Una riflessione sulla logica
ok, il titolo e' super scopiazzato dal topic sulla matematica... ma mi piaceva 
il fatto e' che nel mio CdL ci sono corsi di logica dal 3 anno in poi, e quindi anche per valutare cosa includere nel piano di studi mi piacerebbe sentire
la vostra opinione sulla logica matematica(logica proposizionale, del prim'ordine, teoria delle dimostrazioni, intuituzionismo...)
Esperienze con corsi in uni? Interessi personali? Riflessioni di ogni genere...
grazie
il fatto e' che nel mio CdL ci sono corsi di logica dal 3 anno in poi, e quindi anche per valutare cosa includere nel piano di studi mi piacerebbe sentire
la vostra opinione sulla logica matematica(logica proposizionale, del prim'ordine, teoria delle dimostrazioni, intuituzionismo...)
Esperienze con corsi in uni? Interessi personali? Riflessioni di ogni genere...
grazie
Risposte
Non volevo dire quello, ma dalle tue parole elogiative sulla Logica matematica non volevo che qualcuno potesse pensare che con la sola Logica uno può fare tutto, che non è vero.
La logica in sè funziona, il problema è quando viene messa come struttura della Matematica; la Matematica quindi è qualcosa di più della Logica, e Godel lo ha dimostrato. I Teoremi di Godel, a detta degli esperti, sono i Teoremi più importanti che l'intera Logica Matematica abbia in possesso, e tutti sono unanimi nel dire che saranno per sempre i Teoremi più importanti di Logica matematica. Certo che la logica ci aiuta, anzi, noi matematici non potremmo farne a meno, ma serve ricordare i limiti della sua potenza.
La logica in sè funziona, il problema è quando viene messa come struttura della Matematica; la Matematica quindi è qualcosa di più della Logica, e Godel lo ha dimostrato. I Teoremi di Godel, a detta degli esperti, sono i Teoremi più importanti che l'intera Logica Matematica abbia in possesso, e tutti sono unanimi nel dire che saranno per sempre i Teoremi più importanti di Logica matematica. Certo che la logica ci aiuta, anzi, noi matematici non potremmo farne a meno, ma serve ricordare i limiti della sua potenza.
Mi permetto, benchè non sia un logico di professione, di abbassare l'entusiasmo nei confronti della Logica matematica, fermo restando che tutto quello detto corrisponde al vero.
Nessuno pensa ora che la logica matematica deva fondare la matematica. Ma l'unico modo in cui procede il matematico è: 1)definisce delle strutture, dei concetti, degli oggetti. 2) dimostra che da queste definizioni conseguono logicamente vari teoremi utilizzando un ragionamento LOGICO.
La congettura di Riemann non sarà accettata finché un ragionamento logico non la dimostrerà o confuterà. Se il teorema di Godel dovesse "far perdere l'entusiasmo" nei confronti della logica, allora noi matematici avremmo dei grossi problemi! Il teorema di Godel semplicemente pone dei limiti ai SISTEMI FORMALI in generale, ma non dice ad esempio che qualcuno non riuscirà a definire un sistema formale in cui si dimostri la congettura di Riemann. Anzi, se qualcuno darà una vera dimostrazione logica della congettura, allora certamente si potrà definire un sistema formale soddisfacente, con regole meccaniche di deduzione, in cui la congettura è dimostrabile. Quello che il teorema di Godel dice è che non esiste un sistema formale valido per dimostrare TUTTE le verità aritmetiche. Ma non è così importante! Ciò che è importante è riuscire a risolvere i problemi particolari che ci interessano, e questo, finora, è quello che è successo.
Ciò che quindi non si può negare è che il matematico rigoroso, quando lavora, crea un proprio sistema formale e attraverso deduzioni logiche ne ricave le conseguenze. La Logica cerca di vedere più chiaro in questo, e più progressi farà, meglio sarà per la matematica.
"pjcohen":
Un altro risultato importante: vi ricordate gli infinitesimi di Leibniz? Dopo la rigorizzazione dell'Analisi dell'Ottocento, essi sono stati sostituiti con i più rigorosi limiti e la famosa definizione con gli $\epsilon$ e $\delta$. Bene, grazie alla logica, Robinson, negli anni '60 del novecento, ha esteso i numeri reali ottenendo i numeri iperreali, ovvero i reali con gli infinitesimi, creando una teoria matematica rigorosa che tratta l'Analisi con gli infinitesimi: l'Analisi non standard.
Di questo argomento avevo già sentito parlare, e devo dire che mi incuriosisce parecchio!
Purtroppo il mio corso di laurea non prevedeva nessun corso di Logica e la cosa non è normale, essendo io laureato in Matematica; quel poco che so me lo sono letto per i fatti miei, ma è estremamente difficile studiare logica da autodidatta.
In rifarimento a quello che sottolinea Luca: questa è una cosa veramente straordinaria: una Scienza che riconosca i propri limiti, ma che questo non la freni.
Avevo letto una frase del tipo "Il vertice della ragione umana è riconoscere la propria limitatezza di fronte al reale"; trovo che si adatti bene anche alla logica matematica.
In rifarimento a quello che sottolinea Luca: questa è una cosa veramente straordinaria: una Scienza che riconosca i propri limiti, ma che questo non la freni.
Avevo letto una frase del tipo "Il vertice della ragione umana è riconoscere la propria limitatezza di fronte al reale"; trovo che si adatti bene anche alla logica matematica.
