Circa l'elevamento a potenza...
cari amici
anche nelle regioni della matematica esplorate, si può dire, da millenni penso esistano ancora trappole e sabbie mobili...
A riprova di ciò proviamo ad indagare un poco su un concetto matematico che tutti [o quasi] ritengono armai definitivamente consolidato: l'elevamento a potenza.
Cominciamo da un quesito 'semplice': dati due interi a e b non negativi, quale è il procedimento per calcolare c = a ^ b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
anche nelle regioni della matematica esplorate, si può dire, da millenni penso esistano ancora trappole e sabbie mobili...
A riprova di ciò proviamo ad indagare un poco su un concetto matematico che tutti [o quasi] ritengono armai definitivamente consolidato: l'elevamento a potenza.
Cominciamo da un quesito 'semplice': dati due interi a e b non negativi, quale è il procedimento per calcolare c = a ^ b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Risposte
a tutti i cari amici, in particolare Marc, Angelo e Lorenzo, e per l'amministrazione di questo bel sito un caloroso Buon Natale!...
lupo grigio
P.S... e se per caso Gesù Bambino ci portasse in regalo una scrittura con caratteri più adatti a parlare di matematica?...
cari amici
probabilmente più di uno si chiederà il motivo per il quale ho voluto, diciamo così, ridiscutere la ‘definizione standard’ di elevamento a potenza. Una delle ragioni è spiegata nel 3d che ho intitolato circa le cosiddette ‘forme indeterminate’ è cioè la necessità di evitare ogni volta che è possibile [cioè sempre…] di pervenire ad ambiguità di risultati. In particolare sono profondamente convinto che il matematica sia le ‘funzioni indeterminate’ sia le ‘funzioni a più valori’ non esistano [o non debbano esistere…] e che tutte siano il realtà riconducibili ai soli operatori matematici definite in maniera ‘rigorosa’, e cioè le quattro operazioni elementari di somma, differenza, moltiplicazione e divisione [le uniche tra l’altro che abbiano senso per i computer]. La definizione ‘nuova’ che ho dato di elevamento a potenza va in questa direzione, dal momento che lo riconduce ad una serie di moltiplicazioni o divisioni a seconda che l’esponente sia non negativo oppure negativo. E’ il caso di rilevare che nell’ambito dell’aritmetica delle quattro operazioni ogni operazione da un solo ed unico risultato ad eccezione di un solo caso in cui siamo di fronte ad un operazione ‘non ammessa’: la divisione per 0. Sulla base di queste premesse vediamo ora di chiarire un concetto assai semplice ma importantissimo: una qualsiasi funzione f(x) calcolata nel punto x=a o è ad un sol valore [e in questo caso si dice analitica per x=a] o è necessariamente non definita in quanto nel calcolo di essa ci si imbatte nella divisione per 0 [en in questo caso si dice singolare per x=a].
Già in precedenza più volte si è fatto ricorso allo sviluppo di una funzione in serie di Taylor, sviluppo che è opportuno, definire ancora una volta.
Sia f(x) una funzione continua con tutte le sue derivate in un intorno di x=a. In tal caso si dice che la funzione è analitica per x=a e in un intorno di x=a essa è rappresentabile in serie di Taylor come:
f(x) = f(a) * (x-a)^0 + f(1)(a) * (x-a) + ½!*f(2) (a)* (x-a)^2+…+ 1/n!*f(n)(a)*(x-a)^n+…= Sum [n=0,+00] 1/n!*f(n)(a)*(x-a)^n [1]
Se per x=a la funzione f(x) non è analitica allora di dice che x=a è una singolaritàdella funzione f(x). Se una funzione f(x) presenta una singolarità per x=a ma è analitica in un intorno di a allora essa ammette uno sviluppo in serie diverso da quello descritto e che è noto come sviluppo in serie di Laurent, che qui di seguito definiamo.
Se una funzione f(x) ha una singolarità nel punto x=a ma è analitica in un intorno di tale punto allora in tale intorno essa è sviluppabile in serie di Laurent come:
f(x)= … a(-n) (x-a)^(-n)+a(-n+1)*(x-a)^(-n+1)+…+ a(-1)*a(-1)*(x-a)^(-1)+a(0)*(x-a)^0+a(1)*(x-a) +a(2)*(x-a)^2+…+ a(n)*(x-a)^n+… = Sum [n=-00,+00] a(n)*(x-a)^n [2]
La parte costituita dalle potenze non negative di (x-a) è chiamata parte analitica di f(x), mentre la parte costituita dalle potenze negative di (x-a) è chiamata parte principale. Se la parte principale ha un solo termine deverso da zero a(-n) allora x=a è un polo di ordine n. Se invece f(x) ha un numero infinito di termini a(n) non nulli per n negativo, allora x=a è detta singolarità essenziale di f(x).
