Algoritmo per calcolo radice quadrata a mente
Io mi diverto a calcolare radici quadrate a mente di numeri a 3 cifre. Per farlo, dato che algoritmi già famosi richiedono calcoli quasi impossibili da fare a mente, o "inventato" (nel senso che magari qualcuno ci aveva già pensato) una specie di algoritmo (per farlo devi sapere i quadrati dei numeri da 1 a 33 per i numeri di tre cifre e da 1 a 44 per esempio per i numeri fino a 2000)
I passaggi sono questi:
- scegliere un numero di cui calcolare la radice quadrata (es: 777)
- trovare il quadrato piu piccolo piu vicino (27;729)
- trovare la differenza tra il quadrato trovato (729) e il numero calcolato (777)
- dimezzare questa differenza trovata ((777-729)/2)=24
- moltiplicare il risultato per 10 (24*10=240)
- dividere il risultato (240) per la radice approssimata inizialmente (27)
{per fare ciò conviene ogni volta moltiplicare per 10} es: 240/27= 8 resto 24, poi resto*10/27= 240*10/27.....
- arrivare a due cifre dopo la virgola (240/27= 8,88), in questo modo si hanno tre cifre: 888
- Si prendono le prime due (88) e si eleva al quadrato (7744)
- Si toglie l'ultima cifra (774) e si divide per due (senza virgola, se fosse 15/2=7) quindi (774/2= 387)
- Si divide il risultato per 27 (ancora senza virgola) (387/27=14)
- Si toglie il risultato (14) a ció che ti era venuto prima (888) (888-14=874)
- Il risultato è la radice approssimata inizialmente (27) virgola il risultato (874)
- risultato =27,874
Voi sapete se esiste già questo metodo?
Sembra lungo ma fidatevi, provatelo: io con questo metodo ci metto 30-40 secondi a fare una radice
I passaggi sono questi:
- scegliere un numero di cui calcolare la radice quadrata (es: 777)
- trovare il quadrato piu piccolo piu vicino (27;729)
- trovare la differenza tra il quadrato trovato (729) e il numero calcolato (777)
- dimezzare questa differenza trovata ((777-729)/2)=24
- moltiplicare il risultato per 10 (24*10=240)
- dividere il risultato (240) per la radice approssimata inizialmente (27)
{per fare ciò conviene ogni volta moltiplicare per 10} es: 240/27= 8 resto 24, poi resto*10/27= 240*10/27.....
- arrivare a due cifre dopo la virgola (240/27= 8,88), in questo modo si hanno tre cifre: 888
- Si prendono le prime due (88) e si eleva al quadrato (7744)
- Si toglie l'ultima cifra (774) e si divide per due (senza virgola, se fosse 15/2=7) quindi (774/2= 387)
- Si divide il risultato per 27 (ancora senza virgola) (387/27=14)
- Si toglie il risultato (14) a ció che ti era venuto prima (888) (888-14=874)
- Il risultato è la radice approssimata inizialmente (27) virgola il risultato (874)
- risultato =27,874
Voi sapete se esiste già questo metodo?
Sembra lungo ma fidatevi, provatelo: io con questo metodo ci metto 30-40 secondi a fare una radice
Risposte
Grazie, almeno tu mi hai aiutato!!!
Comunque io parlo di 30-40 secondi per ciò che riguarda me, di certo non il record del mondo... Il migliore al mondo con questo metodo per me arriverebbe sui 15 massimo 20 secondi, non credi?
Comunque io parlo di 30-40 secondi per ciò che riguarda me, di certo non il record del mondo... Il migliore al mondo con questo metodo per me arriverebbe sui 15 massimo 20 secondi, non credi?
