Una riflessione sulla logica
ok, il titolo e' super scopiazzato dal topic sulla matematica... ma mi piaceva 
il fatto e' che nel mio CdL ci sono corsi di logica dal 3 anno in poi, e quindi anche per valutare cosa includere nel piano di studi mi piacerebbe sentire
la vostra opinione sulla logica matematica(logica proposizionale, del prim'ordine, teoria delle dimostrazioni, intuituzionismo...)
Esperienze con corsi in uni? Interessi personali? Riflessioni di ogni genere...
grazie
il fatto e' che nel mio CdL ci sono corsi di logica dal 3 anno in poi, e quindi anche per valutare cosa includere nel piano di studi mi piacerebbe sentire
la vostra opinione sulla logica matematica(logica proposizionale, del prim'ordine, teoria delle dimostrazioni, intuituzionismo...)
Esperienze con corsi in uni? Interessi personali? Riflessioni di ogni genere...
grazie
Risposte
"Luca.Lussardi":
Trovo infine molto affascinante che la Matematica riesca a parlare di se stessa in modo così sorprendente; essa afferma quali sono i suoi limiti, quello che non può fare, e questo, si badi bene, non succede per le altre scienze. Un'altra prova dell'estrema umiltà della scienza matematica.
Le altre scienze non possono farlo, perché esse non appartengono al proprio ambito di studio (la fisica, per esempio, non è un fenomeno fisico), mentre la matematica stessa è un oggetto matematico (o almeno può essere studiato come tale).
Chiedo scusa, ma non avendo avuto risposta riguardo al mio dubbio riguardo l'affermazione:
ho cercato nei libri e ho esplicitamente trovato che la proposizione di Godel si può aggiungere come assioma vero a $T$ ottenendo un sistema coerente, se $T$ lo era.
Non mi pare vero quindi che "ciò che tocca marcisce".
Riguardo alle proposizioni interessanti, mi pare che sia stato dimostrato che dato un sistema $T$ in grado di descrivere l'aritmetica si può scrivere esplicitamente un
equazione diofantea che non ha soluzioni, ma di cui il sistema non è in grado di dimostrare che non ne ha. Dico mi pare perchè non conosco la dimostrazione anche
se credo di averne capito il senso, (spiegatomi da un logico di professione)
Credo che un punto da capire bene in tutto questo sia la distinzione tra VERO e DIMOSTRABILE. Se il sistema $T$ è coerente la proposizione di Goedel è sicuramente vera, ma $T$ non è in grado di dimostrarla.
Un fatto interessante collegato con questo è il seguente (sempre spiegatomi dall' amico logico): se si dimostrasse per esempio che la congettura di Goldbach è indecidibile allora sarebbe vera!
(con buona pace dello zio Petros).
Infatti la congettura di Goldbach (a differenza dell'ipotesi del continuo e dell'assioma della scelta) è del tipo $\forall n P(n)$ dove $P(n)$ è "algoritmica", cioè si può verificare con
un numero finito di operazioni. Una proposizione di questo tipo ha la caratteristica che la sua falsificabilità equivale a produrre un controesempio (un $n$ per cui $P(n)$ non vale) e cioè
una dimostrazione che è falsa. Dunque se è indecidibile (e se l'aritmetica è coerente) allora deve essere vera. Questo aspetto dei teoremi di incompletezza può allora essere visto
come un modo di selezionare nuovi assiomi veri da aggiungere ai nostri sistemi formali.
2) ci sono proposizioni indecidibili e proposizioni indecidibili: quella usata nella dimostrazione è come il paradosso del mentitore, quindi se viene aggiunta all'insieme degli assiomi (o se viene aggiunta la sua negazione) ci ritroviamo un sistema non coerente (è una specie di Rogue degli X-Men: ciò che tocca marcisce);
epperò ci sono altri tipi di proposizioni indecidibili come l'assioma della scelta o l'ipotesi del continuo, che sono indecidibili perche indipendenti
ho cercato nei libri e ho esplicitamente trovato che la proposizione di Godel si può aggiungere come assioma vero a $T$ ottenendo un sistema coerente, se $T$ lo era.
Non mi pare vero quindi che "ciò che tocca marcisce".