Vediamo subito con un esempio pratico come questa impostazione contribuisca ad eliminare molti tipi di cosiddette ‘forme indeterminate’. Consideriamo la funzione ‘da emicrania’ f(x)=sin(1/x) per 0
sin(1/x) = x^(-1) – 1/3!* x^(-3) + 1/5!* x^(-5)-… = Sum [n=0, +00] (-1)^n*x^(-2*n+1)/(2*n-1)! [3]
Dallo sviluppo [3] è evidente che per la funzione f(x)=sin(1/x) il punto x=0 è una singolarità essenziale.
cordiali saluti [e soprattutto auguri!…] per tutti!…
lupo grigio
probabilmente più di uno si chiederà il motivo per il quale ho voluto, diciamo così, ridiscutere la ‘definizione standard’ di elevamento a potenza. Una delle ragioni è spiegata nel 3d che ho intitolato circa le cosiddette ‘forme indeterminate’ è cioè la necessità di evitare ogni volta che è possibile [cioè sempre…] di pervenire ad ambiguità di risultati. In particolare sono profondamente convinto che il matematica sia le ‘funzioni indeterminate’ sia le ‘funzioni a più valori’ non esistano [o non debbano esistere…] e che tutte siano il realtà riconducibili ai soli operatori matematici definite in maniera ‘rigorosa’, e cioè le quattro operazioni elementari di somma, differenza, moltiplicazione e divisione [le uniche tra l’altro che abbiano senso per i computer]. La definizione ‘nuova’ che ho dato di elevamento a potenza va in questa direzione, dal momento che lo riconduce ad una serie di moltiplicazioni o divisioni a seconda che l’esponente sia non negativo oppure negativo. E’ il caso di rilevare che nell’ambito dell’aritmetica delle quattro operazioni ogni operazione da un solo ed unico risultato ad eccezione di un solo caso in cui siamo di fronte ad un operazione ‘non ammessa’: la divisione per 0. Sulla base di queste premesse vediamo ora di chiarire un concetto assai semplice ma importantissimo: una qualsiasi funzione f(x) calcolata nel punto x=a o è ad un sol valore [e in questo caso si dice analitica per x=a] o è necessariamente non definita in quanto nel calcolo di essa ci si imbatte nella divisione per 0 [en in questo caso si dice singolare per x=a].
Già in precedenza più volte si è fatto ricorso allo sviluppo di una funzione in serie di Taylor, sviluppo che è opportuno, definire ancora una volta.
Sia f(x) una funzione continua con tutte le sue derivate in un intorno di x=a. In tal caso si dice che la funzione è analitica per x=a e in un intorno di x=a essa è rappresentabile in serie di Taylor come:
f(x) = f(a) * (x-a)^0 + f(1)(a) * (x-a) + ½!*f(2) (a)* (x-a)^2+…+ 1/n!*f(n)(a)*(x-a)^n+…= Sum [n=0,+00] 1/n!*f(n)(a)*(x-a)^n [1]
Se per x=a la funzione f(x) non è analitica allora di dice che x=a è una singolaritàdella funzione f(x). Se una funzione f(x) presenta una singolarità per x=a ma è analitica in un intorno di a allora essa ammette uno sviluppo in serie diverso da quello descritto e che è noto come sviluppo in serie di Laurent, che qui di seguito definiamo.
Se una funzione f(x) ha una singolarità nel punto x=a ma è analitica in un intorno di tale punto allora in tale intorno essa è sviluppabile in serie di Laurent come:
f(x)= … a(-n) (x-a)^(-n)+a(-n+1)*(x-a)^(-n+1)+…+ a(-1)*a(-1)*(x-a)^(-1)+a(0)*(x-a)^0+a(1)*(x-a) +a(2)*(x-a)^2+…+ a(n)*(x-a)^n+… = Sum [n=-00,+00] a(n)*(x-a)^n [2]
La parte costituita dalle potenze non negative di (x-a) è chiamata parte analitica di f(x), mentre la parte costituita dalle potenze negative di (x-a) è chiamata parte principale. Se la parte principale ha un solo termine deverso da zero a(-n) allora x=a è un polo di ordine n. Se invece f(x) ha un numero infinito di termini a(n) non nulli per n negativo, allora x=a è detta singolarità essenziale di f(x).
