Kronecker o Cantor?
A volte mi chiedo cosa sarebbe successo se l'immensa eredità di Cantor non ci fosse pervenuta, ma si fosse perseguita la linea di pensiero di Kronecker (che peraltro asseriva la non esistenza degli irrazionali).
Per me non esisterebbe tutta la matematica moderna e si sarebbe aperto invece del secolo d'oro un nuovo secolo oscuro per questa scienza.
Voi cosa ne pensate a riguardo?
Per me non esisterebbe tutta la matematica moderna e si sarebbe aperto invece del secolo d'oro un nuovo secolo oscuro per questa scienza.
Voi cosa ne pensate a riguardo?
Risposte
"zorn":
:D
Argomenti davvero affascinanti... anche se non ne so ancora molto... tu in che contesto li hai studiati? Mi sembri ferrato
Io ho fatto all'universita' tre esami di logica e per di piu' l'ho studiata per conto mio. Diciamo che sono "strafatto" di logica
Argomenti davvero affascinanti... anche se non ne so ancora molto... tu in che contesto li hai studiati? Mi sembri ferrato
"zorn":
Ancora che io sappia il paradosso di Skolem serve a far riflettere sul concetto di equipotenza e cardinalità. Lo si può aggirare assumendo un punto di vista relativistico anche per quanto riguarda l'equipotenza tra insiemi. Infatti se in ZF due insiemi non sono equipotenti, cioè non esiste alcun oggetto del modello interpretabile come funzione biunivoca, non è detto che fuori di tale modello non ve ne siano.
Insomma, come in fondo in tutte le cose della matematica, non ha senso chiedersi in assoluto sull'equipotenza o meno tra insiemi.
Esatto
Lo chiamano paradosso, perché mostra che appunto gli insiemi non numerabili non sono definibili nella teoria degli insiemi, nonostante il teorema di Cantor. Si "risolve" appunto osservando che benché esistano "reali" numerabili dall'esterno, all'interno del modello "appaiono" non numerabili, perché la biettività cercata con $NN$ nel modello non c'è, benché fuori ci sia.
Ancora che io sappia il paradosso di Skolem serve a far riflettere sul concetto di equipotenza e cardinalità. Lo si può aggirare assumendo un punto di vista relativistico anche per quanto riguarda l'equipotenza tra insiemi. Infatti se in ZF due insiemi non sono equipotenti, cioè non esiste alcun oggetto del modello interpretabile come funzione biunivoca, non è detto che fuori di tale modello non ve ne siano.
Insomma, come in fondo in tutte le cose della matematica, non ha senso chiedersi in assoluto sull'equipotenza o meno tra insiemi.
Insomma, come in fondo in tutte le cose della matematica, non ha senso chiedersi in assoluto sull'equipotenza o meno tra insiemi.
Be' la definizione di Dedekind si può esprimere al prim'ordine, con ZFC. In essa si effettua la costruzione dei reali al modo di Dedekind, però si troveranno modelli numerabili di ZFC e dunque anche dei reali.
Se uno invece accetta la teoria "intuitiva-ingenua" degli insiemi, allora può sviluppare la semantica della logica del secondo ordine, parlando dell'insieme dei sottinsiemi dell'universo, senza aver definito formalmente il concetto di insieme potenza. A questo punto però hai guadagnato potere espressivo, ma perso rigore.
Resta quindi, a mio modo di vedere, perfettamente giustificato il dubbio di Kronecker sull'effettiva esistenza degli irrazionali e sulla teoria degli infiniti. Se non sviluppi la teoria assiomaticamente, allora non è rigorosa, se la sviluppi assiomaticamente, allora non è espressiva.
Se uno invece accetta la teoria "intuitiva-ingenua" degli insiemi, allora può sviluppare la semantica della logica del secondo ordine, parlando dell'insieme dei sottinsiemi dell'universo, senza aver definito formalmente il concetto di insieme potenza. A questo punto però hai guadagnato potere espressivo, ma perso rigore.
Resta quindi, a mio modo di vedere, perfettamente giustificato il dubbio di Kronecker sull'effettiva esistenza degli irrazionali e sulla teoria degli infiniti. Se non sviluppi la teoria assiomaticamente, allora non è rigorosa, se la sviluppi assiomaticamente, allora non è espressiva.
"fields":
Se per teoria degli insiemi intendi ZFC, anch'io penso sia una buona soluzione. Naturalmente anche lì gli assiomi dati per i numeri reali sono soddisfatti da campi numerabili...(vedi Paradosso di Skolem) E se inoltre si definisce la logica del secondo ordine in ZFC, si ottiene di nuovo l'impossibilità di definire univocamente i reali.
