Definizioni
Scusate l'ignoranza ma non credo di aver capito un concetto di base:
si puo' dire che una definizione e' vera o falsa?
Quando si da una definizione bisogna dimostrarla come un teorema o considerarla vera come un assioma?
Qualcuno mi ha detto che una definizione non puo' essere vera o falsa ma conveniente o meno conveniente cosi' come:
si definisce che a^0=1 perche' grazie a questo si puo' dire che a^(m+n)=a^m*a^n e perche' tutta una serie di teoremi funzionera' con questa definizione.
A me sembra strano che un oggetto matematico tanto importate come la definizione sia cosi' arbitrario ed empirico come quanto mi hanno detto.
si puo' dire che una definizione e' vera o falsa?
Quando si da una definizione bisogna dimostrarla come un teorema o considerarla vera come un assioma?
Qualcuno mi ha detto che una definizione non puo' essere vera o falsa ma conveniente o meno conveniente cosi' come:
si definisce che a^0=1 perche' grazie a questo si puo' dire che a^(m+n)=a^m*a^n e perche' tutta una serie di teoremi funzionera' con questa definizione.
A me sembra strano che un oggetto matematico tanto importate come la definizione sia cosi' arbitrario ed empirico come quanto mi hanno detto.
Risposte
"ennekappa":
E se una delle due dopo n teoremi basati sul nostro oggetto diventasse assurda?
Questa frase non ha senso. Un teorema non è assurdo se lo dimostri sulla base di assiomi. Un assioma è corretto dentro l'edificio matematico da te creato scegliendo certi assiomi e definizioni, magari poi può risultare non vero sotto altri assiomi, ma non è mai "assurdo" in generale
Non esiste una matematica giusta o sbagliata di per sé, esiste una matematica più o meno utile.
E' raro che due definizioni siano equivalentemente preferibili a prima vista, infatti di solito si riesce ad individuare subito quella più logica o/e conveniente.
Comunque faremmo meglio ad aspettare qualcuno di più esperto
E' raro che due definizioni siano equivalentemente preferibili a prima vista, infatti di solito si riesce ad individuare subito quella più logica o/e conveniente.
Comunque faremmo meglio ad aspettare qualcuno di più esperto
ok.
Pero' immagina il caso in cui:
Ho un oggetto che posso definire in due modi (tipo vero o falso, 0 o 1) e ho 10 teormi che dipendono da esso, 5 dei quali sono dimostrati se il mio oggetto vale 1 e 5 assurdi, mentre se lo prendo 0 succede il viceversa.
Come si puo' decidere quale definizione e' quella da prendere?
Forse e' indifferente: sciegliendo una def. pittosto che l'altra si creano due matematiche diverse ma entrambe giuste?
E se una delle due dopo n teoremi basati sul nostro oggetto diventasse assurda?
Lo so che questo puo' sembrare un esempio fine a se stesso ma certe volte penso se gli egizi o i pitagorici avessero definito arbitrariamente alcuni oggetti 'ambigui' come quelli dell esempio sopra avremmo una matematica diversa ma funzionante o ne esiste una sola di giusta?
Pero' immagina il caso in cui:
Ho un oggetto che posso definire in due modi (tipo vero o falso, 0 o 1) e ho 10 teormi che dipendono da esso, 5 dei quali sono dimostrati se il mio oggetto vale 1 e 5 assurdi, mentre se lo prendo 0 succede il viceversa.
Come si puo' decidere quale definizione e' quella da prendere?
Forse e' indifferente: sciegliendo una def. pittosto che l'altra si creano due matematiche diverse ma entrambe giuste?
E se una delle due dopo n teoremi basati sul nostro oggetto diventasse assurda?
Lo so che questo puo' sembrare un esempio fine a se stesso ma certe volte penso se gli egizi o i pitagorici avessero definito arbitrariamente alcuni oggetti 'ambigui' come quelli dell esempio sopra avremmo una matematica diversa ma funzionante o ne esiste una sola di giusta?
Ha ragione il tuo amico che ti dice che una definizione può essere solo più o meno conveniente.
Tu dai per definizione che $((n),(0))=1$ e in base a questo puoi creare una teoria utile e vera sotto la condizione che $((n),(0))=1$.
Una teoria in cui $((n),(0))=0$ sarebbe assurda
Tu dai per definizione che $((n),(0))=1$ e in base a questo puoi creare una teoria utile e vera sotto la condizione che $((n),(0))=1$.
Una teoria in cui $((n),(0))=0$ sarebbe assurda
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