Vediamo subito con un esempio pratico come questa impostazione contribuisca ad eliminare molti tipi di cosiddette ‘forme indeterminate’. Consideriamo la funzione ‘da emicrania’ f(x)=sin(1/x) per 0
sin(1/x) = x^(-1) – 1/3!* x^(-3) + 1/5!* x^(-5)-… = Sum [n=0, +00] (-1)^n*x^(-2*n+1)/(2*n-1)! [3]
Dallo sviluppo [3] è evidente che per la funzione f(x)=sin(1/x) il punto x=0 è una singolarità essenziale.
cordiali saluti [e soprattutto auguri!…] per tutti!…
lupo grigio
cari amici
vorrei riprendere l’argomento di questo topic che [a torto] ho trascurato da un po’ di tempo cercando di rispondere ad un interrogativo da me evidenziato alcune settimane fa e che qui riporto:
…propongo di lasciare per il momento 'in sospeso' la questione riguardante c=0^0 e di provare ad estendere il concetto di elevamento a potenza rispondendo al seguente quesito: dato un numero intero a non negativo e un numero intero b arbitrario [quindi anche negativo], quale è il procedimento per determinare c=a^b?...
In coerenza con la definizione ‘nuova’ di elevamento a potenza che ho proposto all’inizio per determinare c=a^b quando b è non negativo e che qui riscrivo:
... dati a e b, con a qualsiasi e b intero non negativo, c=a^b si ottiene moltiplicando l'unità [ossia il numero 1] per a un numero b di volte...
… la definizione di potenza per b negativo potrebbe essere la seguente:
… dati a e b, con a qualsiasi purchè diverso da 0 e b intero negativo, c=a^b si ottiene dividendo l’unità [ossia il numero 1] per a un numero b di volte…
Ovviamente a differenza del caso di esponente b positivo [o nullo] è necessaria la condizione che a sia diversa da 0 per non incorrere nella divisione per 0 [operazione questa impossibile per cui la scrittura 0^(-n) è a tutti gli effetti senza significato].
E’ mia ferma convinzione che adottare le definizioni di cui sopra sarebbe di grande aiuto per evitare moltissime criticità legate alle cosiddette ‘forme indeterminate’, cosa che mostrerò in seguito con degli esempi che ritengo interessanti ed istruttivi.
Voi che ne dite?…
cordiali saluti a tutti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 16/12/2002 10:17:53
Modificato da - lupo grigio il 16/12/2002 10:19:14
vorrei riprendere l’argomento di questo topic che [a torto] ho trascurato da un po’ di tempo cercando di rispondere ad un interrogativo da me evidenziato alcune settimane fa e che qui riporto:
…propongo di lasciare per il momento 'in sospeso' la questione riguardante c=0^0 e di provare ad estendere il concetto di elevamento a potenza rispondendo al seguente quesito: dato un numero intero a non negativo e un numero intero b arbitrario [quindi anche negativo], quale è il procedimento per determinare c=a^b?...
In coerenza con la definizione ‘nuova’ di elevamento a potenza che ho proposto all’inizio per determinare c=a^b quando b è non negativo e che qui riscrivo:
... dati a e b, con a qualsiasi e b intero non negativo, c=a^b si ottiene moltiplicando l'unità [ossia il numero 1] per a un numero b di volte...
… la definizione di potenza per b negativo potrebbe essere la seguente:
… dati a e b, con a qualsiasi purchè diverso da 0 e b intero negativo, c=a^b si ottiene dividendo l’unità [ossia il numero 1] per a un numero b di volte…
Ovviamente a differenza del caso di esponente b positivo [o nullo] è necessaria la condizione che a sia diversa da 0 per non incorrere nella divisione per 0 [operazione questa impossibile per cui la scrittura 0^(-n) è a tutti gli effetti senza significato].
E’ mia ferma convinzione che adottare le definizioni di cui sopra sarebbe di grande aiuto per evitare moltissime criticità legate alle cosiddette ‘forme indeterminate’, cosa che mostrerò in seguito con degli esempi che ritengo interessanti ed istruttivi.
Voi che ne dite?…
cordiali saluti a tutti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 16/12/2002 10:17:53
Modificato da - lupo grigio il 16/12/2002 10:19:14
Confermo quanto detto prima. I passaggi corretti sono infatti,
i=+/-rad(-1)=+/-rad(1/(-1))=+/-rad(1)/rad(-1)=(+/-)1/i, da cui segue,
i^2=+/-1, ossia,
i=+/-1 "oppure" i=+/-i.
Ricordiamo che la proposizione logica composta, A "oppure" B, è vera se e solo se è vera almeno una delle due proposizioni logiche A e B.
La proposizione logica, i=+/-1 "oppure" i=+/-i, è quindi vera perchè è vera la seconda uguaglianza. La seconda uguaglianza a sua volta è vera perchè è equivalente a i=i "oppure" i=-i.
La regola formale, rad(a/b)=rad(a)/rad(b), sussiste per ogni b diverso da zero a prescindere dai segni di a e b. Occorre solo ricordare che rad è un'operazione algebrica che restituisce non uno ma due valori (opposti) e ogni contraddizione svanisce.
L'errore non sta nell'applicazione della regola formale, ma nel risultato dell'operazione rad che non è univoco.
Io credo che sia corretto dire che,
rad(-1) è l'insieme {-i,i}.
