$\pi=0$
$e^{2\pi i}=1$; dunque $e^{1+2\pi i}=e$ e quindi $(e^{1+2\pi i})^{1+2 \pi i}=e^{1+2\pi i}=e$. Ma allora $e^{(1+2\pi i)^2}=e$ da cui $e^{-4\pi^2+1+4\pi i}=e$ e allora $e^{-4\pi^2}=1$ da cui $-4 \pi^2=0$, e finalmente $\pi=0$.
Risposte
"leev":
Quindi, alla fine della fiera, cos'é che mandava in vacca il ragionamento?
Si confondono patatine e pop corn (diverse diramazioni del logaritmo)?!
Si...
o più semplicemente che l'esponenziale complessa è funzione periodica e come tutte le funzioni periodiche non è iniettiva!!
Ciao a tutti,
a me pare evidente che nel campo complesso la funzione $e^z$ non è iniettiva e, quindi, $e^a=e^b$ non prova che $a=b$.
a me pare evidente che nel campo complesso la funzione $e^z$ non è iniettiva e, quindi, $e^a=e^b$ non prova che $a=b$.
Quindi, alla fine della fiera, cos'é che mandava in vacca il ragionamento?
Si confondono patatine e pop corn (diverse diramazioni del logaritmo)?!
Si confondono patatine e pop corn (diverse diramazioni del logaritmo)?!
Io la sapevo così. Si ha che $0=1$.
Da $e^{2n\pi i}=1$ segue che
$e^{1+2n\pi i}=e$, poi
$(e^{1+2n\pi i})^{1+2n\pi i}=e^{1+2n\pi i}=e$, per cui
$e^{1+4n\pi i-4n^2\pi^2}=e$, e infine $e^{4n\pi i-
4n^2\pi^2}=1$. Mandando $n\to+\infty$ si ha la tesi.
Ciao,
L.
Da $e^{2n\pi i}=1$ segue che
$e^{1+2n\pi i}=e$, poi
$(e^{1+2n\pi i})^{1+2n\pi i}=e^{1+2n\pi i}=e$, per cui
$e^{1+4n\pi i-4n^2\pi^2}=e$, e infine $e^{4n\pi i-
4n^2\pi^2}=1$. Mandando $n\to+\infty$ si ha la tesi.
Ciao,
L.
"Eredir":
Certe identità valgono in una particolare diramazione ma non in generale, perciò bisogna stare attenti ad usarle.
Concordo!!
quando sopra ho verificato la validità di una proprietà delle potenze davo per scontato che avessimo già fissato la diramazione principale...(scusate se non sono stato chiaro)
"Cantaro86":
dipende dalle notazioni!!! (su molti libri e dispense che puoi trovare in rete puoi vedere che utilizzano entrambe le notazioni... se non mi credi te ne posso passare qualcuno)
io con quel $lnz$ intendevo il logaritmo complesso definito proprio come è definito nella pagina di wiki $logz=log|z|+iarg(z)$
e così viene!!!!
Quella che ho scritto è l'espressione per il logaritmo complesso in generale.
Se ci limitiamo alla diramazione (o ramo) principale allora l'espressione è quella che hai scritto tu.
Certe identità valgono in una particolare diramazione ma non in generale, perciò bisogna stare attenti ad usarle.
"leev":
[quote="Cantaro86"]usando la definizione:
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
Credo che qua non sia troppo ben definito quel $lne^z$.
per esempio $lne^(2pi i)=0$, ma facendo come hai fatto tu, avremmo $lne^(2pi i)=2pi i lne = 2pi i$.[/quote]
$log1=0=log(e^(2ikpi))=log|e^(2ikpi)|+iarg(e^(2ikpi))=0+i2kpi$
e qui possiamo aprire un discorso lunghissimo sulle funzioni polidrome...
il fatto è che bisogna limitare l'argomento di z (ovvero fare una diramazione)
fatta questa, per esempio $0<=argz<2pi$ vediamo che (essendo k=0) $2ipik=0$ e tutto torna!!!
