Matematica e Calcolatore
Sono sorpreso dalla piega che sta prendendo la discussione
sull’impatto del calcolatore nella matematica (mi riferisco
al mio intervento “Ragazzi c’ho provato..”, ma anche ai posts
su Derive nella sezione delle Medie Superiori).
Francamente, mentre e’ comprensibile (anche non giustificabile)
una ‘resistenza al cambiamento’ da parte degli insegnanti, mi
sarei aspettato un maggior consenso da parte degli studenti.
Devo invece constatare che nei giudizi prevale spesso l’aspetto
‘ideologico’ (la purezza della matematica corrotta dall’uso del
calcolatore).
Poiche’ sono convinto che gran parte delle discussioni siano
dovute ad incomprensioni sui termini (cioe’ alla diversa interpretazione
che ciascuno da’ alle stesse parole), vorrei tentare di fare chiarezza.
Se io vi chiedessi a bruciapelo qual’e’ la radice cubica di 15, quanti di
voi saprebbero darmi la soluzione?
Immagino che quelli che possiedono una calcolatrice ‘scientifica’ non
avrebbero difficolta’, ma gli altri?
Non so quanti mi direbbero: “basta prendere il logaritmo di 15, dividerlo
per 3 e trovare l’antilogaritmo del quoziente”.
Ma quanti possiedono le tavole dei logaritmi? (e di questi ultimi chi le sa
ormai piu’ usare?)
Immagino ora i cori di protesta: “ma fare i conti non e’ La Matematica”!
Giusto. Siamo tutti d’accordo almeno su questo primo punto?
(se non ricevo obiezioni lo do’ per acquisito, per proseguire nel discorso)
sull’impatto del calcolatore nella matematica (mi riferisco
al mio intervento “Ragazzi c’ho provato..”, ma anche ai posts
su Derive nella sezione delle Medie Superiori).
Francamente, mentre e’ comprensibile (anche non giustificabile)
una ‘resistenza al cambiamento’ da parte degli insegnanti, mi
sarei aspettato un maggior consenso da parte degli studenti.
Devo invece constatare che nei giudizi prevale spesso l’aspetto
‘ideologico’ (la purezza della matematica corrotta dall’uso del
calcolatore).
Poiche’ sono convinto che gran parte delle discussioni siano
dovute ad incomprensioni sui termini (cioe’ alla diversa interpretazione
che ciascuno da’ alle stesse parole), vorrei tentare di fare chiarezza.
Se io vi chiedessi a bruciapelo qual’e’ la radice cubica di 15, quanti di
voi saprebbero darmi la soluzione?
Immagino che quelli che possiedono una calcolatrice ‘scientifica’ non
avrebbero difficolta’, ma gli altri?
Non so quanti mi direbbero: “basta prendere il logaritmo di 15, dividerlo
per 3 e trovare l’antilogaritmo del quoziente”.
Ma quanti possiedono le tavole dei logaritmi? (e di questi ultimi chi le sa
ormai piu’ usare?)
Immagino ora i cori di protesta: “ma fare i conti non e’ La Matematica”!
Giusto. Siamo tutti d’accordo almeno su questo primo punto?
(se non ricevo obiezioni lo do’ per acquisito, per proseguire nel discorso)
Risposte
sono al primo anno di specialistica in ingegneria gestionale... ah, comunque mi chiamo lorenzo 
tu?
tu?
Elijah82, posso chiederti per curiosità cosa studi?
per esperienza personale: in quattro anni di università non ho visto nessun professore fare un grafico (neanche una retta) al computer. personalmente non mi preoccupo, visto che programmare mi piace molto e l'ho imparato da solo, ma mi rendo conto che l'80% degli studenti non saprebbe come plottare una semplice funzione. e questo è assurdo, date le potenzialità che questo strumento offre. credo che la risoluzione di equazioni differenziali approssimandole alle differenze parli da sola... è un vero peccato
Immaginavo che stessimo uscendo parecchio dal topic (l'avevo anche scritto in un post precedente..) ma sa com'è.. quando mi si parla di fluidodinamica mi faccio prendere la mano.
Per quanto riguarda lo scarso uso del calcolatore, beh non posso che ribadire il mio appoggio.