Se scrivessimo rad(-1)=i sarebbe un errore perchè anche -i elevato al quadrato dà come risultato -1.
L'origine della contraddizione è porre rad(-1)=i e non la regola formale rad(a/b)=rad(a)/rad(b).
Angelo
i=+/-rad(-1)=+/-rad(1/(-1))=+/-rad(1)/rad(-1)=(+/-)1/i, da cui segue,
i^2=+/-1, ossia,
i=+/-1 "oppure" i=+/-i.
Ricordiamo che la proposizione logica composta, A "oppure" B, è vera se e solo se è vera almeno una delle due proposizioni logiche A e B.
La proposizione logica, i=+/-1 "oppure" i=+/-i, è quindi vera perchè è vera la seconda uguaglianza. La seconda uguaglianza a sua volta è vera perchè è equivalente a i=i "oppure" i=-i.
La regola formale, rad(a/b)=rad(a)/rad(b), sussiste per ogni b diverso da zero a prescindere dai segni di a e b. Occorre solo ricordare che rad è un'operazione algebrica che restituisce non uno ma due valori (opposti) e ogni contraddizione svanisce.
L'errore non sta nell'applicazione della regola formale, ma nel risultato dell'operazione rad che non è univoco.
Io credo che sia corretto dire che,
rad(-1) è l'insieme {-i,i}.
Se scrivessimo rad(-1)=i sarebbe un errore perchè anche -i elevato al quadrato dà come risultato -1.
L'origine della contraddizione è porre rad(-1)=i e non la regola formale rad(a/b)=rad(a)/rad(b).
Angelo
Come non contiene contraddizioni!!
i=+-1 !!!!!
La regola non rispettata nella assurda dimostrazione proposta è
rad(a/b)=rad(a)/rad(b)
Questa cosa è vera e possibile solo ponendo molta attenzione ai segni di a e b!
Ciao, Marc.
i=+-1 !!!!!
La regola non rispettata nella assurda dimostrazione proposta è
rad(a/b)=rad(a)/rad(b)
Questa cosa è vera e possibile solo ponendo molta attenzione ai segni di a e b!
Ciao, Marc.
Scusate il ritardo, ultimamente non mi sono collegato in rete.
L'esempio di Marcellus,
i=rad(-1)=rad(1/(-1))=rad(1)/rad(-1)=1/i --> i^2=1 -->i=+-1,
non credo sia un'applicazione scorretta di una regola formale.
Infatti risulta rad(-1)=+/-i e ripetendo gli stessi passaggi precedenti si perviene alla conclusione,
+/- i^2 =1, da cui segue,
i=+/-1 oppure i=+/-i,
che non contiene alcuna contraddizione.
Mentre non è opportuno applicare la proprietà delle potenze inerenti la divisione nel caso di divisore nullo, perchè il risultato di una tale divisione è o indeterminato o inesistente.
Angelo
L'esempio di Marcellus,
i=rad(-1)=rad(1/(-1))=rad(1)/rad(-1)=1/i --> i^2=1 -->i=+-1,
non credo sia un'applicazione scorretta di una regola formale.
Infatti risulta rad(-1)=+/-i e ripetendo gli stessi passaggi precedenti si perviene alla conclusione,
+/- i^2 =1, da cui segue,
i=+/-1 oppure i=+/-i,
che non contiene alcuna contraddizione.
Mentre non è opportuno applicare la proprietà delle potenze inerenti la divisione nel caso di divisore nullo, perchè il risultato di una tale divisione è o indeterminato o inesistente.
Angelo
Caro Eugenio gegè, fissa la competenza linguistica attraverso il modulo: "conciossiaccosacchè", al fine di capire tutti (e non solo alcuni) l'azione di tutte le regole di un calcolo logico completo.
Ancora grazie.
Edgar.
Ancora grazie.
Edgar.
(a-b)^0=1
per a=b ==> 0^0=1
gegè
per a=b ==> 0^0=1
gegè
Considerando il prodotto dei polinomi perciò il termine costante come coefficiente di x^0, pattuiamo che x^o=1 per qualsiasi valore di x: anche quando x=0, 0^0=1.
Invio "file" a ciascuno, al fine di spiergarmi meglio (abstract).
Edgar.
Invio "file" a ciascuno, al fine di spiergarmi meglio (abstract).
Edgar.
Uella, la discussione sta assumendo un tono surreale, divertente e surreale.
Arriviamo a discutere anche di 0/0??? siamo dei pazzi.
Tuttavia queste discussioni elementari e di base permettono di chiarire i concetti matematici di base in modo favoloso, quindi, benvenga.
L'affermazione che mi pare più importante e condivisibile dell'ultimo post è, a mio avviso:
"Però dal fatto che 0/0 è indeterminato, non segue che è indeterminato anche 0^0: la proprietà delle potenze inerente la divisione non è infatti in questo caso applicabile."