Riguardo alle proposizioni interessanti, mi pare che sia stato dimostrato che dato un sistema $T$ in grado di descrivere l'aritmetica si può scrivere esplicitamente un
equazione diofantea che non ha soluzioni, ma di cui il sistema non è in grado di dimostrare che non ne ha. Dico mi pare perchè non conosco la dimostrazione anche
se credo di averne capito il senso, (spiegatomi da un logico di professione)
Credo che un punto da capire bene in tutto questo sia la distinzione tra VERO e DIMOSTRABILE. Se il sistema $T$ è coerente la proposizione di Goedel è sicuramente vera, ma $T$ non è in grado di dimostrarla.
Un fatto interessante collegato con questo è il seguente (sempre spiegatomi dall' amico logico): se si dimostrasse per esempio che la congettura di Goldbach è indecidibile allora sarebbe vera!
(con buona pace dello zio Petros).
Infatti la congettura di Goldbach (a differenza dell'ipotesi del continuo e dell'assioma della scelta) è del tipo $\forall n P(n)$ dove $P(n)$ è "algoritmica", cioè si può verificare con
un numero finito di operazioni. Una proposizione di questo tipo ha la caratteristica che la sua falsificabilità equivale a produrre un controesempio (un $n$ per cui $P(n)$ non vale) e cioè
una dimostrazione che è falsa. Dunque se è indecidibile (e se l'aritmetica è coerente) allora deve essere vera. Questo aspetto dei teoremi di incompletezza può allora essere visto
come un modo di selezionare nuovi assiomi veri da aggiungere ai nostri sistemi formali.
"Gugo82":
La differenza qui è quella tra "$exists P " indecidibile in " T$" ed "$exists! P " indecidibile in "T$"... visto che non provi l'unicità della proposizione indecidibile non puoi escludere a priori che ne esista più di una; ed in Matematica quello che non è esplicitamente escluso non si nasconde mai sotto al tappeto.
diciamo che dal punto di vista di un enunciato di un teorema non fa molta differenza parlare di "esiste almeno una formula che.." e "esistono formule che..."; però dal punto di vista delle conseguenze metamatematiche, e nel caso in questione, la differenza credo ci sia e sia pure importante
o perlomeno lo è per la tesi che sto sostenendo nel primo post, ovvero che forse i teoremi di Godel non massacrano il programma hilbertiano nel modo completo come si potrebbe pensare a prima vista
"Gugo82":
Bello il riferimento, ma non mi pare che i poteri di Rogue fossero proprio quelli (a meno che non sia cambiato qualcosa in questi ultimi 7 anni... prima di cominciare l'università ero un accanito lettore di X-Men!)
va bene devo confessare che io invece non li ho mai letti e ho cannato il riferimentoma allora come si chiamava il personaggio che faceva marcire tutto ciò che toccava?
"yinyang":
un saluto a tutti,
vorrei esporvi alcuni dubbi che mi assillano da parecchio tempo e che la
lettura di un certo numero di testi sull'argomento non mi ha ancora chiarito
il primo teorema di Godel recita:
"In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula F tale che, se T è coerente, allora né F né la sua negazione sono dimostrabili in T."
a volte però si leggono versioni leggermente diverse come
"[...] esistono proposizioni vere ma non dimostrabili"
dunque si passa da un singolare "esiste una formula F", ad un plurale "Esistono proposizioni"
ecco i miei dubbi e alcune considerazioni:
1) per quel che so della dimostrazione del primo teorema, esso può affermare con sicurezza l'esistenza di almeno UNA formula indecidibile
mi pare fuorviante parlare di proposizioni al plurale; è mai stato dimostrato che ne esiste più di una?
2) ci sono proposizioni indecidibili e proposizioni indecidibili: quella usata nella dimostrazione è come il paradosso del mentitore, quindi se viene aggiunta all'insieme degli assiomi (o se viene aggiunta la sua negazione) ci ritroviamo un sistema non coerente (è una specie di Rogue degli X-Men: ciò che tocca marcisce);
epperò ci sono altri tipi di proposizioni indecidibili come l'assioma della scelta o l'ipotesi del continuo, che sono indecidibili perche indipendenti
3) che ogni sistema "di una certa potenza" non sia "tecnicamente" completo è si una delusione, ma una delusione tutto sommato da ridimensionare, se ciò che lo rende incompleto è una proposizione del tipo "questa proposizione non può essere dimostrata", dunque una proposizione "che non dice nulla" (di profondo)
Fossero proposizioni "profonde" a non essere decidibili, questo mi turberebbe di più ma
i teoremi di Godel non provano questo
e tuttavia
esempi di proposizioni profonde e indipendenti dagli attuali assiomi della teoria degli insiemi sono conosciuti; ad es. l'ipotesi del continuo (IC) e l'assioma della scelta (AS)
qui sta il succo; la domanda fondamentale è: una volta che io accetto (IC) o (AS) chi mi assicura che non ci siano altre proposizioni "che dicono qualcosa" la in giro che risultano nuovamente indipendenti? e così all'infinito?
