Quesito su definizione ed esistenza
Mi è sorto un dubbio: in generale se io definisco un certo ente e l'ambito in cui vive, devo anche provarne l'esistenza?Se sì, una definizione di tipo "costruttiva" implica anche l'esistenza dell'ente?
Provo a fare un esempio:
Sia $A$ un operatore lineare che agisce sugli elementi dello spazio vettoriale $CC^n$ con $n$ finito, dotato di prodotto interno, mandandoli nel medesimo spazio, dati sue vettori $x$ ed $y$ se $A$ agisce su $x$ da sinistra, si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^+$ quell'operatore tale per cui: $y*(Ax)=(yA^+)*x$.
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Provo a fare un esempio:
Sia $A$ un operatore lineare che agisce sugli elementi dello spazio vettoriale $CC^n$ con $n$ finito, dotato di prodotto interno, mandandoli nel medesimo spazio, dati sue vettori $x$ ed $y$ se $A$ agisce su $x$ da sinistra, si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^+$ quell'operatore tale per cui: $y*(Ax)=(yA^+)*x$.
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Risposte
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Ho riguardato tutti i teoremi di analisi di funzioni di variabile reale, anche in più variabile, prestando particolare attenzione alle ipotesi, in particolare se si richiede che la funzione sia definita su insiemi aperti e chiusi, o se la tesi è valida per insiemi aperti e chiusi: non avevo mai prestato davvero attenzione a questo aspetto veramente importante, allora ho preso un testo di topologia per iniziare a capire meglio le basi della analisi, approfondendo proprietà degli intervalli che sono più "primitive" anche delle proprietà metriche...è un approfondimento molto gratificante.
Certo: il concetto fondamentale dell'analisi è quello di limite, e il limite è un concetto topologico.
Ho riguardato tutti i teoremi di analisi di funzioni di variabile reale, anche in più variabile, prestando particolare attenzione alle ipotesi, in particolare se si richiede che la funzione sia definita su insiemi aperti e chiusi, o se la tesi è valida per insiemi aperti e chiusi: non avevo mai prestato davvero attenzione a questo aspetto veramente importante, allora ho preso un testo di topologia per iniziare a capire meglio le basi della analisi, approfondendo proprietà degli intervalli che sono più "primitive" anche delle proprietà metriche...è un approfondimento molto gratificante.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="GIOVANNI IL CHIMICO"]Penso di essere abbastanza onesto nell'affermare che per non ha senso parlare della tesi di un teorema se non so quali sono le ipotesi sotto cui tale tesi è vera.
Ottimo: questo (credimi) non vale per tutti...[/quote]
Compreso qualche prof.
(con cui non a caso ho avuto da ridire)
Però Lorenzo Pantieri sembra interessante! Finisco di guardare la partita poi vado a leggerlo subito !
!
Anche a me non appaiono nè banali nè perdita di tempo ma piuttosto concetti fondamentali di Analisi ! 
"Sandokan.":
Io non sono per nulla d'accordo con te. Perdere tanto tempo per studiare alla perfezione tutte quelle cose che hai citato, e che in fondo in fondo sono abbastanza noiose se non banali!
Beh, il fatto di essere in disaccordo con uno che pensa che limiti, continuità, differenziabilità, integrabilità, sviluppabilità in serie... siano "cose banali" e che studiarle bene significa "perdere tempo", mi consola assai!
"Lorenzo Pantieri":
[quote="GIOVANNI IL CHIMICO"]Il problema è proprio che il programma dei corsi di analisi che ho seguito era quello che nei paesi anglofoni chiamano "calculus", ossia calcolo di integrali, ricerca di primitive, soluzione di problemi di cauchy, determinare massimi e minimi, flussi e campi vettoriali etc etc mentre ora vorrei iniziare a capire l'analisi vera e propria. In un certo senso vorrei porre rimendio allla tendenza ingegneristica di essere poco rigorosi.
