Plonomio di grado maggiore

[nato_pigro1]

Non sapevo bene come intotolare il topic... comunque...

dato un qualsiasi polinomio del tipo $a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

trovare per quali valori di $x$, con $x in NN$, vale che $a_nx^n>a_(n-1)x^(n-1)+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

cioè qual è il valore più piccolo che puà assumere $x$ per cui valga che il termine di grado maggiore del polinomio sia maggiore di tutti gli altri termini, di grado minore, del polinomio.

Non so se sono stato chiaro...

[Steven11]

Un paio di cosette.

$|a_(n-1)x^(n-1)|+|a_(n-2)x^(n-2)|+...+|a_0|<=|a_(n-1)|x^(n-1)+|a_(n-2)|x^(n-2)+...+|a_0|$
Perchè imposti la disequazione? Dal momento che abbiamo considerato gli $x$ naturali, non dovrebbe essere un'uguaglianza?

Poi, quando ipotizzi $x=1$ dici che è necessario
$|a_n|>=sum_(i=0)^(n-1)|a_i|$
Perchè hai messo i moduli?
Sostituendo $x=1$ nel polinomio ottendiamo semmai
$a_n>=sum_(i=0)^(n-1)a_i$

Grazie & ciao.

[alex231]

In effetti non sei stato molto chiaro , per tua fortuna sto lavorando a un algoritmo per trovare un intervallo in cui cercare gli zeri di un polinomio e ho già affrontato in un certo senzo la questione:

Consideriamo solo gli n termini di grado inferiore a n

$a_(n-1)x^(n-1)+a_(n-2)x^(n-2)+...+a_0$

e sia a il più grande in valore assoluto degli $a_i$ per i =0,...,n-1 siccome le $xestNN$ sono sicuramente positive vale la seguente catena di disuguaglianze

$a_(n-1)x^(n-1)+a_(n-2)x^(n-2)+...+a_0<=$
$<= |a_(n-1)x^(n-1)+a_(n-2)x^(n-2)+...+a_0|<=$
$<=|a_(n-1)x^(n-1)|+|a_(n-2)x^(n-2)|+...+|a_0|<=$
$<=|a_(n-1)|x^(n-1)+|a_(n-2)|x^(n-2)+...+|a_0|<=$
$<=ax^(n-1)+ax^(n-2)+...+a$

Se fosse x=0 la tua ricerca avrebbe senso solo se fosse anche $a_0=0$, se invece fosse x=1 il numero cercato allora avrebbe senso solo se $|a_n|>= sum_(i=0)^(n-1)|a_i|$, escludendo questi casi possiamo dedicarci ai casi in cui $x>=2$, per i quali possiamo effettuare un ulteriore maggiorazione

$ax^(n-1)+ax^(n-2)+...+a<=ax^(n-1)+ax^(n-1)+...+ax^(n-1)=nax^(n-1)$

adesso stiamo cercando di trovare la più piccola soluzione intera maggiore di 2 alla disequazione

$a_nx^n>=nax^(n-1)$

che poichè siamo ancora nell'ipotesi x$>=$2 diventa

$a_nx>=na$

cioè devi prender il più piccolo intero per cui si ha

$x>=(na)/a_n$

Naturalmente per i miei calcoli ho usato il $<=$ nell'ultima disequazione al posto del $>=$, ma il concetto dovrebbe essere quello che cerchi tu.