Circa l'elevamento a potenza...
cari amici
anche nelle regioni della matematica esplorate, si può dire, da millenni penso esistano ancora trappole e sabbie mobili...
A riprova di ciò proviamo ad indagare un poco su un concetto matematico che tutti [o quasi] ritengono armai definitivamente consolidato: l'elevamento a potenza.
Cominciamo da un quesito 'semplice': dati due interi a e b non negativi, quale è il procedimento per calcolare c = a ^ b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
anche nelle regioni della matematica esplorate, si può dire, da millenni penso esistano ancora trappole e sabbie mobili...
A riprova di ciò proviamo ad indagare un poco su un concetto matematico che tutti [o quasi] ritengono armai definitivamente consolidato: l'elevamento a potenza.
Cominciamo da un quesito 'semplice': dati due interi a e b non negativi, quale è il procedimento per calcolare c = a ^ b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Risposte
Hai ragione lupo grigio, anch'io dopo aver inserito il messaggio mi sono accorto che dalla formula P[n,k] si deduce sempre che 0^0=1, anche per n=k=0, p=1, quindi ho cercato un esempio valido in cui sia necessario assumere 0^0=0. L’esempio che ho trovato è il seguente.
Indicato con N il numero di tutte le possibili funzioni definite in un insieme A e a valori in insieme B, si dimostra che N=n^m, dove m è il numero di elementi di A ed n quello di B.
Nel caso in cui B è l’insieme vuoto, sappiamo che tra A e B non è possibile definire alcuna funzione, cioè N=0 e poiché N=0^m risulta 0^m=0.
Ma se anche A è l’insieme vuoto, sappiamo ancora che tra A e B non è possibile definire alcuna funzione, cioè si ha ancora N=0 e siccome N=0^0 segue che deve essere 0^0=0.
Ciò prova che in questo caso è necessario assumere 0^0=0 per garantire la validità della formula N=n^m anche per n=m=0, così come è necessario assumere 0^0=1 per garantire la validità della formula P[n,k] anche per k=p=0.
Voglio inoltre precisare che non ho mai posto come consuetudine sen(1/0)=1, ho solo riportato un esempio di funzione f(x) definita in un punto, ma non dotata di limite in quel punto.
Certamente esistono innumerevoli funzioni così fatte e ciò conferma che l'inesistenza del limite di x^y per (x,y) tendente a (0,0) non autorizza a dire che 0^0 è indeterminato, così come il fatto che la funzione f(x) assume valore 1 per x=0 non autorizza a dire che si debba porre per consuetudine sen(1/0)=1.
Sono d'accordo con Marcellus che quando si estende una definizione,essa deve essere coerente con tutte le proprietà.
Angelo
Indicato con N il numero di tutte le possibili funzioni definite in un insieme A e a valori in insieme B, si dimostra che N=n^m, dove m è il numero di elementi di A ed n quello di B.
Nel caso in cui B è l’insieme vuoto, sappiamo che tra A e B non è possibile definire alcuna funzione, cioè N=0 e poiché N=0^m risulta 0^m=0.
Ma se anche A è l’insieme vuoto, sappiamo ancora che tra A e B non è possibile definire alcuna funzione, cioè si ha ancora N=0 e siccome N=0^0 segue che deve essere 0^0=0.
Ciò prova che in questo caso è necessario assumere 0^0=0 per garantire la validità della formula N=n^m anche per n=m=0, così come è necessario assumere 0^0=1 per garantire la validità della formula P[n,k] anche per k=p=0.
Voglio inoltre precisare che non ho mai posto come consuetudine sen(1/0)=1, ho solo riportato un esempio di funzione f(x) definita in un punto, ma non dotata di limite in quel punto.
Certamente esistono innumerevoli funzioni così fatte e ciò conferma che l'inesistenza del limite di x^y per (x,y) tendente a (0,0) non autorizza a dire che 0^0 è indeterminato, così come il fatto che la funzione f(x) assume valore 1 per x=0 non autorizza a dire che si debba porre per consuetudine sen(1/0)=1.
Sono d'accordo con Marcellus che quando si estende una definizione,essa deve essere coerente con tutte le proprietà.
Angelo
vabbè,
tornando all'origine:
N1=(|b|+b)/2
N2=(|b|-b)/2
a^b=x*[1*a*a*...*a N1 volte]/[1*a*a*...*a N2 volte]
Dove x è un termine che rende il caso a=b=0 uguale al valore preferito da chi legge.