Ma nessuno ha dato una risposta alle domande! Avete accennato al metodo babilonese, a occuparsi più di "vera matematica", consigliato libri che NON parlano delle radici. L'ultimo messaggio addirittura insinua che kobel abbia una vita noiosa e triste. L'unico che forse ha dato un consiglio pertinente è theras quando ha parlato di "capire a fondo perché quell'algoritmo funzioni" e kashaman ha cercato di capire meglio l'algoritmo proposto.
Mi sembra che un'algoritmo così esista già, credo di averlo già visto da qualche parte, se cerchi un po' con un motore di ricerca "algoritmi mentali per radici quadrate" dovresti trovarlo anche se è probabile ce ne siano di migliori. Infatti 30 o 40 secondi sono tantissimi per un calcolo mentale, tanto vale farlo su carta con l'algoritmo "classico" di Bombelli che si insegna alle medie (che a pensarci forse può competere come tempi con quello che hai proposto tu anche a mente, ovvio che a mente ci vuole più attenzione).
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/radiquad.htm
EDIT
Scusate, mi è sfuggita la seconda pagina, quindi "'ultimo messaggio" si riferisce all'ultimo della seconda, inoltre poi sono iniziati commenti più pertinenti.
Mi sembra che un'algoritmo così esista già, credo di averlo già visto da qualche parte, se cerchi un po' con un motore di ricerca "algoritmi mentali per radici quadrate" dovresti trovarlo anche se è probabile ce ne siano di migliori. Infatti 30 o 40 secondi sono tantissimi per un calcolo mentale, tanto vale farlo su carta con l'algoritmo "classico" di Bombelli che si insegna alle medie (che a pensarci forse può competere come tempi con quello che hai proposto tu anche a mente, ovvio che a mente ci vuole più attenzione).
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/radiquad.htm
EDIT
Scusate, mi è sfuggita la seconda pagina, quindi "'ultimo messaggio" si riferisce all'ultimo della seconda, inoltre poi sono iniziati commenti più pertinenti.
"kobeilprofeta":
Io mi diverto a calcolare radici quadrate a mente di numeri a 3 cifre.
Ciao ti consiglio di leggere questo;
riguarda il calcolo della radice quadrata intera di un numero naturale di $4n$ cifre ($n\geq 1$) conoscendo la radice quadrata intera e il resto delle prime $2n$ cifre e utilizzando solo una divisione tra interi.
"kobeilprofeta":Bisognerebbe riuscire a dimostrarlo.
che credo sia efficace
"kobeilprofeta":Bhe, questo è un forum ed ognuno dice la sua.
E invece ricevo solo critiche...
Non sono molto ferrato in materia però secondo me, per verificare se è un algoritmo davvero efficiente, dovresti riscriverlo con un opportuno software di calcolo numerico [matlab, maple ecc] e fare dei confronti con altri algoritmi. Oppure, visto che è un algoritmo, magari ricavarci un piccolo programma con qualche opportuno linguaggio [Assembly, C, Java, ecc, vedi tu quale usare]. Spero di averti dato qualche ulteriore spunto di riflessione.
Io volevo semplicemente mettere a disposizione di tutti un metodo che ho trovato faticando e che credo sia efficace. E invece ricevo solo critiche... 
I vostri ultimi interventi mi hanno riportato alla mente le parole di questo libro. A pag. 125 leggo:
Penso quindi che il vero problema non sia tanto calcolare le radici ma qualcos'altro di più importante...
La radice quadrata di $2$ comincia con $1,414 213 562...$ Negli anni trascorsi a Gottinga Riemann era solito riempire le ore libere calcolando un numero sempre maggiore di questi decimali. Il suo record fu di trentotto cifre decimali, un'impresa sicuramente non da poco senza un calcolatore ma forse più un indice di quanto fosse noiosa la vita notturna a Gottinga e schiva la personalità di Riemann, considerato che era questo il suo svago serale.
Penso quindi che il vero problema non sia tanto calcolare le radici ma qualcos'altro di più importante...
@Kobe.
Lo accetti un altro,
sebbene meno illustre del precedente?