Sono straconvinto che molta gente, anche di un certo livello sul piano teorico, rimarrebbe spiazzata approcciando problemi pratici. La cosa triste è che la maggior parte della gente che si stà applicando con buona dedizione agli aspetti teorici, ma non a livello tale da poter fondare la propria professione su di essi, un domani potrebbe scoprire di avere profondissime lacune in quei campi che saranno discriminanti sul piano lavorativo.
Detto per inciso: è molto bello che un ingegnere mi sappia dimostrare il teorema dell'alternativa di Fredholm, ma se poi non sa fare le cose che competono ad un'ingegnere (e non parlo dell'aspetto "didattico-accademico" ma di quello applicativo) beh, forse ha sbagliato indirizzo.
Per quanto riguarda lo scarso uso del calcolatore, beh non posso che ribadire il mio appoggio.
Sono straconvinto che molta gente, anche di un certo livello sul piano teorico, rimarrebbe spiazzata approcciando problemi pratici. La cosa triste è che la maggior parte della gente che si stà applicando con buona dedizione agli aspetti teorici, ma non a livello tale da poter fondare la propria professione su di essi, un domani potrebbe scoprire di avere profondissime lacune in quei campi che saranno discriminanti sul piano lavorativo.
Detto per inciso: è molto bello che un ingegnere mi sappia dimostrare il teorema dell'alternativa di Fredholm, ma se poi non sa fare le cose che competono ad un'ingegnere (e non parlo dell'aspetto "didattico-accademico" ma di quello applicativo) beh, forse ha sbagliato indirizzo.
Mi fate girare la testa con la vostra erudizione!
Io, da praticone, avrei semplicemente osservato che
nel getto in caduta la velocita' continua ad aumentare
(per effetto di g), mentre la portata rimane costante.
Ergo, deve nello stesso modo diminuire la sezione.
Ma questo topic aveva un altro scopo.
Quello di sondare se la conoscenza delle possibilita'
di aiuto attualmente offerte dal calcolatore nel campo
matematico siano o no diffuse fra gli studenti italiani.
A me continua a sembrare di no (ho il dubbio che molti
non comprendano nemmeno di cosa si sta parlando e che
confondano il calcolatore con la calcolatrice).
Io, da praticone, avrei semplicemente osservato che
nel getto in caduta la velocita' continua ad aumentare
(per effetto di g), mentre la portata rimane costante.
Ergo, deve nello stesso modo diminuire la sezione.
Ma questo topic aveva un altro scopo.
Quello di sondare se la conoscenza delle possibilita'
di aiuto attualmente offerte dal calcolatore nel campo
matematico siano o no diffuse fra gli studenti italiani.
A me continua a sembrare di no (ho il dubbio che molti
non comprendano nemmeno di cosa si sta parlando e che
confondano il calcolatore con la calcolatrice).
Grazie, avevo una vaga idea che potessero generarsi forze radiali come dici tu, ma ero nell'impasse su come valutare gli sforzi di taglio che l'aria trasmette al fluido, nel senso che negli esempi fatti dal prof avevamo sempre introdotto l'approx che l'aria trasmettesse sforzi trascurabili al fluido, e quindi anzichè una distribuzione della velocità all'interno della sezione in quanlche modo variabile, mi veniva una distribuzione costante...nel mio ragionamento...
La soluzione è piuttosto semplice;
mettiamoci nelle ipotesi del problema: assenza di rompigocce e vena che si contrae senza sfaldarsi. Consideriamo una sezione trasversale alla vena. Abbandoniamo il modello di fluido ideale, introducendo quindi gli sforzi tangenziali di origine viscosa.
Dato che la vena subisce una certa resistenza aerodinamicasul suo perimetro, il profilo di velocità nella sezione trasversale non sarà uniforme. Ovviamente avremo un massimo al centro della vena ed un minimo (in questo caso ovviamente non nullo cone nel caso di moti in condotta!) sul perimetro.
La pressione è imposta e pari alla pressione atmosferica solo sul perimetro della vena. Dato che il fluido è in moto rettilineo (e trascurando le dissipazioni di energia dovute agli sforzi viscosi) possiamo applicare bernoulli. Laddove la velocità è superiore, la pressione è inferiore, quindi la DIFFERENZA di pressione esistente tra centro della vena e perimetro della vena creerà delle forze radiali dirette dal perimetro verso il centro che permettono alla vena di rimanere compatta.