A me pensare ad un insieme che soddisfi gli assiomi dei reali e che sia numerabile fa venire i brividi: mette in crisi tutto quello che pens(av)o di aver capito. In questo caso, preferisco pensarla "al second'ordine". Fra l'altro, mi pare di ricordare che il punto che caratterizza la logica al second'ordine sia poter parlare di predicati di sottoinsiemi (e non solo di elementi). In fin dei conti, la costruzione di Dedekind fa uso di predicati di sottoinsiemi di $R$ (le sezioni), quindi per me è a questo livello che è "corretto muoversi".
Scusa il linguaggio molto impreciso.
Se per teoria degli insiemi intendi ZFC, anch'io penso sia una buona soluzione. Naturalmente anche lì gli assiomi dati per i numeri reali sono soddisfatti da campi numerabili...(vedi Paradosso di Skolem) E se inoltre si definisce la logica del secondo ordine in ZFC, si ottiene di nuovo l'impossibilità di definire univocamente i reali.
Beh, francamente penso siamo molto lontani dal fondare la matematica in maniera soddisfacente in ogni caso, ma la teoria degli insiemi è un buon inizio.
"zorn":
Inoltre: Fields, al primo ordine no, ma dalle mie reminescenze al secondo ordine si può dimostrare un teorema di isomorfismo tra $RR$ e un qualunque campo ordinato completo.
Al secondo ordine si può definire univocamente $RR$, certo. Ma la logica del secondo ordine è parecchio controversa, perché la sua semantica fa uso pesante della teoria degli insiemi, e questo impedisce ad essa di fondare la matematica in modo soddisfacente.
X TomSawyer e Fields: non metto in dubbio i suoi contributi alla matematica ma la sua mentalità ultraconservatrice e l'ostinarsi contro Cantor non me lo hanno reso proprio simpatico ecco.
Inoltre: Fields, al primo ordine no, ma dalle mie reminescenze al secondo ordine si può dimostrare un teorema di isomorfismo tra $RR$ e un qualunque campo ordinato completo.
X Simo90: certo, la matematica è ideale e vive nell'empireo, non nella realtà. Non esiste in sé il numero 1 per esempio, è una nostra idea comune e universale.
Inoltre: Fields, al primo ordine no, ma dalle mie reminescenze al secondo ordine si può dimostrare un teorema di isomorfismo tra $RR$ e un qualunque campo ordinato completo.
X Simo90: certo, la matematica è ideale e vive nell'empireo, non nella realtà. Non esiste in sé il numero 1 per esempio, è una nostra idea comune e universale.
"simo90":
in fondo la matematica è un sistema creato dall'uomo per esprimere la realtà in maniera quantitativa e risolvere problemi
: dunque un oggetto matematico IN SE' non esiste...
Mi sembra che la tua definizione di matematica sia restrittiva: la teoria dei gruppi di Galois, per esempio, non è stata formulata per esprimere la "realtà" in modod quantitativo.
Quanto al resto, tutti gli oggetti matematici sono "enti di ragione": l'aveva già capito Aristotele.
Come ha rilevato TomSawyer, Kronecker ha dato ottimi contributi alla matematica, sopratutto in algebra. Per citarne due a caso, e fra i meno significativi, il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finiti (a volte citato come Kronecker's theorem) e una versione semplificata della dimostrazione di Abel dell'irresolubilità per radicali dell'equazioni polinomiali di grado 5.
Ad ogni modo nel link di TomSawyer c'è questa frase significativa:
Scendendo più in dettaglio, bisogna notare che non esiste una definizione assiomatica dei numeri reali che sia in grado di definire univocamente $RR$, per i limiti espressivi delle logiche del primo ordine. Dunque direi che non è affatto sciocco rifiutare qualcosa che definito con rigore logico ancora non è (e forse mai sarà...). La verità è che le quantità non numerabili non sono definibili dalla logica moderna (il linguaggio di ZFC, tanto per intendersi). Figuriamoci poi ai tempi di Kronecker, quando i fondamenti della matematica ancora non esistevano!
Ad ogni modo nel link di TomSawyer c'è questa frase significativa:
Although it was true that most mathematicians of his day would not agree with those views, and indeed most mathematicians today would not agree with them, they were not put aside. Kronecker's ideas were further developed by Poincaré and Brouwer, who placed particular emphasis upon intuition. Intuitionism stresses that mathematics has priority over logic, the objects of mathematics are constructed and operated upon in the mind by the mathematician, and it is impossible to define the properties of mathematical objects simply by establishing a number of axioms.