questo si sarebbe un risultato formidabile, cosa ne pensate?
Sei sicuro che aggiungendo la proposizione di Godel a $T$ si ottienga un sistema incoerente? Io ho solo "orecchiato" queste questioni recentemente, e quindi ne so molto poco.
Pero' avrei detto che se prendi la proposizione come vera ottieni un sistema $T'$ coerente (ammesso che $T$ lo fosse), dato che, dall'esterno, la proposizione è vera.
Dico stupidaggini?
Riguardo all'ultimo punto mi pare difficile definire in maniera formale le "proposizioni interessanti", ma chissa'.
Considerazioni sparse, anche perchè non sono molto ferrato in materia.
La differenza qui è quella tra "$exists P " indecidibile in " T$" ed "$exists! P " indecidibile in "T$"... visto che non provi l'unicità della proposizione indecidibile non puoi escludere a priori che ne esista più di una; ed in Matematica quello che non è esplicitamente escluso non si nasconde mai sotto al tappeto.
Bello il riferimento, ma non mi pare che i poteri di Rogue fossero proprio quelli (a meno che non sia cambiato qualcosa in questi ultimi 7 anni... prima di cominciare l'università ero un accanito lettore di X-Men!)
Sinceramente non mi stupirei; né sarebbe un dramma, perchè è sempre interessante aggiungere nuovi assiomi (voglio però sottolineare che AS fa parte della Teoria degli Insiemi).
Così come la mente umana mostra sempre nuovi volti anche la Matematica, che di questa è frutto, può riservare sempre sorprese; non credo riusciremo mai a trovare un set di assiomi in cui non salti fuori qualcosa di indipendente.
Vorrei notare, però, quanto sia bene per la Matematica che ogni tanto qualche ricercatore si metta in testa di rinunciare a qualche assioma per vedere cosa ne vien fuori.
"yinyang":
1) per quel che so della dimostrazione del primo teorema, esso può affermare con sicurezza l'esistenza di almeno UNA formula indecidibile
mi pare fuorviante parlare di proposizioni al plurale; è mai stato dimostrato che ne esiste più di una?
La differenza qui è quella tra "$exists P " indecidibile in " T$" ed "$exists! P " indecidibile in "T$"... visto che non provi l'unicità della proposizione indecidibile non puoi escludere a priori che ne esista più di una; ed in Matematica quello che non è esplicitamente escluso non si nasconde mai sotto al tappeto.
"yinyang":
2) ci sono proposizioni indecidibili e proposizioni indecidibili: quella usata nella dimostrazione è come il paradosso del mentitore, quindi se viene aggiunta all'insieme degli assiomi (o se viene aggiunta la sua negazione) ci ritroviamo un sistema non coerente (è una specie di Rogue degli X-Men: ciò che tocca marcisce);
Bello il riferimento, ma non mi pare che i poteri di Rogue fossero proprio quelli (a meno che non sia cambiato qualcosa in questi ultimi 7 anni... prima di cominciare l'università ero un accanito lettore di X-Men!
)"yinyang":
epperò ci sono altri tipi di proposizioni indecidibili come l'assioma della scelta o l'ipotesi del continuo, che sono indecidibili perche indipendenti
3) che ogni sistema "di una certa potenza" non sia "tecnicamente" completo è si una delusione, ma una delusione tutto sommato da ridimensionare, se ciò che lo rende incompleto è una proposizione del tipo "questa proposizione non può essere dimostrata", dunque una proposizione "che non dice nulla" (di profondo)
Fossero proposizioni "profonde" a non essere decidibili, questo mi turberebbe di più ma
i teoremi di Godel non provano questo
e tuttavia
esempi di proposizioni profonde e indipendenti dagli attuali assiomi della teoria degli insiemi sono conosciuti; ad es. l'ipotesi del continuo (IC) e l'assioma della scelta (AS)
qui sta il succo; la domanda fondamentale è: una volta che io accetto (IC) o (AS) chi mi assicura che non ci siano altre proposizioni "che dicono qualcosa" la in giro che risultano nuovamente indipendenti? e così all'infinito?
questo si sarebbe un risultato formidabile, cosa ne pensate?