Ciao, Marc.
tornando all'origine:
N1=(|b|+b)/2
N2=(|b|-b)/2
a^b=x*[1*a*a*...*a N1 volte]/[1*a*a*...*a N2 volte]
Dove x è un termine che rende il caso a=b=0 uguale al valore preferito da chi legge.
Ciao, Marc.
Salve,
e' la prima volta che partecipo al forum, mi sono appena iscritto,
mi ha interessato la discussione relativa al valore 0^0 e mi sono
andato a studiare la funzione x^x che e' definata per (0,inf.] e
che ha un limite per x -> 0+ , che guarda caso e' proprio 1.
Mi ricordo che al liceo, quando mi sono imbattuto in questa funzione
per la prima volta non sono riuscito a derivarla.
Ciao a tutti, drake53
e' la prima volta che partecipo al forum, mi sono appena iscritto,
mi ha interessato la discussione relativa al valore 0^0 e mi sono
andato a studiare la funzione x^x che e' definata per (0,inf.] e
che ha un limite per x -> 0+ , che guarda caso e' proprio 1.
Mi ricordo che al liceo, quando mi sono imbattuto in questa funzione
per la prima volta non sono riuscito a derivarla.
Ciao a tutti, drake53
Caro Angelo
Sono assolutamente d'accordo con te, l'unica cosa che volevo dire è che i valori "ad hoc" sono significativi e utili quando si mantengono "coerenti con tutte le proprietà".
Il caso del limite voleva solo mostrare come una definizione "convenzionale" di 0^0 rischi di creare confusione.
Allo stesso modo porre in modo generale, come consuetudine
sen(1/x)=1 per x=0
rischierebbe di creare [sicuramente creerebbe] molta confusione.
Cioè non è astuto attribuire un valore convenzionale a sen(1/0), è bene che tale valore sia "indefinito" e venga trattato, a seconda dei casi in cui si presenta, nel modo adatto.
Al contrario, se dovessimo utilizzare di frequente la funzione sen(x^2/x) che pure è indefinita per x=0, potremmo stabilire di estendere "implicitamente" (nel senso "senza doverlo ripetere ogni volta") tale funzione a 0 nel punto x=0 senza rischiare di commettere errori stupidi dovuti a quell'uso convenzionale.
Insomma, ci sono delle scelte "ad hoc" ragionevoli (es: 0!=1, "1 non è primo", ecc..) altre che è bene evitare (es: 3^5=1 [???], 0^0=0, 1/0=5, ecc...]
Spero che ho stato chiaro. Ciao, Marc
Sono assolutamente d'accordo con te, l'unica cosa che volevo dire è che i valori "ad hoc" sono significativi e utili quando si mantengono "coerenti con tutte le proprietà".
Il caso del limite voleva solo mostrare come una definizione "convenzionale" di 0^0 rischi di creare confusione.
Allo stesso modo porre in modo generale, come consuetudine
sen(1/x)=1 per x=0
rischierebbe di creare [sicuramente creerebbe] molta confusione.
Cioè non è astuto attribuire un valore convenzionale a sen(1/0), è bene che tale valore sia "indefinito" e venga trattato, a seconda dei casi in cui si presenta, nel modo adatto.
Al contrario, se dovessimo utilizzare di frequente la funzione sen(x^2/x) che pure è indefinita per x=0, potremmo stabilire di estendere "implicitamente" (nel senso "senza doverlo ripetere ogni volta") tale funzione a 0 nel punto x=0 senza rischiare di commettere errori stupidi dovuti a quell'uso convenzionale.
Insomma, ci sono delle scelte "ad hoc" ragionevoli (es: 0!=1, "1 non è primo", ecc..) altre che è bene evitare (es: 3^5=1 [???], 0^0=0, 1/0=5, ecc...]
Spero che ho stato chiaro. Ciao, Marc
caro Angelo
eccellente l'esempio da te fornito nella prima parte del tuo messaggio. In effetti se c=0^0, per le proprietà base delle potenze deve necessariamante essere c*c=c e questo è verificato solamente se c=1 [che io ritengo essere il valore 'esatto' di 0^0...]o se c=0 [che io ritengo invece il valore 'sbagliato' di 0^0...].