Tutte le regole formali per trattare i simboli matematici andrebbero usate facendo sempre riferimento a specifiche ben precise. Proprio per questi "inghippi" affermo che assegnare valori ad hoc rischia di distrarci e di farci cadere in facili trappole. Nella casellina di memoria del mio cervellino, alla voce "0^0" preferisco che ci sia un bell' "ATTENZIONE!!TRAPPOLE" piuttosto che un "1". In questo modo ad ogni occorrenza di 0^0 devo ripensare molte cose, ma è meno facile cadere in errore.
Riporto un esempio paradossale,famoso e divertente di applicazione scorretta di una regola formale:
i=rad(-1)=rad(1/(-1))=rad(1)/rad(-1)=1/i --> i^2=1 -->i=+-1
Ciao, Marc.
Arriviamo a discutere anche di 0/0??? siamo dei pazzi.
Tuttavia queste discussioni elementari e di base permettono di chiarire i concetti matematici di base in modo favoloso, quindi, benvenga.
L'affermazione che mi pare più importante e condivisibile dell'ultimo post è, a mio avviso:
"Però dal fatto che 0/0 è indeterminato, non segue che è indeterminato anche 0^0: la proprietà delle potenze inerente la divisione non è infatti in questo caso applicabile."
Tutte le regole formali per trattare i simboli matematici andrebbero usate facendo sempre riferimento a specifiche ben precise. Proprio per questi "inghippi" affermo che assegnare valori ad hoc rischia di distrarci e di farci cadere in facili trappole. Nella casellina di memoria del mio cervellino, alla voce "0^0" preferisco che ci sia un bell' "ATTENZIONE!!TRAPPOLE" piuttosto che un "1". In questo modo ad ogni occorrenza di 0^0 devo ripensare molte cose, ma è meno facile cadere in errore.
Riporto un esempio paradossale,famoso e divertente di applicazione scorretta di una regola formale:
i=rad(-1)=rad(1/(-1))=rad(1)/rad(-1)=1/i --> i^2=1 -->i=+-1
Ciao, Marc.
Ciao lupo grigio, ho letto il tuo teorema e sono arrivato alla conclusione che è valido solo per A=B insiemi non vuoti, infatti per funzione di A in B s'intende una "legge" che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B, quindi se B è vuoto è impossibile definire una funzione per il semplice motivo che non si potrebbe in alcun modo attribuire un'immagine ad ogni elemento di A.
La funzione y=x non è affatto definibile per A=B=insieme vuoto.
E' quindi necessario assumere 0^0=0 per garantire la validità della formula N=n^m anche per n=m=0.
Se invece A è l'insieme vuoto e B non lo è, potremmo introdurre la cosiddetta "funzione vuota" così definita:
v(x)=b per ogni x appartenente ad A,
dove b è un prefissato elemento di B.
v ha diritto di essere chiamata funzione perchè ad ogni elemento di A (cioè a nessun elemento) associa uno ed un solo elemento di B (cioè b)
In altre parole nella definizione di funzione si pretende l'esistenza e l'unicità dell'immagine (uno ed un solo elemento di B), ma non si pretende che nell'insieme di partenza ci siano elementi, si richiede solo che ad ogni elemento di A si associ uno ed un solo elemento di B.
Io credo che Eugenio abbia ragione a dire che 0/0 è indeterminato, infatti ogni numero moltiplicato per zero dà zero e quindi 0/0 ha come soluzione un qualsiasi numero: in matematica quando un problema ammette infinite soluzioni si dice indeterminato.
Però dal fatto che 0/0 è indeterminato, non segue che è indeterminato anche 0^0: la proprietà delle potenze inerente la divisione non è infatti in questo caso applicabile.
Angelo
La funzione y=x non è affatto definibile per A=B=insieme vuoto.
E' quindi necessario assumere 0^0=0 per garantire la validità della formula N=n^m anche per n=m=0.
Se invece A è l'insieme vuoto e B non lo è, potremmo introdurre la cosiddetta "funzione vuota" così definita:
v(x)=b per ogni x appartenente ad A,
dove b è un prefissato elemento di B.
v ha diritto di essere chiamata funzione perchè ad ogni elemento di A (cioè a nessun elemento) associa uno ed un solo elemento di B (cioè b)
In altre parole nella definizione di funzione si pretende l'esistenza e l'unicità dell'immagine (uno ed un solo elemento di B), ma non si pretende che nell'insieme di partenza ci siano elementi, si richiede solo che ad ogni elemento di A si associ uno ed un solo elemento di B.
Io credo che Eugenio abbia ragione a dire che 0/0 è indeterminato, infatti ogni numero moltiplicato per zero dà zero e quindi 0/0 ha come soluzione un qualsiasi numero: in matematica quando un problema ammette infinite soluzioni si dice indeterminato.