Quando la velocità sale eccessivamente, la differenza di pressione vigente non è più sufficiente a contrastare gli sforzi normali alla sezione trasversale di origine aerodinamica e la vena si sfalda.
P.S. Visto che ti stai avvicinando da solo alla materia (e l'ho fatto anch'io, approfondendo per conto mio quanto visto in meccanica dei fluidi 1, mentre adesso sto seguendo meccanica dei fluidi 2) ti consiglio delle dispense (in realtà dei libri) che puoi trovare sul sito di aerospaziale.
Vai su www.aero.polimi.it, clicca su bacheca didattica e guarda sotto
Quartapelle Fluidodinamica 1 (ci sono 10 capitoli più 100 pagine di appendice) credo che apprezzerai molto l'approccio utilizzato, rigoroso da un punto di vista matematico (infati le appendici sono quasi tutte di complementi su sistemi di coordinate curvilinee e campi conservativi) ma sono anche semplicemente comprensibili con un occhio più fisico.
Se sei interessato anche all'aerodinamica, sempre nella bacheca didattica, vai su
Quadrio Aerodinamica 1; c'è un altro libro diviso mi pare in 13 capitoli.
Questo è moooooolto più matematico (e ogni tanto non molto immediato). Se sei pratico con il calcolo tensoriale avrai da divertirti!
mettiamoci nelle ipotesi del problema: assenza di rompigocce e vena che si contrae senza sfaldarsi. Consideriamo una sezione trasversale alla vena. Abbandoniamo il modello di fluido ideale, introducendo quindi gli sforzi tangenziali di origine viscosa.
Dato che la vena subisce una certa resistenza aerodinamicasul suo perimetro, il profilo di velocità nella sezione trasversale non sarà uniforme. Ovviamente avremo un massimo al centro della vena ed un minimo (in questo caso ovviamente non nullo cone nel caso di moti in condotta!) sul perimetro.
La pressione è imposta e pari alla pressione atmosferica solo sul perimetro della vena. Dato che il fluido è in moto rettilineo (e trascurando le dissipazioni di energia dovute agli sforzi viscosi) possiamo applicare bernoulli. Laddove la velocità è superiore, la pressione è inferiore, quindi la DIFFERENZA di pressione esistente tra centro della vena e perimetro della vena creerà delle forze radiali dirette dal perimetro verso il centro che permettono alla vena di rimanere compatta.
Quando la velocità sale eccessivamente, la differenza di pressione vigente non è più sufficiente a contrastare gli sforzi normali alla sezione trasversale di origine aerodinamica e la vena si sfalda.
P.S. Visto che ti stai avvicinando da solo alla materia (e l'ho fatto anch'io, approfondendo per conto mio quanto visto in meccanica dei fluidi 1, mentre adesso sto seguendo meccanica dei fluidi 2) ti consiglio delle dispense (in realtà dei libri) che puoi trovare sul sito di aerospaziale.
Vai su www.aero.polimi.it, clicca su bacheca didattica e guarda sotto
Quartapelle Fluidodinamica 1 (ci sono 10 capitoli più 100 pagine di appendice) credo che apprezzerai molto l'approccio utilizzato, rigoroso da un punto di vista matematico (infati le appendici sono quasi tutte di complementi su sistemi di coordinate curvilinee e campi conservativi) ma sono anche semplicemente comprensibili con un occhio più fisico.
Se sei interessato anche all'aerodinamica, sempre nella bacheca didattica, vai su
Quadrio Aerodinamica 1; c'è un altro libro diviso mi pare in 13 capitoli.
Questo è moooooolto più matematico (e ogni tanto non molto immediato). Se sei pratico con il calcolo tensoriale avrai da divertirti!
A occhio mi sembra che possano valere i soliti principi di bilancio e quantità di moto... di cui bernoulli è un'espressione.
In verità il fatto è che in questo campo mi sto avventurando da solo, perchè il corso che ho seguito non trattava di questi regimi di moto...tu l'hai fatto in un corso ?
A questo punto sono curioso della tua soluzione...
