Trovare radici complesse di un polinomio

[manu83521]

Ciao a tutti, vi spiego la mia situazione.
Ho da risolvere un integrale abbastanza complicato. Con un po' di passaggi sono riuscito a ridurmi al calcolo di questo:

$intfrac1 (t^5+1) dt$

il polinomio di 5° grado ha ovviamente una radice reale e le altre 4 complesse. Dividendo per $t+1$ ho scomposto il polinomio in $(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)$. Con un po' di calcoli mi sono ricondotto a questo:

$frac1 5 intfrac(-t^3+2t^2-3t+4) (t^4-t^3+t^2-t+1) dt$

ora ho fatto una cosa non molto corretta ... con derive 6 mi sono calcolato le 4 radici complesse coniugate a due a due del polinomio (al denominatore) e moltiplicandole tra loro l'ho scomposto in due polinomi di 2° grado a coefficienti reali, così ho potuto applicare la regola dei fratti semplici e ho finito l'integrale. Però il fatto di usare il computer per calcolarmi le radici non mi va giù, ma non saprei quale altro metodo usare se non andare a tentativi... potete consigliarmi un metodo per trovarle senza l'aiuto di derive?

Grazie.

[manu83521]

Grazie davvero, purtroppo non ci è stato ancora insegnato nessun metodo per i polinomi a radici complesse e non sapevo come fare per trovare le quattro radici ... adesso mi studio bene il tuo metodo così da poterlo riutilizzare se mi serve

[romoletto2]

Il calcolo si può fare anche ...a manina ( con un po' di pazienza).
Le radici di quel polinomio sono le radici quinte di -1 date da:
$t_k=e^(i*((pi+2k pi)/5))$ con k=0,1,2,3,4
Pe k=2 si ottiene $t_2=-1$ mentre le altre radici si dividono in 2 coppie coniugate tra loro.
Precisamente risulta:
${(t_o=e^(i (pi)/5)=cos((pi)/5)+isin((pi)/5)),(t_4=e^(-i (pi)/5)=cos((pi)/5)-isin((pi)/5)):}$
e da qui segue che :
${(t_o + t_4=2cos((pi)/5)=2cos36°=2[1-2sin^2 18°]=(sqrt5+1)/2),(t_o*t_4=1):}$

${(t_1=e^(i (3pi)/5)=cos((3pi)/5)+isin((3pi)/5)),(t_3=e^(-i (3pi)/5)=cos((3pi)/5)-isin((3pi)/5)):}$
e da qui segue che :
${(t_1+t_3=2cos((3pi)/5)=2cos108°=-2sin18°=-(sqrt5-1)/2),(t_1*t_3=1):}$
Ora è:
$t^5+1=(t-t_2)*[(t-t_o)(t-t_4)]*[(t-t_1)(t-t_3)]=(t-t_2)*[t^2-(t_o +t_4)t+t_ot_4]*[t^2-(t_1+t_3)t+t_1t_3]$
Pertanto ,per i calcoli precedenti,si ottiene la decomposizione voluta:
$t^5+1=(t+1)*(t^2-(sqrt5+1)/2t+1)*(t^2+(sqrt5-1)/2t+1)$
Il procedimento può essere esteso ai polinomi del tipo $t^s+-1$ con s intero >2.
Più esattamente si hanno le seguenti formule:
a) $t^(2n)-1=(t^2-1)*prod_(k=1)^(n-1) \text{ } [t^2-2tcos((2k pi)/(2n))+1]$

b) $t^(2n+1)-1=(t-1)*prod_(k=1)^n \text{ }[t^2-2tcos((2k pi)/(2n+1))+1]$

c) $t^(2n+1)+1=(t+1)*prod_(k=1)^n\text{ } [t^2+2tcos((2k pi)/(2n+1))+1]$

d) $t^(2n)+1=prod_(k=0)^(n-1)\text{ } [t^2-2tcos(((2k+1) pi)/(2n))+1]$
Cesare