Meno chiaro invece è quanto affermi nella seconda parte del tuo messaggio. Mi è sembrato di capire che tu ti riferisca alla formula che da la probabilità che un certo evento, avente di per sè probabilità p, si verifichi 'k volte in n prove', formula che qui per chiarezza riporto nuovamente:
P[n,k] = (n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) [1]
Da prima fai riferimento al caso, lo stesso da me trattato in un precedente messaggio, di un evento di per sè impossibile [p=0] che pertanto non si verificherà certamente mai [k=0] qualunque sia il numero di prove n. In tal caso quindi la [1] diviene:
P[n,o] = 0^0 = 1 [2]
Poi fai riferimento al caso di un evento di per sè certo [p=1] il quale però se il numero di prove è nullo [n=0] certamente non si verifica [k=0] qualunque sia la sua probabilità p. In tal caso la [1] diviene quindi:
P[0,0] = 0^0 = 1 [3]
il che ribadisce dunque ancora una volta l'asserto...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
eccellente l'esempio da te fornito nella prima parte del tuo messaggio. In effetti se c=0^0, per le proprietà base delle potenze deve necessariamante essere c*c=c e questo è verificato solamente se c=1 [che io ritengo essere il valore 'esatto' di 0^0...]o se c=0 [che io ritengo invece il valore 'sbagliato' di 0^0...].
Meno chiaro invece è quanto affermi nella seconda parte del tuo messaggio. Mi è sembrato di capire che tu ti riferisca alla formula che da la probabilità che un certo evento, avente di per sè probabilità p, si verifichi 'k volte in n prove', formula che qui per chiarezza riporto nuovamente:
P[n,k] = (n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) [1]
Da prima fai riferimento al caso, lo stesso da me trattato in un precedente messaggio, di un evento di per sè impossibile [p=0] che pertanto non si verificherà certamente mai [k=0] qualunque sia il numero di prove n. In tal caso quindi la [1] diviene:
P[n,o] = 0^0 = 1 [2]
Poi fai riferimento al caso di un evento di per sè certo [p=1] il quale però se il numero di prove è nullo [n=0] certamente non si verifica [k=0] qualunque sia la sua probabilità p. In tal caso la [1] diviene quindi:
P[0,0] = 0^0 = 1 [3]
il che ribadisce dunque ancora una volta l'asserto...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Ogni estensione del concetto di potenza viene ottenuto in modo che continuino a valere tutte le proprietà delle potenze.
Qualunque tentativo di definire 0^0 deve essere coerente con tutte le proprietà delle potenze e proprio da esse segue subito che,
0^0 * 0^0 = 0^0,
cioè 0^0 è un numero che coincide con il suo quadrato.
Ma gli unici numeri che godono di tale proprietà sono 0 e 1.
Pertanto il risultato da attribuire a 0^0 non è univoco, anzi in certi casi sarà opportuno porre 0^0=1 (vedi caso della formula P[k,n] per k=0, p=0), in altri casi sarà invece opportuno porre 0^0=0 (vedi caso P[k,n] per n=k=0, p=1).
Io credo che il problema delle forme indeterminate nel calcolo dei limiti non sia equivalente al problema di definire 0^0, nel senso che, se esistesse il limite di x^y per (x,y) tendente a (0,0), sarebbe ragionevole definire per continuità 0^0 come tale limite, ma proprio perchè il limite non esiste non si può dedurre che la funzione x^y è indeterminata in (0,0). Tant'è vero che quando si introduce il concetto di limite s'insiste molto sul fatto che esso non ha niente a che vedere in generale con il valore assunto dalla funzione, al punto che vengono considerate privilegiate le funzioni continue per le quali sussiste un profondo legame tra limite e valore assunto.
Per esempio la funzione
f(x)= sen (1/x) per x diverso da 0
f(x)= 1 per x=0
non è dotata di limite per x tendente a 0 eppure per x=0 assume il valore 1.
Angelo
Qualunque tentativo di definire 0^0 deve essere coerente con tutte le proprietà delle potenze e proprio da esse segue subito che,
0^0 * 0^0 = 0^0,
cioè 0^0 è un numero che coincide con il suo quadrato.
Ma gli unici numeri che godono di tale proprietà sono 0 e 1.
Pertanto il risultato da attribuire a 0^0 non è univoco, anzi in certi casi sarà opportuno porre 0^0=1 (vedi caso della formula P[k,n] per k=0, p=0), in altri casi sarà invece opportuno porre 0^0=0 (vedi caso P[k,n] per n=k=0, p=1).
Io credo che il problema delle forme indeterminate nel calcolo dei limiti non sia equivalente al problema di definire 0^0, nel senso che, se esistesse il limite di x^y per (x,y) tendente a (0,0), sarebbe ragionevole definire per continuità 0^0 come tale limite, ma proprio perchè il limite non esiste non si può dedurre che la funzione x^y è indeterminata in (0,0). Tant'è vero che quando si introduce il concetto di limite s'insiste molto sul fatto che esso non ha niente a che vedere in generale con il valore assunto dalla funzione, al punto che vengono considerate privilegiate le funzioni continue per le quali sussiste un profondo legame tra limite e valore assunto.