Scendendo più in dettaglio, bisogna notare che non esiste una definizione assiomatica dei numeri reali che sia in grado di definire univocamente $RR$, per i limiti espressivi delle logiche del primo ordine. Dunque direi che non è affatto sciocco rifiutare qualcosa che definito con rigore logico ancora non è (e forse mai sarà...). La verità è che le quantità non numerabili non sono definibili dalla logica moderna (il linguaggio di ZFC, tanto per intendersi). Figuriamoci poi ai tempi di Kronecker, quando i fondamenti della matematica ancora non esistevano!
"zorn":
A volte mi chiedo cosa sarebbe successo se l'immensa eredità di Cantor non ci fosse pervenuta, ma si fosse perseguita la linea di pensiero di Kronecker (che peraltro asseriva la non esistenza degli irrazionali).
Per me non esisterebbe tutta la matematica moderna e si sarebbe aperto invece del secolo d'oro un nuovo secolo oscuro per questa scienza.
Voi cosa ne pensate a riguardo?
scusate se mi intrometto non conosco Kronecker e il suo pensiero, ho letto di Cantor ma non sono ancora in grado di argomentare su questi aspetti della matematica però vorrei fare un'osservazione: forse Kronecker si poneva il problema della effettiva esistenza degli oggetti matematici, in tal caso dei numeri irrazionali...voglio dire che essi esistono in matematica, non c'è dubbio, così come ogni altro oggetto matematico, ma in fondo la matematica è un sistema creato dall'uomo per esprimere la realtà in maniera quantitativa e risolvere problemi: dunque un oggetto matematico IN SE' non esiste... non so se sono stato chiaro...ho detto grosse stupidaggini?
"zorn":
più ne leggo più mi rendo conto di quanto sia imbecille quella persona.
Certo, del resto, non ha ottenuto nessun risultato fondamentale nella matematica. Fu il precursore dell'intuizionismo e mi sembra davvero fuori luogo la tua affermazione.
"Kroldar":
Secondo la tradizione, Kronecker si rifiutava di credere nell'esistenza dei numeri irrazionali, e non era per nulla colpito dal fatto che i cerchi conducono inevitabilmente al numero $pi$. Secondo Kronecker, soltanto gli interi erano reali; tutto il resto era pura finzione.
[...]
Kronecker era persuaso che, salvo gli interi, tutte le altre entità postulate dai matematici fossero innaturali. Studiare e usare i numeri irrazionali era come commettere un atto contro natura. E, infatti, accusò Cantor di essere un "corruttore della gioventù", poiché insegnava questi concetti. Oltre al disprezzo per i numeri irrazionali, nutriva un odio profondo per qualunque cosa avesse anche vagamente a che fare con il concetto di infinito.
Che esistano grandezze irrazionali era noto anche ai pitagorici. Verosimilmente, Kronocker intendeva sottolineare come i numeri naturali siano in qualche modo "primitivi", mentre gli altri insiemi numerici (relativi, razionali, irrazionali, ...) siano in qualche modo "derivati", "costruiti" sulla base dei natuali.
Quanto all'infinito, ha effettivamente trovato un'adeguata sistemazione teorica solo con Cantor, che fu osteggiato per tutta la vita (e anche qualche anno dopo la morte).
Bel passo... più ne leggo più mi rendo conto di quanto sia imbecille quella persona.
"Camillo":
Non pensavo proprio che in pieno '800 si potesse ancora mettere in dubbio l'esistenza dei numeri irrazionali, ma in che senso ?
Amir D. Aczel, "Il mistero dell'alef", pag. 114
Secondo la tradizione, Kronecker si rifiutava di credere nell'esistenza dei numeri irrazionali, e non era per nulla colpito dal fatto che i cerchi conducono inevitabilmente al numero $pi$. Secondo Kronecker, soltanto gli interi erano reali; tutto il resto era pura finzione.
[...]
Kronecker era persuaso che, salvo gli interi, tutte le altre entità postulate dai matematici fossero innaturali. Studiare e usare i numeri irrazionali era come commettere un atto contro natura. E, infatti, accusò Cantor di essere un "corruttore della gioventù", poiché insegnava questi concetti. Oltre al disprezzo per i numeri irrazionali, nutriva un odio profondo per qualunque cosa avesse anche vagamente a che fare con il concetto di infinito.
Un vero peccato se si pensa che L. Kronecker fu uno dei maestri di Cantor assieme a K. Weierstrass ed E.E. Kummer.
Eh beh!!! Andava forte questo Kronecker!!!
Nel senso che Kronecker chiese a Lindemann a che pro avesse dimostrato la trascendenza di $pi$, dal momento che gli irrazionali non esistono...
sei d'accordo che Kronecker è il re degli emeriti asini?
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