Sinceramente non mi stupirei; né sarebbe un dramma, perchè è sempre interessante aggiungere nuovi assiomi (voglio però sottolineare che AS fa parte della Teoria degli Insiemi).
Così come la mente umana mostra sempre nuovi volti anche la Matematica, che di questa è frutto, può riservare sempre sorprese; non credo riusciremo mai a trovare un set di assiomi in cui non salti fuori qualcosa di indipendente.
Vorrei notare, però, quanto sia bene per la Matematica che ogni tanto qualche ricercatore si metta in testa di rinunciare a qualche assioma per vedere cosa ne vien fuori.
"yinyang":
per quel che so della dimostrazione del primo teorema, esso può affermare con sicurezza l'esistenza di almeno UNA formula indecidibile mi pare fuorviante parlare di proposizioni al plurale; è mai stato dimostrato che ne esiste più di una?
non entro nel merito delle tematiche della logica, dato che non ne so un tubo, e commento solo il tuo quesito specifico, che è indipendente dal contesto nel quale l'hai posto. Io credo che se si dimostra che "esiste almeno uno..." in realtà, visto che spesso non si mostra qual'è quello specifico uno cui ci si riferisce, si dimostra che è impossibile che non esista neanche uno. Se ciò fosse vero (ma correggetemi se sbaglio) allora l'espressione "esiste almeno uno" sarebbe arbitraria, e non molto diversa da "esitono...". E si potrebbe dire "esistono $n>=1$, con $n$ ignoto..." (se n è ignoto) in cui n=1 è solo un caso particolare, affermabile solo se si dimostra che "esiste uno ed uno solo...". Io ne dedurrei allora che il parlare al plurale non sarebbe tanto poco rigoroso o, per lo meno, non meno del caso di parlare al singolare senza aver dimostrato che quello è il caso che ricorre. Insomma, secondo me dire "esistono" e dire "esiste almeno uno" sono forme espressive equivalenti. Mi sbaglio? A voi matematici l'ardua sentenza!
un saluto a tutti,
vorrei esporvi alcuni dubbi che mi assillano da parecchio tempo e che la
lettura di un certo numero di testi sull'argomento non mi ha ancora chiarito
il primo teorema di Godel recita:
"In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula F tale che, se T è coerente, allora né F né la sua negazione sono dimostrabili in T."
a volte però si leggono versioni leggermente diverse come
"[...] esistono proposizioni vere ma non dimostrabili"
dunque si passa da un singolare "esiste una formula F", ad un plurale "Esistono proposizioni"
ecco i miei dubbi e alcune considerazioni:
1) per quel che so della dimostrazione del primo teorema, esso può affermare con sicurezza l'esistenza di almeno UNA formula indecidibile
mi pare fuorviante parlare di proposizioni al plurale; è mai stato dimostrato che ne esiste più di una?
2) ci sono proposizioni indecidibili e proposizioni indecidibili: quella usata nella dimostrazione è come il paradosso del mentitore, quindi se viene aggiunta all'insieme degli assiomi (o se viene aggiunta la sua negazione) ci ritroviamo un sistema non coerente (è una specie di Rogue degli X-Men: ciò che tocca marcisce);
epperò ci sono altri tipi di proposizioni indecidibili come l'assioma della scelta o l'ipotesi del continuo, che sono indecidibili perche indipendenti
3) che ogni sistema "di una certa potenza" non sia "tecnicamente" completo è si una delusione, ma una delusione tutto sommato da ridimensionare, se ciò che lo rende incompleto è una proposizione del tipo "questa proposizione non può essere dimostrata", dunque una proposizione "che non dice nulla" (di profondo)
Fossero proposizioni "profonde" a non essere decidibili, questo mi turberebbe di più ma
i teoremi di Godel non provano questo
e tuttavia
esempi di proposizioni profonde e indipendenti dagli attuali assiomi della teoria degli insiemi sono conosciuti; ad es. l'ipotesi del continuo (IC) e l'assioma della scelta (AS)
qui sta il succo; la domanda fondamentale è: una volta che io accetto (IC) o (AS) chi mi assicura che non ci siano altre proposizioni "che dicono qualcosa" la in giro che risultano nuovamente indipendenti? e così all'infinito?