In verità il fatto è che in questo campo mi sto avventurando da solo, perchè il corso che ho seguito non trattava di questi regimi di moto...tu l'hai fatto in un corso ?
A questo punto sono curioso della tua soluzione...
Giovanni, non complicarti la vita con forze intermolecolari e compagnia bella.
Prima di tutto ci poniamo nelle ipotesi del problema da te proposto, ossia, assenza di rompigocce e vena che si contrae senza sfaldarsi. La domanda è semplicemente: quali forze fanno sì che ci sia una contrazione senza sfaldamento?
Prova a seguire l'aiutino che ho dato. Pensa al profilo di velodità di una sezione trasversale dela vena e applica bernoulli...
A domani la soluzione!
P.S. siamo parecchio off topic!!!!
Prima di tutto ci poniamo nelle ipotesi del problema da te proposto, ossia, assenza di rompigocce e vena che si contrae senza sfaldarsi. La domanda è semplicemente: quali forze fanno sì che ci sia una contrazione senza sfaldamento?
Prova a seguire l'aiutino che ho dato. Pensa al profilo di velodità di una sezione trasversale dela vena e applica bernoulli...
A domani la soluzione!
P.S. siamo parecchio off topic!!!!
La risposta può essere duplice...nel senso che la compattezza della vena d'acqua dipende da tanti fattori...innanzitutto si tratta di analizzare il modo in cui essa sbocca dal rubinetto, se infatti è presente un rompigoccia esso fa si che l'aria entri nella vena, che si trasforma in una specie di miscela eterogenea gas-liqudo....analogoamente un flusso ad alta velocità si comporta in maniera simile un flusso ad alto numero di reynolds, con fenomeni interni di instabilità e turbolenza...e fin qui sono semplici oservazioni sperimentali, macroscopiche.
Poi bisogna considerare l'aspetto reologico del problema, ossia il modo in cui il fluido reagisce agli sforzi di taglio...e certamente se immaginiamo di isolare all'interno della corrente un volumetto infinitesimo esso per effetto della forza di grvità scambia azioni di taglio con il resto del liquido che gli è attorno, infatti quando la vena d'acqua in caduta libera raggiunge una sufficiente velocità si "rompe" in gocce, segno che le azioni interne al fluido sono di intensità superiore alle forze di legame...
Di preciso non saprei, però credo che lasciando il punto di vista macroscopico per un punto di vista più "microspcopico", un ruolo determinante è giocato dalle forze intermolecolari, quindi nel caso dell'acqua dai legami ad idrogeno che si creano a ponte tra gli idrogeni e l'ossigeno di differenti molecole.
Poi bisogna considerare l'aspetto reologico del problema, ossia il modo in cui il fluido reagisce agli sforzi di taglio...e certamente se immaginiamo di isolare all'interno della corrente un volumetto infinitesimo esso per effetto della forza di grvità scambia azioni di taglio con il resto del liquido che gli è attorno, infatti quando la vena d'acqua in caduta libera raggiunge una sufficiente velocità si "rompe" in gocce, segno che le azioni interne al fluido sono di intensità superiore alle forze di legame...
Di preciso non saprei, però credo che lasciando il punto di vista macroscopico per un punto di vista più "microspcopico", un ruolo determinante è giocato dalle forze intermolecolari, quindi nel caso dell'acqua dai legami ad idrogeno che si creano a ponte tra gli idrogeni e l'ossigeno di differenti molecole.
Il concetto che porta ad un mantenimento di compattezza della vena è più profondo...
Aspetto a dare la soluzione per dare il tempo a giovanni di pensarci.
Aspetto a dare la soluzione per dare il tempo a giovanni di pensarci.
mi pare che sia quello che ho trovato anch'io.
credo che, pure trascurando la coesione dell'acqua, la vena resti compatta perché la pressione atmosferica impedisce che si creino dei vuoti al suo interno
credo che, pure trascurando la coesione dell'acqua, la vena resti compatta perché la pressione atmosferica impedisce che si creino dei vuoti al suo interno
Secondo me in questo caso un modello numerico non è necessario in quanto il problema può essere trattato in termini finiti (non c'è bisogno di passare ai differenziali).
