questi miei dubbi sono nati quando ho appreso che moltissime persone erano convinte che uno fosse un numero primo e mi sono chiesto: ma in effetti xche' non lo e'?
Per la definizione di numero primo 1 dovrebbe esserlo xche' e' sia divisibile per 1 che per se stesso.
Pero' se considero 1 come primo ho tutta una serie di problemi con molti teoremi che usano i numeri primi a cominciare dalla fattorizzazione e quindi dovrei aggiungere ad ogni teorema "funziona con tutti i numeri primi TRANNE CHE CON 1".
Quindi x convenzione uno non e' primo.
Pero', come dire, mi lascia l'amaro in bocca questa cosa.
Non sono uno scherzo i numeri primi, mi sembra un problema grave questa cosa dell'uno...o sono io che non ho capito niente?
Per la definizione di numero primo 1 dovrebbe esserlo xche' e' sia divisibile per 1 che per se stesso.
Pero' se considero 1 come primo ho tutta una serie di problemi con molti teoremi che usano i numeri primi a cominciare dalla fattorizzazione e quindi dovrei aggiungere ad ogni teorema "funziona con tutti i numeri primi TRANNE CHE CON 1".
Quindi x convenzione uno non e' primo.
Pero', come dire, mi lascia l'amaro in bocca questa cosa.
Non sono uno scherzo i numeri primi, mi sembra un problema grave questa cosa dell'uno...o sono io che non ho capito niente?
Esatto Giusepperoma, era proprio quello che intendevo dire.
Per quanto riguarda la confusione fra "definizione" e "convenzione"
in effetti c' e':
secondo il tuo ragionamento dire che uno non e' primo e' una convenzione, e anche a^0=1?
Non capisco come dei teroemi possano basarsi su convenzioni.
Per quanto riguarda la confusione fra "definizione" e "convenzione"
in effetti c' e':
secondo il tuo ragionamento dire che uno non e' primo e' una convenzione, e anche a^0=1?
Non capisco come dei teroemi possano basarsi su convenzioni.
"Giusepperoma":
occhio eafkuor!
provare la non contraddittorieta' di un sistema assiomatico e' tutt'altro che banale....
hai ragione, lo avevo dato per scontato...
occhio eafkuor!
provare la non contraddittorieta' di un sistema assiomatico e' tutt'altro che banale....
potrebbe succedere che si prendano n assiomi arbitrari, a prima vista non contraddittori fra loro.
a partire da questi postulati si cominciano a dedurre teoremi.
potreebbe capitare di ottenere 2 teoremi in contrasto fra loro, il che significherebbe che, malgrado le apparenze, il sistema assiomatico di partenza era contraddittorio... credo che questo fosse quello che NK intendeva.
poi mi sembra che si stia facendo un po' di confusione fra "definizione" e convenzione".
0!=1 NON e' una definizione, ma una convenzione
n!=n(n-1)...3*2 E' una definizione
provare la non contraddittorieta' di un sistema assiomatico e' tutt'altro che banale....
potrebbe succedere che si prendano n assiomi arbitrari, a prima vista non contraddittori fra loro.
a partire da questi postulati si cominciano a dedurre teoremi.
potreebbe capitare di ottenere 2 teoremi in contrasto fra loro, il che significherebbe che, malgrado le apparenze, il sistema assiomatico di partenza era contraddittorio... credo che questo fosse quello che NK intendeva.
poi mi sembra che si stia facendo un po' di confusione fra "definizione" e convenzione".
0!=1 NON e' una definizione, ma una convenzione
n!=n(n-1)...3*2 E' una definizione
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