Però dal fatto che 0/0 è indeterminato, non segue che è indeterminato anche 0^0: la proprietà delle potenze inerente la divisione non è infatti in questo caso applicabile.
Angelo
grazie lupo per il rimprovero
gegè
gegè
Eugenio scrive quanto segue:
... se consideriamo il rapporto 0/0 credo che nessuno possa negare che non ha senso ed è ideterminato... [pertanto] possiamo scrivere 0/0=0^1/0^1=0^(1-1)=0^0 ovvero [0^0 è]indeterminato...
Caro Eugenio
occorre fare chiarezza su certe questioni, diversamente si può costruire un raginamento che è tanto corretto in apparenza quanto errato nella sostanza.
L'espressione '0/0=...' non è 'indeterminata', bensì senza significato.
Infatti per assurdo se l'espressione '0/0=...' avesse significato, se ne dedurrebbe, per esempio che avrebbe significato la scrittura:
0/0=5 [1]
Che la [1] sia 'vera' si dimostrebbe moltiplincando ambo i membri per 0 e ottenendo 0=5*0 che è senz'altro vera.
Allo stesso modo però potrei dimostrare che è evidentemente vera anche la seguente ugualianza:
0/0=6 [2]
Pertanto si arriva all'assurdo che il valore della espressione '0/0' è uguale a due numeri diversi [5 e 6],il che dimostra chiramente che una espressione del tipo '0/0=...' è senza significato.
cordiali saluti!...
lupo grigio
... se consideriamo il rapporto 0/0 credo che nessuno possa negare che non ha senso ed è ideterminato... [pertanto] possiamo scrivere 0/0=0^1/0^1=0^(1-1)=0^0 ovvero [0^0 è]indeterminato...
Caro Eugenio
occorre fare chiarezza su certe questioni, diversamente si può costruire un raginamento che è tanto corretto in apparenza quanto errato nella sostanza.
L'espressione '0/0=...' non è 'indeterminata', bensì senza significato.
Infatti per assurdo se l'espressione '0/0=...' avesse significato, se ne dedurrebbe, per esempio che avrebbe significato la scrittura:
0/0=5 [1]
Che la [1] sia 'vera' si dimostrebbe moltiplincando ambo i membri per 0 e ottenendo 0=5*0 che è senz'altro vera.
Allo stesso modo però potrei dimostrare che è evidentemente vera anche la seguente ugualianza:
0/0=6 [2]
Pertanto si arriva all'assurdo che il valore della espressione '0/0' è uguale a due numeri diversi [5 e 6],il che dimostra chiramente che una espressione del tipo '0/0=...' è senza significato.
cordiali saluti!...
lupo grigio
caro Angelo
dopo le eccellenti spiegazioni tue e di Marc, spigazioni da me richieste allo scopo di evitare malintesi, credo di essere in grado di chiarire quello che ritengo essere il 'punto debole' dell'esempio da te proposto.
Definito con esattezza il concetto di funzione tra due insiemi qualsiasi A e B, ossia una relazione che associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento y di B[che possiamo in generale scrivere come y= F(x)], supponiamo sia A=B, ovvero che i due insiemi coincidano [questa ipotesi è evidentemente corente con l'esempio di cui si sta trattando]. Se n=m è il numero di elementi di A e B, il numero di 'funzioni possibili' y=F(x) sarà evidentemente N=n^m=n^n.
Dopo questa premessa dimostriamo da prima che vale il seguente teorema: se A e B sono due insiemi finiti di n elementi ed è A=B, allora è sempre possibile definire in essi la funzione y=x quale che sia n.
dimostrazione: dalla relazione A=B di deduce,in base alla definizione di ugualianza tra insiemi, che ogni elemento x di A è enche elemento di B e viceversa ogni elemento y di B è anche elemento di A. Dal che deriva l'assunto.
Il punto esenziale ai fini dell'esempio in questione è che il teorema enunciato vale anche nel casoA=B=0[con la notazione 0 ho indicato l'insieme vuoto], caso nel quale n=0. Dal momento che anche in questo caso la funzione y=x è definibile in A e B ed è anche l'unica, il numero di funzioni definbili in A e B quando A=B=0 è pari a N=n^n=0^0=1.
Esaminiamo ora, a titolo di esempio,il caso in cui A e B siano la classe degli interi modulo p. Ricordando la definizione di intero modulo p [k [mod p] è il resto della divisione dell'intero k per l'intero p]si deduce che l'isieme degli interi modulo p è A=B=(0,1,..., p-1)ed è di dimensione pari a p.
Esaminiamo da prima il caso p=3, A=B=(0,1,2)
In questo caso il neumro di funzioni distinte definibili in A e B è pari a N=3^3=27. Senza stare a scriverle tutte è evidente che y=x fa parte di esse.