Io risolvo così:
pongo la quota zero ad un'altezza generica (ad esempio all'altezza del punto d'impatto dell'acqua con il lavello) e applico la conservazione dell'energia per determinare la velocità generica. Non trascuro la velocità iniziale, altrimenti arriverei ad un assurdo.
Allo sbocco dal rubinetto l'acqua possiede l'energia
m*g*H+1/2*m*v0^2
Considerando il fluido ideale e trascurando le perdite per effetto aerodinamico, l'energia si conserva (ovviamente parlo di energia TOTALE, ossia cinetica + potenziale), quindi alla generica quota x avrò:
m*g*x+1/2*m*v^2.
Dato che l'energia si conserva:
m*g*H+1/2*m*v0^2=m*g*x+1/2*m*v^2
con poche operazioni otteniamo:
v=sqrt(2*g*(H-x)+v0^2)
Applicando ora la conservazione della massa:
rho*A0*v0=rho*A*v
sostituendo l'espressione di v appena trovata ed esplicitando l'area della generica sezione A:
A=A0*v0/(sqrt(2g*(H-x)+v0^2))
nota A, supponendo la vena di forma circolare (come effettivamente accade in realtà) otteniamo:
d=2*sqrt(A)/pi
Come detto, secondo me non è utile, in questo caso, usare modelli numerici perchè una volta che si sono scritte le equazioni che servono ad implementare il modello, si ha già la soluzione analitica.
Una domanda interessante è: dato che la vena si contrae, trascurando la tensione superficiale, motivare quali forze fanno sì che la vena resti compatta.
(aiutino: siamo sicuri che in questo caso possiamo considerare fluidi ideali? pensiamo alla reale distribuszione delle velocità nella sezione trasversale della vena e magari bernoulli ci dirà qualcosa...)
Io risolvo così:
pongo la quota zero ad un'altezza generica (ad esempio all'altezza del punto d'impatto dell'acqua con il lavello) e applico la conservazione dell'energia per determinare la velocità generica. Non trascuro la velocità iniziale, altrimenti arriverei ad un assurdo.
Allo sbocco dal rubinetto l'acqua possiede l'energia
m*g*H+1/2*m*v0^2
Considerando il fluido ideale e trascurando le perdite per effetto aerodinamico, l'energia si conserva (ovviamente parlo di energia TOTALE, ossia cinetica + potenziale), quindi alla generica quota x avrò:
m*g*x+1/2*m*v^2.
Dato che l'energia si conserva:
m*g*H+1/2*m*v0^2=m*g*x+1/2*m*v^2
con poche operazioni otteniamo:
v=sqrt(2*g*(H-x)+v0^2)
Applicando ora la conservazione della massa:
rho*A0*v0=rho*A*v
sostituendo l'espressione di v appena trovata ed esplicitando l'area della generica sezione A:
A=A0*v0/(sqrt(2g*(H-x)+v0^2))
nota A, supponendo la vena di forma circolare (come effettivamente accade in realtà) otteniamo:
d=2*sqrt(A)/pi
Come detto, secondo me non è utile, in questo caso, usare modelli numerici perchè una volta che si sono scritte le equazioni che servono ad implementare il modello, si ha già la soluzione analitica.
Una domanda interessante è: dato che la vena si contrae, trascurando la tensione superficiale, motivare quali forze fanno sì che la vena resti compatta.
(aiutino: siamo sicuri che in questo caso possiamo considerare fluidi ideali? pensiamo alla reale distribuszione delle velocità nella sezione trasversale della vena e magari bernoulli ci dirà qualcosa...)
un'idea comunque ce l'ho: all'equilibrio, le forze viscose determinano solo la forma, ma non l'area della sezione del getto. se lo supponiamo circolare (proprio x le forze viscose) allora il gioco è fatto... giusto?
guarda, io fluidodinamica non l'ho mai studiata. se ti metti in quel campo sicuramente il problema è più complesso, e io non avrei idea di come studiarlo la mia approssimazione trascura tutti gli attriti e forze viscose.
la mia approssimazione trascura tutti gli attriti e forze viscose.
se fai un grafico, comunque, la mia funzione assomiglia molto al getto d'acqua
Certo che l'acqua non parte con velocità nulla, ma secondo me è trascurabile, anche perchè il fenomeno di cui stiamo parlando avviene solo a basse velocità , oltre alla quale si inesscano fenomeni di turbolenza e "rottura" della vena liquida...potremmo dire che l'effetto delle forze di inerzia diventa di un ordine di grandezza tanto superiore all'effetto delle forze viscose, che sono quelle che governano questo fenomeno, da renderle trascurabili.