Ho dato per tanti anni lezioni private a studenti di ingegneria. Ora ti chiedo: sai definire con precisione che cosa si intende per limite, per funzione continua? Che cosa vuol dire che una funzione è integrabile secondo Riemann? E secondo Lebesgue? Conosci il legame che c'è tra il concetto di "essere integrabile" ed "avere una primitiva"? Quali sono le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale? Che cosa vuol dire che una funzione è analitica? Sai citare un esempio di funzione infinitamente derivanile ma non analitica? Quand'è che una funzione è differenziabile? Che legame c'è con la derivabilità? Conosci una funzione differenziabile ma non $C^1$? Conosci i criteri di convergenza delle serie (comprese le ipotesi sotto le quali puoi applicarli)? Che cosa vuol dire che una forma differenziale è chiusa? Ed esatta? Che legame c'è tra le due nozioni? E ancora: sai citare una condizione necessaria ed una sufficiente perché un punto sia di massimo (di minimo) relativo per una funzione di una variabile? E per una funzione di due variabili? Data una funzione di una variabile, sai come si trova l'immagine? E come si tratta il caso di una funzione di due variabili? Che cosa vuol dire che una serie di funzioni converge totalmente, uniformemente, puntualmente, in media quadratica?
Eccetera.
Se conosci con sicurezza tutte queste (ed altre!) cose, se in pariticolare conosci non solo le tesi dei teoremi, ma anche le ipotesi, se sai risolvere un buon numero di esercizi "notevoli"...... allora "ti do il permesso" di passare a studiare l'ipotesi del continuo, il lemma di Zorn, l'assioma di scelta, la teoria ZFC, ....
Buon lavoro,
L.[/quote]
Io non sono per nulla d'accordo con te. Perdere tanto tempo per studiare alla perfezione tutte quelle cose che hai citato, e che in fondo in fondo sono abbastanza noiose se non banali! Io invece consiglio il nostro Giovanni di passare subito ad argomenti piu' eccitanti (ottimo esempio la teoria delle distribuzioni) tanto avra' sempre modo di colmare le sue lacune man mano che se ne presentera' il bisogno!
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Le mie spine nel fianco sono i concetti di funzione analitica, la teoria dell'integrale di lebesgue e le serie, sia numeriche che di funzione.
Argomenti importantissimi, che meritano di essere a fondo meditati. Comincia dalle serie numeriche, poi passa alle succesioni e alle serie di funzioni, con i diversi tipi di convergenza. Poi tocca all'integrale di Lebesgue, con particolare riguardo agli insiemi di misura nulla e alle funzioni sommabili. Il Pagani Salsa è un ottimo punto di partenza, se hai dubbi posta tranquillamente.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Penso di essere abbastanza onesto nell'affermare che per non ha senso parlare della tesi di un teorema se non so quali sono le ipotesi sotto cui tale tesi è vera.
Ottimo: questo (credimi) non vale per tutti...
"GIOVANNI IL CHIMICO":
non si può pensare di fare l'analisi reale di funzioni anche di più variabili, nonchè le equazioni differenziali, la topologia di R^2 e l'analisi vettoriale in 4 mesi!!!
Assolutamente d'accordo. Io per capire bene le serie ci ho messo un intero anno accademico (poco male: il corso era annuale!). In 4 mesi non ce l'avrei certo fatta.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Al primo ciclo della specialistica c'è un corso di analisi Ls, il programma verte addirittura sull'analisi funzionale, fin'anche agli spazi di Sobolev e ai metodi dii approssimazione tipo Galerkin, con accenni della teoria delle distribuzioni, derivata debole etc etc
Per questo prima di affrontare questo programma tremendo e meraviglioso vorrei preparare solide basi.
...quindi l'integrale di Lebesgue non può essere una spina nel tuo fianco!
P.S.
