Seno e coseno senza calcolatrice

[blackdie]

Ho un angolo $alpha$.Voglio calcolarne seno e coseno senza calcolatrice o tavole.Come faccio?



P.s.Considerando che non sono angoli notevoli...

[Nidhogg]

Ecco un esercizio diciamo "chiarificatore" di quello che ancora devi studiare!

Fare una stima dell'errore che si commette calcolando il sendo di un angolo ampio 0,5 radianti, arrestandosi al secondo termine, non nullo, della formula di Maclaurin.

$sen x=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)*cos(varthetax)$ con $(0
Per $x=0,5$, si ha:

$sen (0,5)=0,5-(0,5)^3/(3!)+(0,5)^5/(5!)cos(vartheta*0,5)$

L'espressione:

$0,5-(0,5)^3/(3!)$

approssima per difetto il valore di $sen(0,5)$; l'errore corrispondente, positivo, è:

$R_5=(0,5)^5/(5!)cos(vartheta*0.5)$

Il valore di questo errore non è noto.

Tuttavia si può affermare che esso sarà inferiore a $(0,5)^5/(5!)$, poichè certamente $cos(vartheta*0.5)<1$; è dunque:

$R_5=(0,5)^5/(5!)cos(vartheta*0,5)<(0,5)^5/(5!)=0,03125/120~=2,6*10^(-4)$

Poichè il valore dell'espressione:

$0,5-(0,5)^3/(3!)$

è circa $0.47917$, sarà:

$0.47917

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[blackdie]

mi rispondo da solo:era di ordine 5...che è molto poco...se metto 100 ho un risultato più accettabile...


Cmq quello che mi chiedo io é:non esiste un metodo piu diretto al posto di questo (che mi sembra che si basa su approssimazioni successive su numeri sempre più grandi),nei secoli precedenti facevano cosi?

[blackdie]

Ma scusa

con derive ho:
$sin(32)=0.5514266812$
Poi clicco su calcola/serie di taylor
(ovviamente senza capire che cavol sia
$TAYLOR(SIN(x), x, 0, 5)$

semplica:$ x^5/120 - x^3/6 + x$

sostituisco 32 alla x e mi viene fuori
$2.741909333·10^5$

non mi sembra molto attendibile...

[Nidhogg]

Questi sono concetti che affronterai in 4/5 liceo. Sono formule che si basano sulle derivate e teoremi a loro annessi. Le formule sono una generalizzazione della formula degli accrescimenti finiti.

[blackdie]

sono in seconda liceo...

[Nidhogg]

Scusami blackdie che scuola frequenti? (Questi argomenti si studiano in analisi 4/5 anno scuola superiore)

[blackdie]

ehm....taylor...mclaurin?!?cosa sono.?un esempio?

[Nidhogg]

Ci sono molti metodi per approssimare il coseno, ma le formule di Taylor e Maclaurin sono molto più generali e applicabili ad una infinità di funzioni. E poi molto spesso le approssimazioni risultano specifiche per una funzione e non molto precise (ovviamente questo è sempre da vedere!).

[carlo232]

"blackdie":Ho un angolo $alpha$.Voglio calcolarne seno e coseno senza calcolatrice o tavole.Come faccio?



P.s.Considerando che non sono angoli notevoli...

esiste anche l'approssimazione di Hardy, che trovi in MathWorld nella pagine del coseno, però mi sembra richieda l'estrazione della radice quadrata.

[Nidhogg]

Le formule di Taylor e di Maclaurin permettono di approssimare funzioni derivabili con dei polinomi, quindi con funzioni razionali intere. Ovviamente si commette un errore dato dal resto $R_n$.