Sposta la tua attenzione dalla sfida,con te stesso e gli altri,
al conseguimento della formazione,
che avrà i suoi tempi,
tramite la quale capire a fondo perché quell'algoritmo funzioni,
ed eventualmente trovarne altri validi ed esser in grado di confrontare,a giusta ragione,
la loro "pesantezza di conti":
dovrebbe esser un buon modo per iniziare a crearti un approccio tramite il quale rendere davvero fruttuoso il tuo appetito per i numeri,
che comunque,
se ti piace la Matematica,
è bene tu abbia
(nei limiti in cui riesci a gestirlo bene e farne nascere buoni frutti..)!
Saluti dal web.
Lo accetti un altro,
sebbene meno illustre del precedente?
Sposta la tua attenzione dalla sfida,con te stesso e gli altri,
al conseguimento della formazione,
che avrà i suoi tempi,
tramite la quale capire a fondo perché quell'algoritmo funzioni,
ed eventualmente trovarne altri validi ed esser in grado di confrontare,a giusta ragione,
la loro "pesantezza di conti":
dovrebbe esser un buon modo per iniziare a crearti un approccio tramite il quale rendere davvero fruttuoso il tuo appetito per i numeri,
che comunque,
se ti piace la Matematica,
è bene tu abbia
(nei limiti in cui riesci a gestirlo bene e farne nascere buoni frutti..)!
Saluti dal web.
"kobeilprofeta":
Fidati, se sei abbastanza bravo nei calcoli e sai i quadrati riuscirai anche tu a farlo in 30-40 secondi A MENTE!!!!
Di solito questi conti li faccio "a occhio" (i.e., senza usare un algoritmo particolare) e ci prendo con un errore \(\leq 0.05\)... Mi serve più che altro per giocare un po' con gli studenti durante le esercitazioni.
Ad un matematico, preso nel suo lavoro, capita raramente di dover calcolare radicali "a mano", figuriamoci farlo "a mente".
@kobeilprofeta: Accetta un consiglio.
Smettila di perdere il tuo tempo con queste cose inutili.
Se davvero ti piace la Matematica, comincia a studiarla seriamente: prenditi il Courant & Robbins, Che Cos'è la Matematica e leggilo fino in fondo, facendo di volta in volta gli esercizi proposti.
Premessa: devi sapere i quadrati dei numeri fino a cento e arrivi a calcolare la radice di un numero da 1 a 10000 a mente con la precisione di tre cifre dopo la virgola.
Rispiego come (x chi non ha capito)
Volete farla di 7?
Ecco, conviene farla di 700 (7*10^2) e poi dividere il risultato per 10.
Il quadrato che si avvicina di più (senza superarlo) è 676 (26^2)
(700-676)/2= 12
12/26= 0,461 (non è difficile calcolarlo, basta fare 12*10/26= 120/26= 4 (resto 16); poi faccio 16*10/26= 160/26= 6 (r. 4); poi faccio 4*10/26= 40/26= 1 (non importa il resto)) ok??
Prendo le prime due cifre del risultato (461=che sarebbero le tre cifre dopo la virgola) cioè 46 e le elevo alla seconda= 46^2= 2116
Escludo l'ultima cifra (211) e lo divido per il quadrato approssimato all'inizio (26) senza resto 211/26= 8
Prendo il risultato e lo tolgo alle cifre dopo la virgola (461)= 461-8= 453
Risultato 26,453
Fidati, se sei abbastanza bravo nei calcoli e sai i quadrati riuscirai anche tu a farlo in 30-40 secondi A MENTE!!!!
Rispiego come (x chi non ha capito)
Volete farla di 7?
Ecco, conviene farla di 700 (7*10^2) e poi dividere il risultato per 10.
Il quadrato che si avvicina di più (senza superarlo) è 676 (26^2)
(700-676)/2= 12
12/26= 0,461 (non è difficile calcolarlo, basta fare 12*10/26= 120/26= 4 (resto 16); poi faccio 16*10/26= 160/26= 6 (r. 4); poi faccio 4*10/26= 40/26= 1 (non importa il resto)) ok??