Per esempio la funzione
f(x)= sen (1/x) per x diverso da 0
f(x)= 1 per x=0
non è dotata di limite per x tendente a 0 eppure per x=0 assume il valore 1.
Angelo
cari amici
come ho affermato nel messaggio introduttivo a questo topic, il mio scopo non era quello di stabilire, in una campo della matematica che universalmente è considerato ormai 'stagionato', tanto delle 'verità', quanto dei 'dubbi'. A questo punto ripriloghiamo le le posizioni assai diverse [per non dire antitetiche] che Marc, Edgar e il sottoscritto abbiamo circa l'interpretazione da dare alla 'semplice' espressione 'c=0^0':
a) per Marc c=0^0 è indeterminata
b) per Edgar c=0^0 è senza significato
c) per lupo c=0^0 è perfettamente definita e vale 1
Dovrete a questo punto pur ammettere che il mio intento iniziale, ossia quello di svelare alcune delle insidie e trappole nascoste dietro il 'banale' concetto di elevamento a potenza, per ora è riuscito in pieno!...
Dal momento che tuuto ciò è assai interessante e persino divertente, propongo di lasciare per il momento 'in sospeso' la questione riguardante c=0^0 e di provare ad estendere il concetto di elevamento a potenza rispondendo al seguente quesito: dato un numero intero a non negativo e un numero intero b arbitrario [quindi anche negativo], quale è il procedimento per determinare c=a^b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
come ho affermato nel messaggio introduttivo a questo topic, il mio scopo non era quello di stabilire, in una campo della matematica che universalmente è considerato ormai 'stagionato', tanto delle 'verità', quanto dei 'dubbi'. A questo punto ripriloghiamo le le posizioni assai diverse [per non dire antitetiche] che Marc, Edgar e il sottoscritto abbiamo circa l'interpretazione da dare alla 'semplice' espressione 'c=0^0':
a) per Marc c=0^0 è indeterminata
b) per Edgar c=0^0 è senza significato
c) per lupo c=0^0 è perfettamente definita e vale 1
Dovrete a questo punto pur ammettere che il mio intento iniziale, ossia quello di svelare alcune delle insidie e trappole nascoste dietro il 'banale' concetto di elevamento a potenza, per ora è riuscito in pieno!...
Dal momento che tuuto ciò è assai interessante e persino divertente, propongo di lasciare per il momento 'in sospeso' la questione riguardante c=0^0 e di provare ad estendere il concetto di elevamento a potenza rispondendo al seguente quesito: dato un numero intero a non negativo e un numero intero b arbitrario [quindi anche negativo], quale è il procedimento per determinare c=a^b?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Caro Lupo grigio "tempus regit actum" e, con quest'ultimo passaggio chiarirò il senso del mio intervento precedente.
Dunque:
Qualsiasi potenza di base 1 è uguale a 1: 1^1=1; 1^2=1; 1^3=1; 1^4=1...
Qualsiasi potenza di base 0 è uguale a 0: 0^1= 0; 0^2= 0; 0^3= 0; 0^4 =0...[ 0^0 = ? (non ha alcun significato)]
Qualsiasi numero elevato alla zero fa sempre 1: 3^0 = 1; 127^0 = 1; 1807^0 = 1; 1099674632579^0 = 1.
La divisione tra potenze di ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti: 7^5/ 7^2 = 7^3;
La divisione tra potenze di ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente tra le basi e per esponente lo stesso esponente: 8^5/2^5= 4^5;
La divisione tra due potenze di ugual base ed ugual esponente vale sempre 1: 7^6/7^6 = 1.
Consegue che applicando la terza e la quarta regola comprende (e si capisce) il perché!.
Non vi è nulla da dimostrare.
Distinti saluti.
Edgar.
Dunque:
Qualsiasi potenza di base 1 è uguale a 1: 1^1=1; 1^2=1; 1^3=1; 1^4=1...
Qualsiasi potenza di base 0 è uguale a 0: 0^1= 0; 0^2= 0; 0^3= 0; 0^4 =0...[ 0^0 = ? (non ha alcun significato)]
Qualsiasi numero elevato alla zero fa sempre 1: 3^0 = 1; 127^0 = 1; 1807^0 = 1; 1099674632579^0 = 1.