questo si sarebbe un risultato formidabile, cosa ne pensate?
vorrei esporvi alcuni dubbi che mi assillano da parecchio tempo e che la
lettura di un certo numero di testi sull'argomento non mi ha ancora chiarito
il primo teorema di Godel recita:
"In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula F tale che, se T è coerente, allora né F né la sua negazione sono dimostrabili in T."
a volte però si leggono versioni leggermente diverse come
"[...] esistono proposizioni vere ma non dimostrabili"
dunque si passa da un singolare "esiste una formula F", ad un plurale "Esistono proposizioni"
ecco i miei dubbi e alcune considerazioni:
1) per quel che so della dimostrazione del primo teorema, esso può affermare con sicurezza l'esistenza di almeno UNA formula indecidibile
mi pare fuorviante parlare di proposizioni al plurale; è mai stato dimostrato che ne esiste più di una?
2) ci sono proposizioni indecidibili e proposizioni indecidibili: quella usata nella dimostrazione è come il paradosso del mentitore, quindi se viene aggiunta all'insieme degli assiomi (o se viene aggiunta la sua negazione) ci ritroviamo un sistema non coerente (è una specie di Rogue degli X-Men: ciò che tocca marcisce);
epperò ci sono altri tipi di proposizioni indecidibili come l'assioma della scelta o l'ipotesi del continuo, che sono indecidibili perche indipendenti
3) che ogni sistema "di una certa potenza" non sia "tecnicamente" completo è si una delusione, ma una delusione tutto sommato da ridimensionare, se ciò che lo rende incompleto è una proposizione del tipo "questa proposizione non può essere dimostrata", dunque una proposizione "che non dice nulla" (di profondo)
Fossero proposizioni "profonde" a non essere decidibili, questo mi turberebbe di più ma
i teoremi di Godel non provano questo
e tuttavia
esempi di proposizioni profonde e indipendenti dagli attuali assiomi della teoria degli insiemi sono conosciuti; ad es. l'ipotesi del continuo (IC) e l'assioma della scelta (AS)
qui sta il succo; la domanda fondamentale è: una volta che io accetto (IC) o (AS) chi mi assicura che non ci siano altre proposizioni "che dicono qualcosa" la in giro che risultano nuovamente indipendenti? e così all'infinito?
questo si sarebbe un risultato formidabile, cosa ne pensate?
Hai ragione, infatti sono risultati poco significativi.
E' pur vero che abbiamo un modello mentale dell'aritmetica, ma l'insieme dei naturali purtroppo è infinito, per cui non c'è modo di controllarlo empiricamente e come dicevi l'unica possibilità è sperare che il nostro modello mentale possa funzionare.
E' pur vero che abbiamo un modello mentale dell'aritmetica, ma l'insieme dei naturali purtroppo è infinito, per cui non c'è modo di controllarlo empiricamente e come dicevi l'unica possibilità è sperare che il nostro modello mentale possa funzionare.
Comunque io non dò grande valore alle dimostrazioni di coerenza dell'aritmetica finora effettuate, sono serpenti che si mordono la coda. Tutta la matematica si fonda sull'assioma fondamentale che l'aritmetica sia coerente, altrimenti che senso avrebbe quello che tutti noi diciamo! Ovvero, io penso che le dimostrazioni di consistenza siano corrette proprio perché non ho nessun dubbio che i numeri naturali 0, 1, 2,.... siano effettivamente un modello dell'aritmetica, che dunque viene a essere non contraddittoria (se una teoria ha un modello, è necessariamente coerente).
Non escludo che in futuro si possano fare progressi sulla questione della coerenza, ma dal punto di vista matematico le dimostrazioni ora esistenti non hanno il carattere di evidenza logica necessario per dire: l'aritmetica è coerente. Questa convinzione per ora ci deriva solo dall'intuizione.
Non escludo che in futuro si possano fare progressi sulla questione della coerenza, ma dal punto di vista matematico le dimostrazioni ora esistenti non hanno il carattere di evidenza logica necessario per dire: l'aritmetica è coerente. Questa convinzione per ora ci deriva solo dall'intuizione.