Prendo le prime due cifre del risultato (461=che sarebbero le tre cifre dopo la virgola) cioè 46 e le elevo alla seconda= 46^2= 2116
Escludo l'ultima cifra (211) e lo divido per il quadrato approssimato all'inizio (26) senza resto 211/26= 8
Prendo il risultato e lo tolgo alle cifre dopo la virgola (461)= 461-8= 453
Risultato 26,453
Fidati, se sei abbastanza bravo nei calcoli e sai i quadrati riuscirai anche tu a farlo in 30-40 secondi A MENTE!!!!
@Kashaman: Al primo passod devi scegliere il numero il cui quadrato è \(\leq 7\) e più vicino a \(7\)... Quindi \(2\), perchè \(4=2^2\) è il più grande quadrato minore di \(7\).
o,o mah, st'algoritmo è incasinato o,O. Te riusciresti a fa tutte ste cose mentalmente?
Ma sei sicuro che funziona? Vediamo se ho capito.
Voglio trovare la radice quadrata di $7$.
Il quadrato più piccolo più vicino è $6$. Infatti 36=6^2.
Faccio la differenza tra $36$ e $7$ e mi viene $29$.
Dimezzo la differenza $29/2=14.5$
Moltiplico per 10 e ottengo $145$
divido $145$ per $7$ e moltiplico per 10 e ottengo 207.
Ora $20^2=400$ tolgo ultima cifra ed ho $40$ e divido per $2$ ed ho $20$.
Divido risultato per $7$ e ho $2$. Poi
$145-2=143$.
Ora la radice approssimata inizialmente era $6$ , quindi $6.143$ Sarebbe la radice di $7$?
Non mi quadra.
Spiegami se ho sbagliato qualcosa dell'algoritmo, a me non mi sembra efficiente ne tanto meno corretto.
Ma sei sicuro che funziona? Vediamo se ho capito.
Voglio trovare la radice quadrata di $7$.
Il quadrato più piccolo più vicino è $6$. Infatti 36=6^2.
Faccio la differenza tra $36$ e $7$ e mi viene $29$.
Dimezzo la differenza $29/2=14.5$
Moltiplico per 10 e ottengo $145$
divido $145$ per $7$ e moltiplico per 10 e ottengo 207.
Ora $20^2=400$ tolgo ultima cifra ed ho $40$ e divido per $2$ ed ho $20$.
Divido risultato per $7$ e ho $2$. Poi
$145-2=143$.
Ora la radice approssimata inizialmente era $6$ , quindi $6.143$ Sarebbe la radice di $7$?
Non mi quadra.
Spiegami se ho sbagliato qualcosa dell'algoritmo, a me non mi sembra efficiente ne tanto meno corretto.
Come fai a dire che preferisci il metodo babilonese?
Io sto parlando di calcoli MENTALI!!! dimmi come fai a fare 2/1,15 e poi tipo 2/1,1487????
Diventano calcoli impossibili da fare a mente, lo so anch'io che se si vogliono determinare piu cifre e piu velocemente e' meglio quello ma il mio è l'unico praticabile a mente (credo, a meno che non ne conosciate altri)... No?
Io sto parlando di calcoli MENTALI!!! dimmi come fai a fare 2/1,15 e poi tipo 2/1,1487????
Diventano calcoli impossibili da fare a mente, lo so anch'io che se si vogliono determinare piu cifre e piu velocemente e' meglio quello ma il mio è l'unico praticabile a mente (credo, a meno che non ne conosciate altri)... No?
Secondo me è meglio l'antico algoritmo babilonese. Però richiedendo più iterazioni per fornire un risultato accettabile potrebbe richiedere carta e penna, quanto meno per annotare i risultati intermedi.
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