Assioma della scelta
E' vero l'assioma della scelta?
Risposte
"TomSawyer":
Qui mi defilo, perche' pensavo si parlasse di Matematica in termini matematici, ma a quanto pare non e' cosi'. Comincera' il solito dibattito: "La Matematica e' scoperta o invenzione?"
tu cosa credi?
Qui mi defilo, perche' pensavo si parlasse di Matematica in termini matematici, ma a quanto pare non e' cosi'. Comincera' il solito dibattito: "La Matematica e' scoperta o invenzione?"
"TomSawyer":
Non mi riferivo ad un modello, rigorosamente parlando. Dove sta $RR$? L'infinitamente piccolo non esiste nella realta'. L'infinitamente grande non si sa. Pero' continui ad essere vago e a non dire niente di concreto.
Ma caro Tom - mi permettete la familiarita'? - io non parlo di realta' fisica. Dove sta $RR$ non lo so (ammesso che abbia senso parlare di un dove per enti immateriali), pero' credo che stia al di fuori delle nostre menti, cioe' che esista in se' e non sia frutto di una creazione dell'uomo.
Non mi riferivo ad un modello, rigorosamente parlando. Dove sta $RR$? L'infinitamente piccolo non esiste nella realta'. L'infinitamente grande non si sa. Pero' continui ad essere vago e a non dire niente di concreto.
"TomSawyer":
Ok, per essere presa in considerazione questa tua teoria, dovresti specificare quali sono questi "insieme reali" e il modello di $RR$ nella realta'.
Non credo che abbia senso parlare di modelli nella realta' visto che non siamo in un sistema formale.
Ok, per essere presa in considerazione questa tua teoria, dovresti specificare quali sono questi "insieme reali" e il modello di $RR$ nella realta'.
"TomSawyer":
Hai scomodato tu la realtà. Se vuoi parlare di oggetti matematici, allora devi stare in ZF (dato che l'intera Matematica è fondata su questa teoria, più AC), e, come ha detto Inmytime, i lavori di Godel e Cohen (uniti) dimostrano che è indecidibile.
Dire che tutta la matematica e' fondata su ZFC mi sembra un po' ingenuo. Io direi che buona parte della matematica puo essere fondata su ZFC. Voi sicuramente sapete benissimo che esistono molti altri sistemi assiomatici, ognuno dei quali ha i suoi vantaggi e svantaggi.
Ma il punto e' che, dal mio punto di vista, ogni sistema assiomatico della teoria degli insiemi non e' altro che una descrizione piu' o meno buona degli insiemi reali. Per riprendere la questione dell'ipotesi del continuo, a mio modo di vedere l'insieme $RR$ esiste nella realta', e quindi il fatto che CH sia indecidibile in ZFC non ci impedisce di chiederci se essa sia vera o falsa.
Hai scomodato tu la realtà. Se vuoi parlare di oggetti matematici, allora devi stare in ZF (dato che l'intera Matematica è fondata su questa teoria, più AC), e, come ha detto Inmytime, i lavori di Godel e Cohen (uniti) dimostrano che è indecidibile.
E che c'entrano scarpe e calzini con gli insiemi? Io quando dico insiemi parlo di quegli oggetti che studiamo noi quando facciamo matematica.
"Sandokan.":
Comunque, se ammettiamo l'esistenza nella realta' degli insiemi, allora l'assioma della scelta deve essere o vero o falso.
no! è provato che è indecidibile in ZF!
Secondo te, allora?
Comunque, se proprio vogliamo scomodare la realtà (invece di stare sensatamente in qualche teoria, come dice Inmytime) riporto questa interpretazione terra-terra
"Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è il seguente: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini, e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme."
Ce la fai a distinguerli in mezzo a tutti quegli infiniti calzini?
Comunque, se proprio vogliamo scomodare la realtà (invece di stare sensatamente in qualche teoria, come dice Inmytime) riporto questa interpretazione terra-terra
"Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è il seguente: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini, e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme."
Ce la fai a distinguerli in mezzo a tutti quegli infiniti calzini?
"Inmytime":
io toglierei (non AC) dalla teoria perche mi sembra inutile. proviamo a usare ZF+(qualche assioma di scelta un po' piu' debole di AC, bello e sul quale siamo tutti d'accordo anche i fisici) e vediamo se qui AC è vero o falso... proposte per il nuovo assioma?
Ovviamente se quell'assioma piu' debole di AC implica AC, allora e' equivalente ad AC... e siamo punto e daccapo. No, IMHO abbiamo bisogno di un assioma strettamente piu' debole di AC.
ps Studiate fisica per caso?
io toglierei (non AC) dalla teoria perche mi sembra inutile. proviamo a usare ZF+(qualche assioma di scelta un po' piu' debole di AC, bello e sul quale siamo tutti d'accordo anche i fisici) e vediamo se qui AC è vero o falso... proposte per il nuovo assioma?
Nessun sì o no deciso finora. Saro' io allora l'ultimo dei platonisti?
Comunque, se ammettiamo l'esistenza nella realta' degli insiemi, allora l'assioma della scelta deve essere o vero o falso.
"Inmytime":
in ZF+(non AC), ad esempio, non vale il teorema di torricelli-barrow: prova a chiedere ad un fisico se ritiene che su ZF+(non AC) si possa costruire una teoria della misura decente...
Non c'e' bisogno di chiedere a un fisico! Secondo me si puo' costruire una teoria della misura piu' che decente su ZF+(non AC)+(qualche assioma di scelta un po' piu' debole di AC). Cosi' si eviterebbe anche di dover ammettere l'esistenza di insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
"Sandokan.":
[quote="Inmytime"]prima di chiedere se qualcosa è vero o falso, bisogna specificare una teoria. in ZF+(assioma di zorn) ad esempio è vera, in ZF+(altre cose che non mi ricordo) è falsa
Ovviamente in ZF+(la negazione di AC) l'assioma della scelta e' falso se pero' ZF e' coerente!
Ma io chiedo se AC sia vero nella realta', in altre parole: quale (se ne esiste una) non e' una buona descrizione degli insiemi reali, ZF+AC o ZF+(non AC)?[/quote]
in ZF+(non AC), ad esempio, non vale il teorema di torricelli-barrow: prova a chiedere ad un fisico se ritiene che su ZF+(non AC) si possa costruire una teoria della misura decente...
"Inmytime":
la realtà è soggettiva... non intendo comunque affrontare questioni del genere in un forum. chiedo solo che ci si limiti a inquadrare le questioni all'interno di teorie, per evitare risse inutili
eh... risse addirittura! e' solo un sondaggio!
"Sandokan.":
[quote="Inmytime"]specificare una teoria, prego...
nella realta'[/quote]
la realtà è soggettiva... non intendo comunque affrontare questioni del genere in un forum. chiedo solo che ci si limiti a inquadrare le questioni all'interno di teorie, per evitare risse inutili
"Inmytime":
prima di chiedere se qualcosa è vero o falso, bisogna specificare una teoria. in ZF+(assioma di zorn) ad esempio è vera, in ZF+(altre cose che non mi ricordo) è falsa
Ovviamente in ZF+(la negazione di AC) l'assioma della scelta e' falso se pero' ZF e' coerente!
Ma io chiedo se AC sia vero nella realta', in altre parole: quale (se ne esiste una) non e' una buona descrizione degli insiemi reali, ZF+AC o ZF+(non AC)?
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