Per quanto riguarda le equazioni differenziali ti rispondo che sì, è il caso, perchè tutte le leggi che descrivono i fenomeni naturali sono scritte in forma differenziale, quelle che appaiono scritte in forma algebrica significa che sono già state integrate...
Per quanto riguarda le equazioni differenziali ti rispondo che sì, è il caso, perchè tutte le leggi che descrivono i fenomeni naturali sono scritte in forma differenziale, quelle che appaiono scritte in forma algebrica significa che sono già state integrate...
probabilmente hai ragione te, non mi intendo molto di queste cose. però su una cosa sono quasi convinto: l'acqua non parte da una velocità nulla!
e poi mi domando: ma è proprio il caso di coinvolgere le equazioni differenziali?
e poi mi domando: ma è proprio il caso di coinvolgere le equazioni differenziali?
non è corretto parlare di pressione allo sbocco, perchè a meno che il getto non abbia velocità supersonica la pressione sulla sezione di uscita è la stessa pressione ambientale...
Cmq a me questo discorso interessa perchè ho costruito un modello differenziale senza usare il teo di torricelli od altre espressioni, ma ragionando con gli infinitesimi, e il modello calza alla perfezione con il risultto sperimentale, ma per semèplificare l'espressione ho elimindo alcuni infinitesimi di secondo ordine, tra cui alcuni che rappresentavano la velocità e che quindi coinvolgevano la velocità iniziale...si tratta praticamente di un modello "cinematico"...viene fuori una equazione differenziale del secondo ordine, molto semplice ma molto elegante
Cmq a me questo discorso interessa perchè ho costruito un modello differenziale senza usare il teo di torricelli od altre espressioni, ma ragionando con gli infinitesimi, e il modello calza alla perfezione con il risultto sperimentale, ma per semèplificare l'espressione ho elimindo alcuni infinitesimi di secondo ordine, tra cui alcuni che rappresentavano la velocità e che quindi coinvolgevano la velocità iniziale...si tratta praticamente di un modello "cinematico"...viene fuori una equazione differenziale del secondo ordine, molto semplice ma molto elegante
si ovviamente è la sezione... l'idea l'ho buttata giù di getto!
quanto al teorema di torricelli: non mi intendo di idraulica, non credo di averlo mai studiato. il mio ragionamento è: trascurando gli attriti, l'acqua è in caduta libera. dopo una distanza h avrà una velocità (2gh)^0.5. mi pare che fili...
però forse, e ci stavo pensando ora (in bagno
) mentre osservavo il rubinetto: c'è una pressione non trascurabile allo sbocco, dunque una velocità iniziale v0 (e una sezione "iniziale" s0), il che ci dà
v(h) = (v0^2 + 2gh)^0.5
s(h) * v(h) = s0 v0 = K
s(h) = s0 v0 / (v0^2 + 2gh)^0.5
d(h) = 0.5 (s0 v0 / (pi * (v0^2 + 2gh)^0.5))^0.5
dd/dh = - g/4 (s0 v0 / pi)^0.5 (v0^2 + 2gh)^(-5/4)
quanto al teorema di torricelli: non mi intendo di idraulica, non credo di averlo mai studiato. il mio ragionamento è: trascurando gli attriti, l'acqua è in caduta libera. dopo una distanza h avrà una velocità (2gh)^0.5. mi pare che fili...
però forse, e ci stavo pensando ora (in bagno
) mentre osservavo il rubinetto: c'è una pressione non trascurabile allo sbocco, dunque una velocità iniziale v0 (e una sezione "iniziale" s0), il che ci dàv(h) = (v0^2 + 2gh)^0.5
s(h) * v(h) = s0 v0 = K
s(h) = s0 v0 / (v0^2 + 2gh)^0.5
d(h) = 0.5 (s0 v0 / (pi * (v0^2 + 2gh)^0.5))^0.5
dd/dh = - g/4 (s0 v0 / pi)^0.5 (v0^2 + 2gh)^(-5/4)
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