Quesito su definizione ed esistenza
Mi è sorto un dubbio: in generale se io definisco un certo ente e l'ambito in cui vive, devo anche provarne l'esistenza?Se sì, una definizione di tipo "costruttiva" implica anche l'esistenza dell'ente?
Provo a fare un esempio:
Sia $A$ un operatore lineare che agisce sugli elementi dello spazio vettoriale $CC^n$ con $n$ finito, dotato di prodotto interno, mandandoli nel medesimo spazio, dati sue vettori $x$ ed $y$ se $A$ agisce su $x$ da sinistra, si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^+$ quell'operatore tale per cui: $y*(Ax)=(yA^+)*x$.
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Provo a fare un esempio:
Sia $A$ un operatore lineare che agisce sugli elementi dello spazio vettoriale $CC^n$ con $n$ finito, dotato di prodotto interno, mandandoli nel medesimo spazio, dati sue vettori $x$ ed $y$ se $A$ agisce su $x$ da sinistra, si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^+$ quell'operatore tale per cui: $y*(Ax)=(yA^+)*x$.
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Risposte
"Luca.Lussardi":
In effetti per un analista più che l'assioma della scelta è fondamentale conoscere il Lemma di Zorn; per inciso la versione analitica del Teorema di Hahn Banach si dimostra proprio sfruttando il Lemma di Zorn e non l'assioma della scelta.
Ma scusa, il lemma di Zorn e l'assioma della scelta non sono modi diversi di dire la stessa cosa?
In effetti per un analista più che l'assioma della scelta è fondamentale conoscere il Lemma di Zorn; per inciso la versione analitica del Teorema di Hahn Banach si dimostra proprio sfruttando il Lemma di Zorn e non l'assioma della scelta.
"Lorenzo Pantieri":
Per uno studente universitario che studia analisi l'assioma di scelta è forse solo una curiosità.
Addirittura solo una curiosita'? Non credo... tantissimi risultati fondamentali dipendono da quell'assioma... per esempio il teorema di Hahn-Banach come si dimostrerebbe senza farne uso? E senza questo teorema larghe parti dell'analisi non sarebbero certo possibili!
Il Pagani Salsa è davvero splendido, in questo momento sto studiando la Teoria della misura di Lebesgue.
Tuttavia mi rendo conto che anche se conosco i teoremi fondamentali e le loro dimostrazioni il modo di procedere dell'analisi non mi è ancora proprio. E' una essenza sottile, che mi sfugge ancora.
Tuttavia mi rendo conto che anche se conosco i teoremi fondamentali e le loro dimostrazioni il modo di procedere dell'analisi non mi è ancora proprio. E' una essenza sottile, che mi sfugge ancora.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Penso che tu abbia ragione, interessante il paragone con il quinto postulato di euclide.
Io in questo periodo sto cercando di dare una sistemata alle mie nozioni di analisi per poter affrontare al meglio la specialistica, anche perchè vorrei avere una solida e ben fornita "cassetta degli attrezzi" per affrontare la termofluidodinamica e la meccanica strutturale che incontrerò nei prossimi esami.
Allora non insisterei più di tanto sul'assioma della scelta, ripasserei le nozioni di base dell'analisi su un buon testo (il Pagani-Salsa è splendido) e, non dimenticherei di dare una rinfrescata agli esercizi.
Penso che tu abbia ragione, interessante il paragone con il quinto postulato di euclide.
Io in questo periodo sto cercando di dare una sistemata alle mie nozioni di analisi per poter affrontare al meglio la specialistica, anche perchè vorrei avere una solida e ben fornita "cassetta degli attrezzi" per affrontare la termofluidodinamica e la meccanica strutturale che incontrerò nei prossimi esami.
Io in questo periodo sto cercando di dare una sistemata alle mie nozioni di analisi per poter affrontare al meglio la specialistica, anche perchè vorrei avere una solida e ben fornita "cassetta degli attrezzi" per affrontare la termofluidodinamica e la meccanica strutturale che incontrerò nei prossimi esami.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Non so se è deciosivo per l'analisi, di certo è importante per me, dal momento che ne ho spesso sentito parlare ma non l'ho mai studiato.
Per uno studente universitario che studia analisi l'assioma di scelta è forse solo una curiosità. Una volta andava molto di moda parlarne, oggi meno.
Secondo me la cosa interessante è che questo assioma sia indipendente dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Frankel: va aggiunto espressamente (un po' come il quinto postulato della geometria euclidea).
Non so se è deciosivo per l'analisi, di certo è importante per me, dal momento che ne ho spesso sentito parlare ma non l'ho mai studiato.
Grazie per il link!
Grazie per il link!
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Purtroppo Lorenzo la tua notazione mi è ignota, stai forse parlando di classi di equivalenza o di classi di modulo assegnato?
Sì.
Per Giovanni: dubito fortemente che l'assioma di scelta possa essere definito "il passo decisivo per capire l'analisi". Comunque: http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_della_scelta
Purtroppo Lorenzo la tua notazione mi è ignota, stai forse parlando di classi di equivalenza o di classi di modulo assegnato?
ok.
Devo ammettere che sto iniziando a capire cos'è l'analisi....
Ora siamo al passo decisivo: cos'è l'assioma della scelta?
Devo ammettere che sto iniziando a capire cos'è l'analisi....
Ora siamo al passo decisivo: cos'è l'assioma della scelta?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Con ben posta intendi che non contraddice alcun teorema od assioma della teoria?
Sì. Tutti gli oggetti matematici devono essere "ben definiti": se non lo sono, c'è una contraddizione.
Oltre a quello che dice Zorn, ti faccio un esempio di oggetto "mal definito". Considera la funzione da $Z_2$ a $Z_4$ così definita: $f([a]_2)=[a]_4$ e chiediti (per esempio) se è iniettiva.
Sì, deve essere consistente con tutta la teoria. La non costruibilità di solito dipende dall'uso dell'assioma della scelta (o qualche forma equivalente tipo lemma di Zorn)...
Con ben posta intendi che non contraddice alcun teorema od assioma della teoria?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Mi è sorto un dubbio: in generale se io definisco un certo ente e l'ambito in cui vive, devo anche provarne l'esistenza?Se sì, una definizione di tipo "costruttiva" implica anche l'esistenza dell'ente?
Provo a fare un esempio:
Sia $A$ un operatore lineare che agisce sugli elementi dello spazio vettoriale $CC^n$ con $n$ finito, dotato di prodotto interno, mandandoli nel medesimo spazio, dati sue vettori $x$ ed $y$ se $A$ agisce su $x$ da sinistra, si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^+$ quell'operatore tale per cui: $y*(Ax)=(yA^+)*x$.
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Si deve sempre dimostrare che una definizione è ben posta. Nella definizione di operatore aggiunto, si dovrebbe dimostrare, a rigore, che quella relazione definisce effettivamente un operatore lineare, e che tale operatore è unico.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
In questo caso ho definito $A^+$ senza "costruirlo", esplicitamente, a questo punto prima di poterlo usare devo anche dimostrare che $A^+$ esiste, oppure no?
Se devi usarlo per dimostrare l'esistenza di qualche altro oggetto, allora e' ovvio che devi prima far vedere che $A^+$ esiste (e questo e' diverso dal dire che devi costruirlo esplicitamente).
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