Esaminiamo poi il caso p=2, A=B=(0,1)
In questo caso il nuemro di funzioni distinte definibili in A e B è pari a N=2^2=4 e le possiamo scrivere senza fatica eccessiva:
a) y=x b) y=1-x c) y=0 d) y=1
Esaminiamo ora il caso p=1,A=B=(0)
Il numero di funzioni distinte definibili in A e B vale in questo caso N=1^1=1 ed essa è pertanto y=x
Esaminiamo da ultimo il caso p=0,A=B=0
Anche in questo caso la sola funzione definibile in A e B è y=x e pertanto deve essere necessariamente N=0^0=1.
cordiali saluti!...
lupo grigio
dopo le eccellenti spiegazioni tue e di Marc, spigazioni da me richieste allo scopo di evitare malintesi, credo di essere in grado di chiarire quello che ritengo essere il 'punto debole' dell'esempio da te proposto.
Definito con esattezza il concetto di funzione tra due insiemi qualsiasi A e B, ossia una relazione che associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento y di B[che possiamo in generale scrivere come y= F(x)], supponiamo sia A=B, ovvero che i due insiemi coincidano [questa ipotesi è evidentemente corente con l'esempio di cui si sta trattando]. Se n=m è il numero di elementi di A e B, il numero di 'funzioni possibili' y=F(x) sarà evidentemente N=n^m=n^n.
Dopo questa premessa dimostriamo da prima che vale il seguente teorema: se A e B sono due insiemi finiti di n elementi ed è A=B, allora è sempre possibile definire in essi la funzione y=x quale che sia n.
dimostrazione: dalla relazione A=B di deduce,in base alla definizione di ugualianza tra insiemi, che ogni elemento x di A è enche elemento di B e viceversa ogni elemento y di B è anche elemento di A. Dal che deriva l'assunto.
Il punto esenziale ai fini dell'esempio in questione è che il teorema enunciato vale anche nel casoA=B=0[con la notazione 0 ho indicato l'insieme vuoto], caso nel quale n=0. Dal momento che anche in questo caso la funzione y=x è definibile in A e B ed è anche l'unica, il numero di funzioni definbili in A e B quando A=B=0 è pari a N=n^n=0^0=1.
Esaminiamo ora, a titolo di esempio,il caso in cui A e B siano la classe degli interi modulo p. Ricordando la definizione di intero modulo p [k [mod p] è il resto della divisione dell'intero k per l'intero p]si deduce che l'isieme degli interi modulo p è A=B=(0,1,..., p-1)ed è di dimensione pari a p.
Esaminiamo da prima il caso p=3, A=B=(0,1,2)
In questo caso il neumro di funzioni distinte definibili in A e B è pari a N=3^3=27. Senza stare a scriverle tutte è evidente che y=x fa parte di esse.
Esaminiamo poi il caso p=2, A=B=(0,1)
In questo caso il nuemro di funzioni distinte definibili in A e B è pari a N=2^2=4 e le possiamo scrivere senza fatica eccessiva:
a) y=x b) y=1-x c) y=0 d) y=1
Esaminiamo ora il caso p=1,A=B=(0)
Il numero di funzioni distinte definibili in A e B vale in questo caso N=1^1=1 ed essa è pertanto y=x
Esaminiamo da ultimo il caso p=0,A=B=0
Anche in questo caso la sola funzione definibile in A e B è y=x e pertanto deve essere necessariamente N=0^0=1.
cordiali saluti!...
lupo grigio
Ciao lupo grigio, se vuoi capacitarci che il numero di tutte le possibili funzioni definite in un insieme A e a valori in insieme B è N=n^m, dove m è il numero di elementi di A ed n quello di B, basta ricorrere a qualche esempio.
A={a,b}, B={1,2,3}
In questo caso il numero di tutte le funzioni da A in B è 3^2=9, inoltre esse sono le seguenti:
f1(a)=1 f1(b)=1
f2(a)=1 f2(b)=2
f3(a)=1 f3(b)=3
f4(a)=2 f4(b)=1
f5(a)=2 f5(b)=2
f6(a)=2 f6(b)=3
f7(a)=3 f7(b)=1
f8(a)=3 f8(b)=2
f9(a)=3 f9(b)=3
Io, a differenza di Eugenio, credo che ogni tentativo di attribuire un significato a 0^0 debba essere coerente non con una sola proprietà delle potenze, ma con tutte. Oltretutto penso che, proprio in questa questione, non sia lecito ricorrere alla proprietà della divisione visto che il divisore è nullo.
Gli unici valori che si possono attribuire a 0^0 in coerenza con tutte le proprietà delle potenze sono: 0,1 e in un mio messaggio precedente ho accennato al motivo di ciò.