Dopo che avrai fatto tutte queste cose, come "stacco" potresti dare una letta al mio libro sulla storia delle funzioni e delle distribuzioni: è molto facile, è ricco di curiosità sull'analisi (lo sapevi che Lagrange credeva che tutte le funzioni fossero analitiche? E che Cauchy pensava che la somma di una serie di funzioni continue fosse sempre continua? E che per capire che una funzione può non essere continua ci sono voluti secoli?); se studi analisi ci trovi tante informazioni che potresti trovare interessanti.
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... uzioni.pdf
Ciao,
L.
Ciao, diciamo che gran parte degli argomenti che tu hai citato li conosco e che per gran parte di quelli su cui posso avere qualche lacuna od incertezza ho sottomano i testi necessari a colmare tali lacune. Le mie spine nel fianco sono i concetti di funzione analitica, la teoria dell'integrale di lebesgue e le serie, sia numeriche che di funzione.
Penso di essere abbastanza onesto nell'affermare che per non ha senso parlare della tesi di un teorema se non so quali sono le ipotesi sotto cui tale tesi è vera.
I corsi di analisi che ho seguito sono stati tenuti dalla professoressa Citti, che tu conoscerai certamente. Dire che sia stata molto brava è limitativo e se ci sono state lacune sono dovute sia alla brevità dei corsi sia alla mia gnuccaggine: non si può pensare di fare l'analisi reale di funzioni anche di più variabili, nonchè le equazioni differenziali, la topologia di R^2 e l'analisi vettoriale in 4 mesi!!!
Al primo ciclo della specialistica c'è un corso di analisi Ls, il programma verte addirittura sull'analisi funzionale, fin'anche agli spazi di Sobolev e ai metodi dii approssimazione tipo Galerkin, con accenni della teoria delle distribuzioni, derivata debole etc etc
Per questo prima di affrontare questo programma tremendo e meraviglioso vorrei preparare solide basi.
Penso di essere abbastanza onesto nell'affermare che per non ha senso parlare della tesi di un teorema se non so quali sono le ipotesi sotto cui tale tesi è vera.
I corsi di analisi che ho seguito sono stati tenuti dalla professoressa Citti, che tu conoscerai certamente. Dire che sia stata molto brava è limitativo e se ci sono state lacune sono dovute sia alla brevità dei corsi sia alla mia gnuccaggine: non si può pensare di fare l'analisi reale di funzioni anche di più variabili, nonchè le equazioni differenziali, la topologia di R^2 e l'analisi vettoriale in 4 mesi!!!
Al primo ciclo della specialistica c'è un corso di analisi Ls, il programma verte addirittura sull'analisi funzionale, fin'anche agli spazi di Sobolev e ai metodi dii approssimazione tipo Galerkin, con accenni della teoria delle distribuzioni, derivata debole etc etc
Per questo prima di affrontare questo programma tremendo e meraviglioso vorrei preparare solide basi.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Il problema è proprio che il programma dei corsi di analisi che ho seguito era quello che nei paesi anglofoni chiamano "calculus", ossia calcolo di integrali, ricerca di primitive, soluzione di problemi di cauchy, determinare massimi e minimi, flussi e campi vettoriali etc etc mentre ora vorrei iniziare a capire l'analisi vera e propria. In un certo senso vorrei porre rimendio allla tendenza ingegneristica di essere poco rigorosi.