La divisione tra potenze di ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti: 7^5/ 7^2 = 7^3;
La divisione tra potenze di ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente tra le basi e per esponente lo stesso esponente: 8^5/2^5= 4^5;
La divisione tra due potenze di ugual base ed ugual esponente vale sempre 1: 7^6/7^6 = 1.
Consegue che applicando la terza e la quarta regola comprende (e si capisce) il perché!.
Non vi è nulla da dimostrare.
Distinti saluti.
Edgar.
Caro Lupo Grigio,
Io non ritengo affatto che 0^0 debba essere necessariamente indefinito, ma solo che ciò evita confusione
es. lim (0.5^n)^(1/n) [Tende a 0^0 allora =1. NO!]
E' buona norma utilizzare una convenzione solo se torna utile e evita pasticci ma, per quanto mi riguarda, possimo anche fare che 0^0=173.
Ciao, Marc
Io non ritengo affatto che 0^0 debba essere necessariamente indefinito, ma solo che ciò evita confusione
es. lim (0.5^n)^(1/n) [Tende a 0^0 allora =1. NO!]
E' buona norma utilizzare una convenzione solo se torna utile e evita pasticci ma, per quanto mi riguarda, possimo anche fare che 0^0=173.
Ciao, Marc
Dopo aver letto le risposte degli amici Marc e Edgar riguardo al significato e al valore numerico dell'espressione 'c=0^0'il mio iniziale imbarazzo non può che trasformarsi in seria perplessità...
Non starò ora a cercare di confutare le 'ragioni' di Marc, il quale afferma che c=0^0 deve essere necessariamante indeterminata in quanto la funzione F(x,y)= x^y non è continua nell'intorno del punto [0,0] [questo però non significa che tale funzione non sia univocamante definita il quel punto], oppure le 'ragioni' di Edgar, il quale afferma che l'espressione c=0^0 deve essere necessariamente nulla poichè la base vale 0 [e dove sta la dimostrazione di ciò?...]. Quello che farò è proporre un esempio [fra i tanti possibili] che dimostri al di là di ogni ragionevole dubbio che l'espressione c=0^0 deve necessariamante valere 1.
Supponiamo che il sottoscritto voglia giocare al lotto e scommetta sulla ruota di Napoli il numero 91. E' ovvio che l'uscita di detto numero sulla ruota di Napoli in qualunque estrazione [non truccata...] rappresenta un evento impossibile e pertanto la probabilità che esso si verifichi è p=0 [non vi sono dubbi su ciò, vero?...].
Supponiamo ora che il sottoscritto giochi il numero 91, sempre sulla ruota di Napoli, per esempio 10 volte... quale sarà la probabilità che esso esca 10 volte, 9 volte, ..., una volta,oppure neanche una volta?... E' ovvio che l'eventualità che non esca neppure una volta rappresenta l'evento certo, e quindi con probabilità p=1, mentre tuuti le altre eventualità, ossia che esca una o più volte, rappresentano eventi impossibili, e quindi con probabilità p=0 [non vi sono dubbi neppure su ciò vero?...].
Esaminiamo questo dal punto di vista del calcolo delle probabilità... è noto che la probabilità che un evento di probabilità p si verifichi k volte in n prove è data da:
P[k,n]= [n!/k!*(n-k)!] * p^k *(1-p)^(n-k) [1]
Il primo termine dell'espressione [1], ossia (n,k)= n!/k!*(n-k)!, rappresenta il numero di combinazioni di k oggetti su n ed è noto anche come coefficiente binomiale.
Esaminiamo ora il caso nostro, ovvero che cosa diviene l'epressione [1] ponendo p=0 [ossia considerando l'evento '91 sulla ruota di Napoli' come evento impossibile...].
In tal caso sarà evidentemente:
P[k,n]= (n,k) * 0^k * 1^(n-k) [2]
Per k>0 è evidente che tale espressione, in quanto contiene il termine '0^k', si annulla e questo sappiamo è il risultato che ci aspettiamo.
Per k=0 possiamo subito dire che:
a) (n,0)= n!/0!*n! = 1
b) 1^n = 1
... e pertanto l'espressione [2] si riduce a:
P[0,n]= 0^0 [3]
Dal momento che sappiamo per certo che P[0,n]=1, non resta che concludere che deve essere necessariamente 0^0=1.
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Non starò ora a cercare di confutare le 'ragioni' di Marc, il quale afferma che c=0^0 deve essere necessariamante indeterminata in quanto la funzione F(x,y)= x^y non è continua nell'intorno del punto [0,0] [questo però non significa che tale funzione non sia univocamante definita il quel punto], oppure le 'ragioni' di Edgar, il quale afferma che l'espressione c=0^0 deve essere necessariamente nulla poichè la base vale 0 [e dove sta la dimostrazione di ciò?...]. Quello che farò è proporre un esempio [fra i tanti possibili] che dimostri al di là di ogni ragionevole dubbio che l'espressione c=0^0 deve necessariamante valere 1.