Angelo
A={a,b}, B={1,2,3}
In questo caso il numero di tutte le funzioni da A in B è 3^2=9, inoltre esse sono le seguenti:
f1(a)=1 f1(b)=1
f2(a)=1 f2(b)=2
f3(a)=1 f3(b)=3
f4(a)=2 f4(b)=1
f5(a)=2 f5(b)=2
f6(a)=2 f6(b)=3
f7(a)=3 f7(b)=1
f8(a)=3 f8(b)=2
f9(a)=3 f9(b)=3
Io, a differenza di Eugenio, credo che ogni tentativo di attribuire un significato a 0^0 debba essere coerente non con una sola proprietà delle potenze, ma con tutte. Oltretutto penso che, proprio in questa questione, non sia lecito ricorrere alla proprietà della divisione visto che il divisore è nullo.
Gli unici valori che si possono attribuire a 0^0 in coerenza con tutte le proprietà delle potenze sono: 0,1 e in un mio messaggio precedente ho accennato al motivo di ciò.
Angelo
credo che la questione 0^0 sia ben definita e non misteriosa
infatti se consideriamo il rapporto 0/0 credo che nessuno possa negare che non ha senso ed e' ideterminato-
possiamo scrivere 0/0 = 0^1/0^1= 0^(1-1)=0^0 ovvero indeterminato
gegè
infatti se consideriamo il rapporto 0/0 credo che nessuno possa negare che non ha senso ed e' ideterminato-
possiamo scrivere 0/0 = 0^1/0^1= 0^(1-1)=0^0 ovvero indeterminato
gegè
Perchè? Vanno tutte combinate!!
abbiamo n valori possibili associati a a1, da combinare a n valori possibili da associare a a2...
n^m
Ciao, Marc.
abbiamo n valori possibili associati a a1, da combinare a n valori possibili da associare a a2...
n^m
Ciao, Marc.
caro Marc
temo ci sia da qualche parte un 'misunderstanding'...
Seguendo quanto tu affermi infatti e cioè...
...se A e B sono finiti [diciamo A ha m elementi e B n elementi] abbiamo che:
al primo elemento a1 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
al secondo elemento a2 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B...
... all'm-esimo elemento am di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B...
...allora il numero di 'funzioni possibili'[come tu le chiami] è chiramente N=n*m e non già N=n^m e neppure N=m^n...
cordiali saluti!...
lupo grigio
temo ci sia da qualche parte un 'misunderstanding'...
Seguendo quanto tu affermi infatti e cioè...
...se A e B sono finiti [diciamo A ha m elementi e B n elementi] abbiamo che:
al primo elemento a1 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
al secondo elemento a2 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B...
... all'm-esimo elemento am di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B...
...allora il numero di 'funzioni possibili'[come tu le chiami] è chiramente N=n*m e non già N=n^m e neppure N=m^n...
cordiali saluti!...
lupo grigio
una funzione tra A e B è associazione qualsiasi che ad ogni elemento di A associa un (uno solo) elemento di B
Se A e B finiti [Diciamo A ha m elementi e B n] abbiamo che:
al primo elemento a1 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
al secondo elemento a2 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
...
Quindi le funzioni possibili sono n*n*n...*n m volte, cioè n^m
Ciao, Marc.
Modificato da - marcellus zebra il 11/11/2002 18:22:07
Se A e B finiti [Diciamo A ha m elementi e B n] abbiamo che:
al primo elemento a1 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
al secondo elemento a2 di A è possibile assegnare uno qualsiasi degli n elementi di B
...
Quindi le funzioni possibili sono n*n*n...*n m volte, cioè n^m
Ciao, Marc.
Modificato da - marcellus zebra il 11/11/2002 18:22:07
caro Angelo
essendo io [relativamente]'anzianotto' non ho le conoscenze e la famigliarità della teoria degli insiemi che potete avere voi della generazione più giovane, e pertanto ti chiedo di essere un poco paziente.
L'esempio da te citato non è del tutto chiaro. Mi par di capire che in generale, dati un insieme A contenente m elementi e B contenente n elementi, il numero di 'funzioni possibili' R(a,b) è pari a N=m^n.
Vorresti per favore spiegare meglio che cosa si intende per 'funzioni possibili' e perchè il loro numero è pari a m^n?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
essendo io [relativamente]'anzianotto' non ho le conoscenze e la famigliarità della teoria degli insiemi che potete avere voi della generazione più giovane, e pertanto ti chiedo di essere un poco paziente.
L'esempio da te citato non è del tutto chiaro. Mi par di capire che in generale, dati un insieme A contenente m elementi e B contenente n elementi, il numero di 'funzioni possibili' R(a,b) è pari a N=m^n.
Vorresti per favore spiegare meglio che cosa si intende per 'funzioni possibili' e perchè il loro numero è pari a m^n?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
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