Ho dato per tanti anni lezioni private a studenti di ingegneria. Ora ti chiedo: sai definire con precisione che cosa si intende per limite, per funzione continua? Che cosa vuol dire che una funzione è integrabile secondo Riemann? E secondo Lebesgue? Conosci il legame che c'è tra il concetto di "essere integrabile" ed "avere una primitiva"? Quali sono le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale? Che cosa vuol dire che una funzione è analitica? Sai citare un esempio di funzione infinitamente derivanile ma non analitica? Quand'è che una funzione è differenziabile? Che legame c'è con la derivabilità? Conosci una funzione differenziabile ma non $C^1$? Conosci i criteri di convergenza delle serie (comprese le ipotesi sotto le quali puoi applicarli)? Che cosa vuol dire che una forma differenziale è chiusa? Ed esatta? Che legame c'è tra le due nozioni? E ancora: sai citare una condizione necessaria ed una sufficiente perché un punto sia di massimo (di minimo) relativo per una funzione di una variabile? E per una funzione di due variabili? Data una funzione di una variabile, sai come si trova l'immagine? E come si tratta il caso di una funzione di due variabili? Che cosa vuol dire che una serie di funzioni converge totalmente, uniformemente, puntualmente, in media quadratica?
Eccetera.
Se conosci con sicurezza tutte queste (ed altre!) cose, se in pariticolare conosci non solo le tesi dei teoremi, ma anche le ipotesi, se sai risolvere un buon numero di esercizi "notevoli"...... allora "ti do il permesso" di passare a studiare l'ipotesi del continuo, il lemma di Zorn, l'assioma di scelta, la teoria ZFC, ....
Buon lavoro,
L.
Il problema è proprio che il programma dei corsi di analisi che ho seguito era quello che nei paesi anglofoni chiamano "calculus", ossia calcolo di integrali, ricerca di primitive, soluzione di problemi di cauchy, determinare massimi e minimi, flussi e campi vettoriali etc etc mentre ora vorrei iniziare a capire l'analisi vera e propria. In un certo senso vorrei porre rimendio allla tendenza ingegneristica di essere poco rigorosi.
Eh eh non a caso ho scelto proprio zorn come nick... Il suo lemma interviene sempre...
Dai l'assioma della scelta una curiosità? Appunto, e il teorema di Hahn Banch come lo provano? Oppure quello degli ultrafiltri?
E' ovvio che se invece ci si limita al calcolo non lo si menziona esplicitamente...
Il suo lemma interviene sempre...Dai l'assioma della scelta una curiosità? Appunto, e il teorema di Hahn Banch come lo provano? Oppure quello degli ultrafiltri?
E' ovvio che se invece ci si limita al calcolo non lo si menziona esplicitamente...
Quando seguivo il corso di Metodi matematici ad ingegneria elettronica il prof (Carlo Minnaja, il mio mito!!!) ci nominò per la prima volta l'assioma della scelta perché serviva per giustificare non mi ricordo cosa e ci disse:"Ragazzi, questo passaggio è garantito dall'assioma della scelta, che in buona sostanza dice che se volete fare un minestrone di piselli prendendo a vostro piacimento un pisello da ogni sacco di un insieme infinito, beh, ecco il minestrone lo riuscite a fare". Da quel giorno nessuno ce lo nominò piú...e ho sempre pensato che fosse un vero peccato perché a me il minestrone di piselli piace da morire...
P.S.: ah, dimenticavo, neppure al colloquio per l'assunzione mi hanno chiesto se sapevo l'assioma della scelta...chissà come mai...
P.S.: ah, dimenticavo, neppure al colloquio per l'assunzione mi hanno chiesto se sapevo l'assioma della scelta...chissà come mai...
"irenze":
Dipende analisi a quale livello!!!
Ovvio.
"irenze":
A me al terzo anno (Topologia, Analisi Funzionale, ecc.) l'assioma di scelta è "servito".
Il ragazzo che ha fatto la (legittima) domanda è uno studente di ingegneria. Chi pensa che davvero gli serva (per chiarire le sue conoscenze di analisi) studiare l'assioma della scelta per me è fuori strada.
"irenze":
Se invece parliamo dei corsi di calcolo (derivate, integrali, funzioni di più variabili ecc.) potrei persino essere d'accordo con te.
Fiuuuu: sono sollevato!