Molto interessante! Cercherò riferimenti in biblioteca.
Tanto per far vedere dove arriva ora la logica, Dan Willard ha recentemente definito delle teorie formali capaci di provare la propria coerenza!! Le chiama Self Verifying Theories. Ovviamente sono meno potenti dell'aritmetica di Peano, ma mi sembra comunque una cosa interessante. Potete trovare su wikipedia qualche informazione.
Beh, attenzione: è stata provata la coerenza dell'aritmetica del primo ordine. Quanto alla teoria degli insiemi siamo ancora lontani dalla dimostrazione della coerenza, almeno credo, non sono un logico e non conosco gli ultimi sviluppi.
Le teorie sfruttate non sono interne alla Matematica, ma sono di Metamatematica, per esempio l'induzione transfinita.
Se si riuscisse con metodi metamatematici a dimostrare la coerenza dell'intera Matematica, allora per il Teorema di Godel la Matematica sarebbe incompleta, come è oggi la Matematica dedotta dalla teoria ZF.
Faccio infine notare che comunque sia le dimostrazioni di coerenza dell'aritmetica note, ed eventuali altre, non sono risultati cruciali, in quanto ottenuti al di fuori della teoria. Sono sì importanti, ma hanno la stessa "validità logica" di mettere un nono assioma alla teoria ZF:
9) I precedenti 8 assiomi non portano a contraddizione.
Le teorie sfruttate non sono interne alla Matematica, ma sono di Metamatematica, per esempio l'induzione transfinita.
Se si riuscisse con metodi metamatematici a dimostrare la coerenza dell'intera Matematica, allora per il Teorema di Godel la Matematica sarebbe incompleta, come è oggi la Matematica dedotta dalla teoria ZF.
Faccio infine notare che comunque sia le dimostrazioni di coerenza dell'aritmetica note, ed eventuali altre, non sono risultati cruciali, in quanto ottenuti al di fuori della teoria. Sono sì importanti, ma hanno la stessa "validità logica" di mettere un nono assioma alla teoria ZF:
9) I precedenti 8 assiomi non portano a contraddizione.
Se l'aritmetica è coerente, con l'aiuto di teorie fuori dalla stessa, forse ogni ramo della Matematica può essere dimostrato coerente, con "aiuti esterni" (ma sempre interni alla Matematica). Quindi la Matematica sarebbe in qualche modo completa...
Purtroppo, o per fortuna, il suo sogno non si avvererà mai però, almeno per come lo ha posto lui.
Ricordo infatti che la coerenza dell'aritmetica, per esempio, è stata dimostrata anche dallo stesso Godel negli anni 30 del secolo scorso. Solo che chiaramente una tale dimostrazione non è interna alla teoria assiomatica; usa infatti una specie di induzione sul transfinito, invece che un'induzione ordinaria, una strana induzione quindi che non si trova nella solita aritmetica.
Ricordo infatti che la coerenza dell'aritmetica, per esempio, è stata dimostrata anche dallo stesso Godel negli anni 30 del secolo scorso. Solo che chiaramente una tale dimostrazione non è interna alla teoria assiomatica; usa infatti una specie di induzione sul transfinito, invece che un'induzione ordinaria, una strana induzione quindi che non si trova nella solita aritmetica.
"Luca.Lussardi":
Già! Per fortuna che Hilbert si sbagliava!
Io condivido un po' il suo sogno sepolto dell'inesistenza degli ignorabimus...
Grazie ragazzi! veramente interessante! La matematica vista da chi la pratica...
Già! Per fortuna che Hilbert si sbagliava!
Concordo pienamente. Diciamo che Godel limita il meccanicismo e quel formalismo che tanto pubblicizzava Hilbert (il pc di di cui parli tu). E' importante anche sottolineare che la logica matematica non si identifica appunto con il formalismo hilbertiano, quest'ultimo è soltanto uno dei tanti oggetti di studio di questa disciplina.