Supponiamo che il sottoscritto voglia giocare al lotto e scommetta sulla ruota di Napoli il numero 91. E' ovvio che l'uscita di detto numero sulla ruota di Napoli in qualunque estrazione [non truccata...] rappresenta un evento impossibile e pertanto la probabilità che esso si verifichi è p=0 [non vi sono dubbi su ciò, vero?...].
Supponiamo ora che il sottoscritto giochi il numero 91, sempre sulla ruota di Napoli, per esempio 10 volte... quale sarà la probabilità che esso esca 10 volte, 9 volte, ..., una volta,oppure neanche una volta?... E' ovvio che l'eventualità che non esca neppure una volta rappresenta l'evento certo, e quindi con probabilità p=1, mentre tuuti le altre eventualità, ossia che esca una o più volte, rappresentano eventi impossibili, e quindi con probabilità p=0 [non vi sono dubbi neppure su ciò vero?...].
Esaminiamo questo dal punto di vista del calcolo delle probabilità... è noto che la probabilità che un evento di probabilità p si verifichi k volte in n prove è data da:
P[k,n]= [n!/k!*(n-k)!] * p^k *(1-p)^(n-k) [1]
Il primo termine dell'espressione [1], ossia (n,k)= n!/k!*(n-k)!, rappresenta il numero di combinazioni di k oggetti su n ed è noto anche come coefficiente binomiale.
Esaminiamo ora il caso nostro, ovvero che cosa diviene l'epressione [1] ponendo p=0 [ossia considerando l'evento '91 sulla ruota di Napoli' come evento impossibile...].
In tal caso sarà evidentemente:
P[k,n]= (n,k) * 0^k * 1^(n-k) [2]
Per k>0 è evidente che tale espressione, in quanto contiene il termine '0^k', si annulla e questo sappiamo è il risultato che ci aspettiamo.
Per k=0 possiamo subito dire che:
a) (n,0)= n!/0!*n! = 1
b) 1^n = 1
... e pertanto l'espressione [2] si riduce a:
P[0,n]= 0^0 [3]
Dal momento che sappiamo per certo che P[0,n]=1, non resta che concludere che deve essere necessariamente 0^0=1.
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Mi piace.
Possiamo verificare alcune proprietà che riguardano le potenze con esponente uno o zero. Innanzitutto consideriamo due potenze di uguale base ed uguale esponente, ad esempio: 2^3/2^3=...., poiché le due potenze sono uguali il quoto è 1. D'altra parte se applichiamo la regola precedente abbiamo 2^3/2^3=2^3-3=2^0 e noi abbiamo osservato che l'esponente di una potenza dev'essere un numero intero minore di due. Dovremmo allora dire che la regola precedente non è applicabile a questo caso, perché conduce ad un simbolo, 2^0, che è privo di significato. Riesce però più conveniente ammettere che il simbolo2^0, pur non rappresentando un prodotto di fattori uguali, rappresenta egualmente una potenza, ed ha il valore 1. Naturalmente lo stesso si verifica qualunque sia la base della potenza, purché diversa da zero. Dunque: una potenza con esponente zero è uguale a 1, qualunque sia la base, purché questa non sia zero anch'essa. Questa limitazione è necessaria perché abbiamo già osservato che una potenza di base zero è uguale a zero qualunque sia l'esponente. Pertanto la potenza di base zero ed esponente zero non ha significato.
Un altro caso particolare si ha quando gli esponenti del dividendo e del divisore differiscono di uno. Ad esempio: 3^3/3^2, anche in questo caso applicando la regola si ha un simbolo che non rappresenta il prodotto di fattori uguali, infatti si ha: 3^3/3^2=3^3-2=3^1 ma, se eseguiamo il calcolo in altro modo, abbiamo 3^3/3^2=27/9=3, possiamo allora, come nel caso precedente, attribuire significato di potenza anche al simbolo3^1, potenza con esponete uno, e porre: 3^1=3. Se provate a rifare il calcolo con altri numeri troverete che il risultato è sempre uguale alla base della potenza che avete considerato; possiamo quindi dire che: una potenza con esponente uno è uguale alla base.
Riguardi.
Edgar.