"Eredir":
[quote="Cantaro86"]usando la definizione:
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
Perchè $log(z)=ln(r)+i(\theta+2\pik)$, dove con $log(z)$ intendo il logaritmo complesso e con $ln(r)$ quello reale.[/quote]
questo è quello che intendi tu!!!!
dipende dalle notazioni!!! (su molti libri e dispense che puoi trovare in rete puoi vedere che utilizzano entrambe le notazioni... se non mi credi te ne posso passare qualcuno)
io con quel $lnz$ intendevo il logaritmo complesso definito proprio come è definito nella pagina di wiki $logz=log|z|+iarg(z)$
e così viene!!!!
"Cantaro86":
usando la definizione:
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
Perchè $log(z)=ln(r)+i(\theta+2\pik)$, dove con $log(z)$ intendo il logaritmo complesso e con $ln(r)$ quello reale.
"Cantaro86":
usando la definizione:
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
Credo che qua non sia troppo ben definito quel $lne^z$.
per esempio $lne^(2pi i)=0$, ma facendo come hai fatto tu, avremmo $lne^(2pi i)=2pi i lne = 2pi i$.
"Luca.Lussardi":
Per altro sui testi non viene nemmeno definita la potenza $z^w$ quando sia $z$ sia $w$ sono complessi e non reali.
A me sembra che venga definita semplicemente come $z^w=e^(wlog(z))$, ma ovviamente è una funzione a più valori. Chiaramente da questo segue che non valgono le consuete regole delle potenze reali.
Un esempio viene dato nella pagina di Wikipedia sulle potenze.
P.S: Tra l'altro nella stessa pagina si trova anche la cara vecchia questione dello $0^0$.
"giacor86":
beh ma il fatto non è analogo a dire $sen(0)=sen(2pi)$ da cui $0 = 2pi$?
si è la stessa cosa infatti si dimostra che $è^z=1$ solo per $z=2kpii$
sia il $sin$ che l'$exp$ sono entrambe periodiche e non sono iniettive!!!!!
usando la definizione:
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
$(e^z)^w=e^(w*lne^z)=e^(w*z)$ mi sembra giusto...
perchè non dovrebbe venire?
Sì, anche io ho provato a definire $z^w$ in quel modo, ma se la definisci così non è vero che $(e^z)^w=e^(zw)$, quindi probabilmente è per questo motivo che non si usa come operazione.
ma se considero la $e$ come una funzione complessa:
$exp(a)=exp(b)$ che non implica $a=b$ visto che la funzione $exp$ non è iniettiva...(quindi non implica che $i2pi=0$)
pero la funzione $z^w$ con z,w appartenenti a $CC$ è definita come $z^w=e^(wlogz)$
$exp(a)=exp(b)$ che non implica $a=b$ visto che la funzione $exp$ non è iniettiva...(quindi non implica che $i2pi=0$)
pero la funzione $z^w$ con z,w appartenenti a $CC$ è definita come $z^w=e^(wlogz)$
direi giacor che questo tuo esempio non centra nulla, è un'ovvia conseguenza della periodicità del seno
beh ma il fatto non è analogo a dire $sen(0)=sen(2pi)$ da cui $0 = 2pi$?
L'esempio di Tipper è diverso, nel senso che lì l'inghippo sta proprio nel fatto che uno deve considerare la periodicità. Invece, per quanto riguarda quello che ho postato io, mi pare che wedge abbia dato la motivazione giusta: non è vero che $(e^z)^z=e^(z^2)$ in C. Per altro sui testi non viene nemmeno definita la potenza $z^w$ quando sia $z$ sia $w$ sono complessi e non reali.
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EDIT by wedge
EDIT by wedge
@wedge
$(a^m)^n=a^(m.n)$ e ciò è diverso da $a^(m^n)$
Credo anch'io che il trucco sta nel fatto che si ragiona modulo $2pi$
$e^(2pii)=1=e^0$ passando agli esponenti $2pii=0$ e siccome $2!=0$ e $i!=0$ si conclude $pi=0$. Sembra che il ragionamento verta su questo.
$(a^m)^n=a^(m.n)$ e ciò è diverso da $a^(m^n)$
Credo anch'io che il trucco sta nel fatto che si ragiona modulo $2pi$
$e^(2pii)=1=e^0$ passando agli esponenti $2pii=0$ e siccome $2!=0$ e $i!=0$ si conclude $pi=0$. Sembra che il ragionamento verta su questo.
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