Forse non mi sono spiegato, tutto quello che dici è vero e concordo con te, parola per parola, ma quello su cui io puntavo è un'altra cosa. Certo che il matematico può sbizzarrirsi come vuole e può fare tutto quello che gli passa per la testa, e la logica lo permette. Ma io condivido l'opinione dei logici nell'affermare che i Teoremi di Godel sono il centro della Logica matematica; essi stanno dettando, una volta fissato il sistema formale per l'aritmetica, quanto questo sistema è "affidabile", quindi essi stanno alla base di tutto. Che poi ci facciamo cose strane con questo sistema ben venga, facciamoci pure tutta la Matematica che ne deriva, dall'ipotesi di Riemann alla congettura di Goldbach. Ma come punto di partenza va ricordato che c'è una spada di Damocle che è appesa sul sistema formale scelto. Insomma, il tutto sarebbe diverso se uno dimostrasse la coerenza di un sistema assiomatico; non ci sarebbe più nessuna questione logica, la Matematica sarebbe già tutta individuata, e da scoprire pezzo alla volta, potrebbe quindi farla anche un pc. Per fortuna Godel ha dimostrato con i suoi Teoremi che nessun pc può fare la Matematica.
Io conosco bene i teoremi di Godel, ma non credo che siano i teoremi più importanti della logica. Anzi esistono teoremi logici molto più sofisticati: ne abbonda la teoria dei modelli. Naturalmente rimangono una pietra miliare. Ma faccio un paragone. E' stato dimostrata l'impossibilità della trisezione di un angolo con RIGA e COMPASSO . OK, ma se ammettiamo altri strumenti, il problema diventa risolvibile. Tuttora nessuno ha mai dimostrato qualcosa del tipo: questo importante teorema X non potrà mai essere dimostrato o confutato. Nessuno conosce attualmente le limitazioni di quanto è possibile dimostrare e quanto no.
I matematici dimostrano oggi teoremi sempre più sofisticati, con ragionamenti logici straordinariamente ingegnosi. Nessun matematico si fossilizza su una particolare sistema formale, e dice: con questo risolverò tutti i problemi. Anzi continuamente operano cambi di linguaggio, introducono nuovi concetti (vedi a metà del novecento le teorie di Serre, Grothendieck ecc), sono elastici. Godel ha dimostrato che nessun sistema formale soddisfacente risolve tutti i problemi aritmetici. Va bene, è bellissimo e importante, ma, da matematico praticante, non limita nemmeno un po' la mia attività quotidiana. Mi dice: sta attento con la riga e il compasso non vai lontano... Io rispondo: è importantissimo, vedrò di non limitarmi a questi strumenti. In altre parole: Godel semplicemente ci dice che una certa strada non è percorribile. Bene, vedremo di evitarla.
Con questo discorso voglio dire che la logica ha un gran numero di domande aperte e tanti teoremi scoperti, da scoprire e formulare: i teoremi di Godel sono soltanto i primi piccoli passi nella nostra comprensione della logica. Logica, che evidentemente è la condizione necessaria per l'esistenza della matematica così come la concepiamo attualmente. Chi potrebbe accettare, oggi, un'affermazione matematica senza dimostrazione? Chi crede che la congettura di Goldbach è vera, finché un ragionamento logico non lo persuaderà?
I matematici dimostrano oggi teoremi sempre più sofisticati, con ragionamenti logici straordinariamente ingegnosi. Nessun matematico si fossilizza su una particolare sistema formale, e dice: con questo risolverò tutti i problemi. Anzi continuamente operano cambi di linguaggio, introducono nuovi concetti (vedi a metà del novecento le teorie di Serre, Grothendieck ecc), sono elastici. Godel ha dimostrato che nessun sistema formale soddisfacente risolve tutti i problemi aritmetici. Va bene, è bellissimo e importante, ma, da matematico praticante, non limita nemmeno un po' la mia attività quotidiana. Mi dice: sta attento con la riga e il compasso non vai lontano... Io rispondo: è importantissimo, vedrò di non limitarmi a questi strumenti. In altre parole: Godel semplicemente ci dice che una certa strada non è percorribile. Bene, vedremo di evitarla.
Con questo discorso voglio dire che la logica ha un gran numero di domande aperte e tanti teoremi scoperti, da scoprire e formulare: i teoremi di Godel sono soltanto i primi piccoli passi nella nostra comprensione della logica. Logica, che evidentemente è la condizione necessaria per l'esistenza della matematica così come la concepiamo attualmente. Chi potrebbe accettare, oggi, un'affermazione matematica senza dimostrazione? Chi crede che la congettura di Goldbach è vera, finché un ragionamento logico non lo persuaderà?
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