Possiamo verificare alcune proprietà che riguardano le potenze con esponente uno o zero. Innanzitutto consideriamo due potenze di uguale base ed uguale esponente, ad esempio: 2^3/2^3=...., poiché le due potenze sono uguali il quoto è 1. D'altra parte se applichiamo la regola precedente abbiamo 2^3/2^3=2^3-3=2^0 e noi abbiamo osservato che l'esponente di una potenza dev'essere un numero intero minore di due. Dovremmo allora dire che la regola precedente non è applicabile a questo caso, perché conduce ad un simbolo, 2^0, che è privo di significato. Riesce però più conveniente ammettere che il simbolo2^0, pur non rappresentando un prodotto di fattori uguali, rappresenta egualmente una potenza, ed ha il valore 1. Naturalmente lo stesso si verifica qualunque sia la base della potenza, purché diversa da zero. Dunque: una potenza con esponente zero è uguale a 1, qualunque sia la base, purché questa non sia zero anch'essa. Questa limitazione è necessaria perché abbiamo già osservato che una potenza di base zero è uguale a zero qualunque sia l'esponente. Pertanto la potenza di base zero ed esponente zero non ha significato.
Un altro caso particolare si ha quando gli esponenti del dividendo e del divisore differiscono di uno. Ad esempio: 3^3/3^2, anche in questo caso applicando la regola si ha un simbolo che non rappresenta il prodotto di fattori uguali, infatti si ha: 3^3/3^2=3^3-2=3^1 ma, se eseguiamo il calcolo in altro modo, abbiamo 3^3/3^2=27/9=3, possiamo allora, come nel caso precedente, attribuire significato di potenza anche al simbolo3^1, potenza con esponete uno, e porre: 3^1=3. Se provate a rifare il calcolo con altri numeri troverete che il risultato è sempre uguale alla base della potenza che avete considerato; possiamo quindi dire che: una potenza con esponente uno è uguale alla base.
Riguardi.
Edgar.
Queste successioni qui di solo sono definite "per convenzione" sfruttando la continuità di funzioni ad esse molto legate.
Così dire che 0!=1 è molto lecito nel senso che l'unica funzione analitica [su R] che passa per i valori 1,2!,3!... passa pure per 1 in 0.
Allo stesso modo dire che n^0=1 (n>0) è molto lecito nel senso che la funzione su R n^x [definita per esempio con una serie di potenze] tente a 1 per x che va a 0.
Per dare un senso a 0^0 che non generi confusione bisogna guardare la funzione F(x,y)=x^y su R^2 che purtroppo non ha limite in (0,0) sicchè, invece di introdurre una convenzione che rischia di fare più danni che altro si è soliti considerare 0^0 come indefinito.
Praticamente si tratta delle stesse ragioni per cui non si assegna a 1/0 alcun valore ad hoc.
Per queste ragioni penso che windows [ancora una volta] sbaglia.
Ciao, Marc.
Così dire che 0!=1 è molto lecito nel senso che l'unica funzione analitica [su R] che passa per i valori 1,2!,3!... passa pure per 1 in 0.
Allo stesso modo dire che n^0=1 (n>0) è molto lecito nel senso che la funzione su R n^x [definita per esempio con una serie di potenze] tente a 1 per x che va a 0.
Per dare un senso a 0^0 che non generi confusione bisogna guardare la funzione F(x,y)=x^y su R^2 che purtroppo non ha limite in (0,0) sicchè, invece di introdurre una convenzione che rischia di fare più danni che altro si è soliti considerare 0^0 come indefinito.
Praticamente si tratta delle stesse ragioni per cui non si assegna a 1/0 alcun valore ad hoc.
Per queste ragioni penso che windows [ancora una volta] sbaglia.
Ciao, Marc.
caro Marc
quanto mi dici mi mette un poco in imbarazzo e ti spiego subito il perchè...
Vi prego di seguirmi attentamente,tu e gli altri,passo-passo...
a) 'cliccate' sul logo 'Start' posto in basso a sinistra...
b) scegliete l'opzione 'programmi'...
c) scegliete la funzione 'accesori' e poi 'calcolatrice'...
d) sulla calcolatrice 'cliccare' in sequenza '0', 'x^y', '0','='...
e) osservare che al termine di detta operazione sul display compare il numero 1...
Ciò significa che, secondo la calcolatrice di cui dispone il mio [e vostro suppongo]Pc, 0^0=1...
A chi devo credere caro Marc?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
quanto mi dici mi mette un poco in imbarazzo e ti spiego subito il perchè...
