Rotazioni in 3D
Sto approfondendo l'argomento e sto facendo fatica a farmi un quadro chiaro della situazione.
Il mio ideale sarebbe trattare la rotazione circa come la traslazione: ogni traslazione è scomponibile secondo tre traslazioni lungo gli assi e la cosa finisce lì, semplice.
Una rotazione può esser vista come composizione di tre rotazioni attorno agli assi?
A legger qui (formule 4, 5 e 6) verrebbe da dire di sì.
Ma due dubbi: perché in (5) il segno - è in $a_13$ e non in $a_31$ come mi sembra più coerente con (4) e (6)?
E soprattutto: la traslazione si risolve con somma di vettori, che è commutativa, mentre la rotazione è rappresentata da una matrice 3x3, ed il prodotto fra queste non è commutativo, quindi diventa influente l'ordine con cui vado a comporre le tre rotazioni attorno agli assi.
Sto approfondendo anche gli angoli di Eulero, ma questo non mi risolve i dubbi espressi sopra.
Se sono stato poco chiaro è proprio perché la situazione non mi è chiara.
Grazie mille a tutti.
Il mio ideale sarebbe trattare la rotazione circa come la traslazione: ogni traslazione è scomponibile secondo tre traslazioni lungo gli assi e la cosa finisce lì, semplice.
Una rotazione può esser vista come composizione di tre rotazioni attorno agli assi?
A legger qui (formule 4, 5 e 6) verrebbe da dire di sì.
Ma due dubbi: perché in (5) il segno - è in $a_13$ e non in $a_31$ come mi sembra più coerente con (4) e (6)?
E soprattutto: la traslazione si risolve con somma di vettori, che è commutativa, mentre la rotazione è rappresentata da una matrice 3x3, ed il prodotto fra queste non è commutativo, quindi diventa influente l'ordine con cui vado a comporre le tre rotazioni attorno agli assi.
Sto approfondendo anche gli angoli di Eulero, ma questo non mi risolve i dubbi espressi sopra.
Se sono stato poco chiaro è proprio perché la situazione non mi è chiara.
Grazie mille a tutti.
Risposte
Ho capito il perché è inevitabile fare rotazioni di volta in volta attorno ad assi già ruotati, mentre cercavo di evitarlo.
Ora sto valutando l'ipotesi di fregarmene di come potrei scomporre la rotazione, considerandola soltanto nel suo complesso..
Ora sto valutando l'ipotesi di fregarmene di come potrei scomporre la rotazione, considerandola soltanto nel suo complesso..
"desko":
Il fatto è che la seconda rotazione avviene attorno alla retta L (come da figura in alto a destra del pdf che hai linkato), non attorno a $x_1$.
Infatti in quelle note non mostra il risultato che ti dicevo, arriva solo a scrivere che una rotazione si può scrivere come $R(\alpha,\beta,\gamma) = R_{z'}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_z(\alpha)$, dove gli indici primati sono riferiti al sistema di riferimento solidale con il corpo rigido.
Poi si dimostra anche che $R_{y'}(\beta) = R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z^{-1}(\alpha)$ e $R_{z'}(\gamma) = R_{y'}(\beta)R_z(\gamma)R_{y'}^{-1}(\beta)$, per cui sostituendo e ricordando che rotazioni intorno allo stesso asse commutano si ha $R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$.
"Eredir":
Con gli angoli di Eulero puoi ricondurti a tre rotazioni intorno agli assi fissi, ovvero puoi scrivere la matrice di rotazione (utilizzando una particolare convenzione, ce ne sono tante) come $R(\alpha,\beta,gamma)=R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$. Il problema è ovviamente trovare gli angoli per la rotazione che interessa.
Il fatto è che la seconda rotazione avviene attorno alla retta L (come da figura in alto a destra del pdf che hai linkato), non attorno a $x_1$.
"Eredir":
Dipende un po' da cosa devi farci,
Sì, infatti; ma non lo so neanch'io esattamente, è tutto da capire.
"Eredir":
se non l'hai già fatto dai un'occhiata alla pagina sulle rappresentazioni delle rotazioni per vedere quale metodo ti è più comodo.
Questa voce di wikipedia mi era sfuggita
"Eredir":
[quote="desko"]Sto cercando, fra Mathworld e Wikipedia (che non è il massimo come fonte, ma finché non ci trovo delle sciocchezze la tengo buona).
Se qualcuno ha qualche altro link ...
Credo vadano bene, bisogna perderci un po' di tempo per capirne il funzionamento purtroppo. Magari puoi dare un'occhiata a questa introduzione concisa.[/quote]
Già scaricata e stampata, grazie. Sembra proprio utile.
"Eredir":
P.S: Cercando "rotazioni eulero" su Google questo thread è in quarta posizione.
Ma con che frequenza aggiornano l'indicizzazione??? Sarà stato un colpo di fortuna ...
"desko":
C'è anhce un'altra differenza: dopo la prima rotazione le successive le fai attorno agli assi ruotati precedentemente; a me invece interessa (credo) scomporre la rotazione di un corpo rigido in tre rotazioni attorno agli assi cartesiani di un sistema di riferimento fisso.