Mi permetto, benchè non sia un logico di professione, di abbassare l'entusiasmo nei confronti della Logica matematica, fermo restando che tutto quello detto corrisponde al vero.
Infatti è pur vero che la Logica in sè funziona benissimo, ma perde la certezza se essa viene usata per strutturare la Matematica; non dimentichiamoci i celebri Teoremi di Godel, i quali affermano due cose principalmente:
1) Se una teoria assiomatica contenente la Teoria dei numeri è coerente, allora necessariamente è incompleta;
2) La coerenza è indecidibile all'interno di ogni Teoria assiomatica dalla quale si deducono le proprietà dei numeri naturali.
Questi Teoremi affermano che l'uomo non riuscirà mai a strutturare sulla Logica una Matematica che si dimostri coerente; il meglio che si può fare è rinunciare alla completezza e sperare nella coerenza.
Trovo infine molto affascinante che la Matematica riesca a parlare di se stessa in modo così sorprendente; essa afferma quali sono i suoi limiti, quello che non può fare, e questo, si badi bene, non succede per le altre scienze. Un'altra prova dell'estrema umiltà della scienza matematica.
Infatti è pur vero che la Logica in sè funziona benissimo, ma perde la certezza se essa viene usata per strutturare la Matematica; non dimentichiamoci i celebri Teoremi di Godel, i quali affermano due cose principalmente:
1) Se una teoria assiomatica contenente la Teoria dei numeri è coerente, allora necessariamente è incompleta;
2) La coerenza è indecidibile all'interno di ogni Teoria assiomatica dalla quale si deducono le proprietà dei numeri naturali.
Questi Teoremi affermano che l'uomo non riuscirà mai a strutturare sulla Logica una Matematica che si dimostri coerente; il meglio che si può fare è rinunciare alla completezza e sperare nella coerenza.
Trovo infine molto affascinante che la Matematica riesca a parlare di se stessa in modo così sorprendente; essa afferma quali sono i suoi limiti, quello che non può fare, e questo, si badi bene, non succede per le altre scienze. Un'altra prova dell'estrema umiltà della scienza matematica.
Dirò in breve di cosa si tratta e quali stupendi risultati offre la logica matematica. Consideriamo ad esempio l'algebra astratta: teoria dei gruppi, anelli, campi ecc.. Gli assiomi che definiscono queste strutture vengono espressi in asserzioni appartenenti a un linguaggio molto semplice, che utilizza quantificatori esistenziali, universali, congiunizioni, negazioni, l'uguaglianza e in genere simboli per una o più operazioni binarie. Ad esempio, in un gruppo $G$, $\forall a\in G$ $\exists a^{-1}$ tale che $aa^{-1}=1$. Questo linguaggio è noto come linguaggio del prim'ordine. Bene, si dimostra che dato un insieme $S$ di asserzioni in questo linguaggio, se una asserzione $A$ è conseguenza logica dell'insieme di asserzioni in $S$, allora è DIMOSTRABILE. Ad, esempio se è vero che ogni gruppo $G$ ha una certa proprietà, e questa proprietà è esprimibile nel linguaggio, allora esiste una dimostrazione che la proprietà è vera! Questo è abbastanza sorpredente. I matematici hanno in genere l'illimitata fiducia che se un'affermazione matematica consegue da certi assiomi, in generale riusciranno a dimostrarla. Ebbene, nella logica del prim'ordine è proprio così.
Un altro risultato importante: vi ricordate gli infinitesimi di Leibniz? Dopo la rigorizzazione dell'Analisi dell'Ottocento, essi sono stati sostituiti con i più rigorosi limiti e la famosa definizione con gli $\epsilon$ e $\delta$. Bene, grazie alla logica, Robinson, negli anni '60 del novecento, ha esteso i numeri reali ottenendo i numeri iperreali, ovvero i reali con gli infinitesimi, creando una teoria matematica rigorosa che tratta l'Analisi con gli infinitesimi: l'Analisi non standard.
Grazie alla logica è stato possibile dimostrare che la famosa ipotesi del continuo (primo problema di Hilbert) non è dimostrabile, né falsificabile a partire dagli attuali assiomi di teoria degli insiemi.
Questi sono soltanto tre esempi, ora la logica è una teoria matematica molto sofisticata e affascinante, e offre degli strumenti e delle verità molto potenti (a chi la riesce a capire pienamente).
Un altro risultato importante: vi ricordate gli infinitesimi di Leibniz? Dopo la rigorizzazione dell'Analisi dell'Ottocento, essi sono stati sostituiti con i più rigorosi limiti e la famosa definizione con gli $\epsilon$ e $\delta$. Bene, grazie alla logica, Robinson, negli anni '60 del novecento, ha esteso i numeri reali ottenendo i numeri iperreali, ovvero i reali con gli infinitesimi, creando una teoria matematica rigorosa che tratta l'Analisi con gli infinitesimi: l'Analisi non standard.
Grazie alla logica è stato possibile dimostrare che la famosa ipotesi del continuo (primo problema di Hilbert) non è dimostrabile, né falsificabile a partire dagli attuali assiomi di teoria degli insiemi.
Questi sono soltanto tre esempi, ora la logica è una teoria matematica molto sofisticata e affascinante, e offre degli strumenti e delle verità molto potenti (a chi la riesce a capire pienamente).
io ancora non ho avuto occasione di seguire un corso di logica, ma lo farò. Penso che sia necessario per un matematico, o per chiunque altro amante della conoscenza, sapere quanto ci si può fidare delle nostre speculazioni
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