"Lorenzo Pantieri":
L'ho detto e lo ripeto: per uno studente universitario che studia analisi queste cose sono sostanzialmente una curiosità. (Per un ricecatore le cose possono essere anche diverse, ma non stiamo discutendo di questo.) Io mi sono laureato in matematica e in fisica a Bologna (che non credo si possa definire un'università di secondo piano) e a lezione ne ho sentito parlare una sola volta (un fugace accenno durante una lezione di Algebra). Stop.
Io, a Napoli, ne ho sentito parlare abbastanza spesso...
"Lorenzo Pantieri":
Facciamo così: tu mi citi dei teoremi di analsi che vengono studiati (con la loro dimostrazione) nei vari corsi di laurea dagli studenti, facciamo un elenco e vediamo quanto "centrale" sia, per uno studente, la conoscenza di questo risultato.
E non l'ho gia' fatto? Ti ho citato il teorema di Hahn-Banach... Ma oltre a questo teorema, moltissimi risultati di esistenza nell'analisi dipendono dall'assioma della scelta. Non parliamo poi del teorema di Tychonoff, che e' addirittura equivalente all'assioma della scelta, e che secondo me e' forse il piu' importante risultato di topologia!
Dipende analisi a quale livello!!!
A me al terzo anno (Topologia, Analisi Funzionale, ecc.) l'assioma di scelta è "servito".
Se invece parliamo dei corsi di calcolo (derivate, integrali, funzioni di più variabili ecc.) potrei persino essere d'accordo con te.
A me al terzo anno (Topologia, Analisi Funzionale, ecc.) l'assioma di scelta è "servito".
Se invece parliamo dei corsi di calcolo (derivate, integrali, funzioni di più variabili ecc.) potrei persino essere d'accordo con te.
"Sandokan.":
[quote="Lorenzo Pantieri"]Per uno studente universitario che studia analisi l'assioma di scelta è forse solo una curiosità.
Addirittura solo una curiosita'? Non credo... tantissimi risultati fondamentali dipendono da quell'assioma... per esempio il teorema di Hahn-Banach come si dimostrerebbe senza farne uso? E senza questo teorema larghe parti dell'analisi non sarebbero certo possibili![/quote]
L'ho detto e lo ripeto: per uno studente universitario che studia analisi queste cose sono sostanzialmente una curiosità. (Per un ricecatore le cose possono essere anche diverse, ma non stiamo discutendo di questo.) Io mi sono laureato in matematica e in fisica a Bologna (che non credo si possa definire un'università di secondo piano) e a lezione ne ho sentito parlare una sola volta (un fugace accenno durante una lezione di Algebra). Stop.
Immagino che per un allievo ingegnere sia altamente probabile che non venga fatto neppure un accenno a questo assioma.
Facciamo così: tu mi citi dei teoremi di analsi che vengono studiati (con la loro dimostrazione) nei vari corsi di laurea dagli studenti, facciamo un elenco e vediamo quanto "centrale" sia, per uno studente, la conoscenza di questo risultato.
Se un ragazzo vuole dare una bella ripassata all'analisi, l'assioma di scelta lo lascerei fra le ultime cose, se proprio avanza tempo.
Sì, sono d'accordo, per altro l'intera analisi convessa si appoggia al Teorema di Hahn-Banach.
Io sono un sostenitore dell'assioma della scelta/lemma di Zorn. E' indipendente dai restanti assiomi e compatibile, per cui è "a prova di bomba".
Io sono un sostenitore dell'assioma della scelta/lemma di Zorn. E' indipendente dai restanti assiomi e compatibile, per cui è "a prova di bomba".
"Luca.Lussardi":
Sì, sono logicamente equivalenti, ma il Teorema di Hahn Banach si dimostra usando la "versione" Lemma di Zorn.
Certo! Posso chiederti se concordi con me sul fatto che larghe porzioni dell'analisi non sarebbero possibili senza questo fondamentale teorema?
Sì, sono logicamente equivalenti, ma il Teorema di Hahn Banach si dimostra usando la "versione" Lemma di Zorn.
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