Con gli angoli di Eulero puoi ricondurti a tre rotazioni intorno agli assi fissi, ovvero puoi scrivere la matrice di rotazione (utilizzando una particolare convenzione, ce ne sono tante) come $R(\alpha,\beta,gamma)=R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$. Il problema è ovviamente trovare gli angoli per la rotazione che interessa.
Dipende un po' da cosa devi farci, se non l'hai già fatto dai un'occhiata alla pagina sulle rappresentazioni delle rotazioni per vedere quale metodo ti è più comodo.
"desko":
Sto cercando, fra Mathworld e Wikipedia (che non è il massimo come fonte, ma finché non ci trovo delle sciocchezze la tengo buona).
Se qualcuno ha qualche altro link ...
Credo vadano bene, bisogna perderci un po' di tempo per capirne il funzionamento purtroppo. Magari puoi dare un'occhiata a questa introduzione concisa.
P.S: Cercando "rotazioni eulero" su Google questo thread è in quarta posizione.
"Eredir":
E' abbastanza intuitivo che le rotazioni non commutino, basta prendere un qualsiasi oggetto come un libro e ruotarlo per toccare con mano questo fatto. D'altronde una volta identificate le rotazioni con il gruppo delle matrici ortogonali è chiaro che quest'ultimo non è abeliano.
Finché si è sui libri la cosa si chiude qui: è un gruppo non abeliano; ma quando poi si passa alla pratica come sto cercando di fare io, ecco che la cosa si complica parecchio, nel senso che devo prima capire esattamente cosa mi serve.
"Eredir":
[quote="desko"]Il mio ideale sarebbe trattare la rotazione circa come la traslazione: ogni traslazione è scomponibile secondo tre traslazioni lungo gli assi e la cosa finisce lì, semplice.
Una rotazione può esser vista come composizione di tre rotazioni attorno agli assi?
Puoi scomporre una rotazione in tre tempi utilizzando gli angoli di Eulero. Tuttavia in questo caso non fai tre rotazioni attorno ai tre assi, ma due rotazioni intorno ad un asse più una intorno ad un asse differente.[/quote]
C'è anhce un'altra differenza: dopo la prima rotazione le successive le fai attorno agli assi ruotati precedentemente; a me invece interessa (credo) scomporre la rotazione di un corpo rigido in tre rotazioni attorno agli assi cartesiani di un sistema di riferimento fisso.
"Eredir":
E' un argomento un po' delicato che va visto con un po' di calma, in particolare aiuta molto avere un riferimento con diverse figure.
Sì, molto delicato. Sto cercando di lavorarci con MatLab e anche con Cabri 3D per "toccare con mano" la cosa, ma non è banale.
"Eredir":
Ad esempio io l'ho studiato su Meccanica Quantistica Moderna di J. J. Sakurai, ma non credo ti convenga prendere quel testo. Sono sicuro che tra i vari siti che ne parlano ce ne sarà qualcuno illuminante.
Sto cercando, fra Mathworld e Wikipedia (che non è il massimo come fonte, ma finché non ci trovo delle sciocchezze la tengo buona).
Se qualcuno ha qualche altro link ...
"desko":
Ma due dubbi: perché in (5) il segno - è in $a_13$ e non in $a_31$ come mi sembra più coerente con (4) e (6)?
Una volta fissata una convenzione per l'orientamento degli angoli scriviti esplicitamente dove va a finire un punto ruotato attorno ad un certo asse, ti convincerai che è quella la scelta corretta.
"desko":
E soprattutto: la traslazione si risolve con somma di vettori, che è commutativa, mentre la rotazione è rappresentata da una matrice 3x3, ed il prodotto fra queste non è commutativo, quindi diventa influente l'ordine con cui vado a comporre le tre rotazioni attorno agli assi.
E' abbastanza intuitivo che le rotazioni non commutino, basta prendere un qualsiasi oggetto come un libro e ruotarlo per toccare con mano questo fatto. D'altronde una volta identificate le rotazioni con il gruppo delle matrici ortogonali è chiaro che quest'ultimo non è abeliano.
"desko":
Il mio ideale sarebbe trattare la rotazione circa come la traslazione: ogni traslazione è scomponibile secondo tre traslazioni lungo gli assi e la cosa finisce lì, semplice.
Una rotazione può esser vista come composizione di tre rotazioni attorno agli assi?
Puoi scomporre una rotazione in tre tempi utilizzando gli angoli di Eulero. Tuttavia in questo caso non fai tre rotazioni attorno ai tre assi, ma due rotazioni intorno ad un asse più una intorno ad un asse differente.
E' un argomento un po' delicato che va visto con un po' di calma, in particolare aiuta molto avere un riferimento con diverse figure. Ad esempio io l'ho studiato su Meccanica Quantistica Moderna di J. J. Sakurai, ma non credo ti convenga prendere quel testo. Sono sicuro che tra i vari siti che ne parlano ce ne sarà qualcuno illuminante.
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