Vi prego di seguirmi attentamente,tu e gli altri,passo-passo...
a) 'cliccate' sul logo 'Start' posto in basso a sinistra...
b) scegliete l'opzione 'programmi'...
c) scegliete la funzione 'accesori' e poi 'calcolatrice'...
d) sulla calcolatrice 'cliccare' in sequenza '0', 'x^y', '0','='...
e) osservare che al termine di detta operazione sul display compare il numero 1...
Ciò significa che, secondo la calcolatrice di cui dispone il mio [e vostro suppongo]Pc, 0^0=1...
A chi devo credere caro Marc?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Molto carino, però...
Dalla tua definizione si ottine 0^0=1. Falso!!!
Quindi non è proprio completamente esente da precisazioni.
Propongo un [(a+b)/(a+b)]*(a*a*a*a...b volte)
Che è indefinito per il caso a=b=0
Ciao, Marc
Dalla tua definizione si ottine 0^0=1. Falso!!!
Quindi non è proprio completamente esente da precisazioni.
Propongo un [(a+b)/(a+b)]*(a*a*a*a...b volte)
Che è indefinito per il caso a=b=0
Ciao, Marc
Per quanto riguarda il caso di due interi a e b entrambi non negativi una definizione generale potrebbe essere la seguente:
... dati due interi a e b non negativi,l'intero c=a^b si ottiene moltiplicando l'unità [il numero 1 per intenderci] per a un numero b di volte...
E' facile verificare, tra l'altro, che in base alla definizione ora data:
c=a^b=1 se b=0 qualunque sia a
c=a^b=a se b=1 qualunque sia a
c=a^b=1 se a=1 qualunque sia b
Ora però facciamo un passettino avanti e supponiamo che a sia ancora un intero non negativo, mentre b sia un intero qualunque, e quindi anche negativo.
... come si può estendere la definizione per coprire anche questi casi?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 05/11/2002 17:14:17
... dati due interi a e b non negativi,l'intero c=a^b si ottiene moltiplicando l'unità [il numero 1 per intenderci] per a un numero b di volte...
E' facile verificare, tra l'altro, che in base alla definizione ora data:
c=a^b=1 se b=0 qualunque sia a
c=a^b=a se b=1 qualunque sia a
c=a^b=1 se a=1 qualunque sia b
Ora però facciamo un passettino avanti e supponiamo che a sia ancora un intero non negativo, mentre b sia un intero qualunque, e quindi anche negativo.
... come si può estendere la definizione per coprire anche questi casi?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 05/11/2002 17:14:17
Per prudenza avevo escluso 0^0 perché forma indeterminata.
La tua risposta mi fa pensare che tu hai già in mente una definizione che possa racchiudere tutti i casi. E' vero?
Antonio Bernardo
La tua risposta mi fa pensare che tu hai già in mente una definizione che possa racchiudere tutti i casi. E' vero?
Antonio Bernardo
caro Antonio
una prima 'trappola'l'hai svelata tu stesso, dal momento che la definizione che dai non è univoca, ma comprende i tre casi che qui riporto [se ho bene inteso]:
a^b= 1 se a=1 qualunque sia b
a^b= a se b=1 qualunque sia a
a^b= a*a*...*a [b volte] se a e b sono entrambi maggiori di 1
A parte il fatto che la definizione non è tanto 'elegante', dal momento che richiede tre definizioni diverse per tre casi diversi, essa non è neppure 'esaustiva' poichè non 'copre' il caso:
a^b= 1 per a=b=0
Esiste una definizione univoca che copra tutti e quattro i casi esaminati?... [è evidente che sì...]
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
una prima 'trappola'l'hai svelata tu stesso, dal momento che la definizione che dai non è univoca, ma comprende i tre casi che qui riporto [se ho bene inteso]:
a^b= 1 se a=1 qualunque sia b
a^b= a se b=1 qualunque sia a
a^b= a*a*...*a [b volte] se a e b sono entrambi maggiori di 1
A parte il fatto che la definizione non è tanto 'elegante', dal momento che richiede tre definizioni diverse per tre casi diversi, essa non è neppure 'esaustiva' poichè non 'copre' il caso:
a^b= 1 per a=b=0
Esiste una definizione univoca che copra tutti e quattro i casi esaminati?... [è evidente che sì...]
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Non vedo la trappola
a^b=a se a=1
a^b=1 se a=0.
a^b=a*a*..*a (b volte), se b>1
qual è la tua osservazione?
Antonio Bernardo
a^b=a se a=1
a^b=1 se a=0.
a^b=a*a*..*a (b volte), se b>1
qual è la tua osservazione?
Antonio Bernardo
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