Ipotesi di Riemann
Qualcuno sà se la dimostrazione di Louis de Branges de Bourcia, sia corretta?
Sapreste dirmi perchè è così difficile dimostrare qualcosa che è stato verificato da supercomputer potentissimi?
Qual'è l'ostacolo più grande che non si riesce a superare nella dimostrazione??
Per quale motivo non si riesce a formalizzare nessun teorema a riguardo?.
Ho letto delle dispense, ultimamente, sull'argomento e mi ha appassionato.
Tuttavia vorrei sapere cosa ne pensate e se riuscite a darmi delle delucidazioni.
Sapreste dirmi perchè è così difficile dimostrare qualcosa che è stato verificato da supercomputer potentissimi?
Qual'è l'ostacolo più grande che non si riesce a superare nella dimostrazione??
Per quale motivo non si riesce a formalizzare nessun teorema a riguardo?.
Ho letto delle dispense, ultimamente, sull'argomento e mi ha appassionato.
Tuttavia vorrei sapere cosa ne pensate e se riuscite a darmi delle delucidazioni.
Risposte
"Luca.Lussardi":
Mah... io credo che se anche tu sai come sono distribuiti i numeri primi la complessità computazionale della scomposizione in fattori primi non cambia...
Non per contraddirti Luca, ma ciò che hai detto è assolutamente inesatto.
Sicuramente saprai che, attualmente, il principale metodo per fattorizzare un numero nei suoi fattori primi è l'RSA.
Se venisse dimostrata questa congettura di Riemann e quindi introdotti nuovi teoremi, si potrebbe migliorare se non rivoluzionare completamente l'RSA.
E quindi la crittografia usata oggi, diventerebbe subito obsoleta.
"Luca.Lussardi":
Quindi la mia opinione è: esistono tantissimi problemi aperti di matematica più fattibili, decisamente più utili. Per cui utilizzate le vostre energie e le vostre capacità per arrivare a risultati.
non ho certo mai lontanamente pensato di provare a dimostrare qualcosa del genere, anche perchè non ho gli strumenti adeguati, la mia era giusto una curiosità!!!
"Albert Wesker 27":
[...] E' l'unico problema sopravissuto alla conferenza di Hilbert [...]
Beh, non è vero che sia l'unico problema sopravissuto dai tempi della conferenza di Hilbert...i problemi definitavamente risolti sono solo 7
Mah... io credo che se anche tu sai come sono distribuiti i numeri primi la complessità computazionale della scomposizione in fattori primi non cambia... e su questa è basata la crittografia che fa uso dei numeri primi. Per altro se la congettura di Riemann fosse un Teorema che mette in crisi il sistema di carte di credito credo che già da parecchio tempo il sistema sarebbe dovuto entrare in crisi... mica aspetta una dimostrazione per far ciò.
Wiles creò tantissima matematica nuova nella sua dimostrazione e poi dimostrò il risvolto più interessante della sua dimostrazione fu il fatto di dimostrare la Tanyama-Shimura cosi da provare un collegamento splendido fra curve modulari ed equazioni ellittiche. Tuttavia, la conseguente dimostrazione di Fermat non portò a risvolti pratici notevoli. Ma Riemann è diverso: molti teoremi sono stati creati assumendo vera la congettura e poi svelare i segreti che si celano dietro i numeri primi metterebbe in crisi tutto il sistema di carte di credito mondiale e sarebbe un grosso passo in avanti per la crittografia.
Voglio fare un commento di carattere generale. E' indiscutibile che questo problema abbia una certa importanza in matematica e attiri le persone perchè è legato ad un premio, è un problema posto centinaia di anni fa e mai risolto, ecc... Però sprecare le proprie energie per affrontare questo specifico problema ritengo che sia da incoscienti. Wiles stesso non ha sprecato le sue energie attaccando direttamente Fermat, ma è stato anche "fortunato" perchè si è messo a lavorare su un'area di ricerca che poi si è rivelata utile per affrontare questioni apparentemente slegate tra loro (ricordo che la dimostrazione di Wiles è conseguenza di una serie di articoli dello stesso in cui egli studia molte altre cose e introduce parecchia teoria che c'entra poco col Th di Fermat).
Quindi la mia opinione è: esistono tantissimi problemi aperti di matematica più fattibili, decisamente più utili. Per cui utilizzate le vostre energie e le vostre capacità per arrivare a risultati.
Quindi la mia opinione è: esistono tantissimi problemi aperti di matematica più fattibili, decisamente più utili. Per cui utilizzate le vostre energie e le vostre capacità per arrivare a risultati.
"Mathcrazy":Non significa niente: per esempio la disuguaglianza [tex]n^{1000000000} \geq n![/tex] è vera per un miliardo di numeri naturali ma è ovvio che da un certo $n$ in poi sarà falsa.
Un supercalcolatore è riuscito a verificarlo per un miliardo e mezzo di numeri primi.
"Zero87":
Tanto per andare leggermente fuori tema: per capire in maniera non banale l'ipotesi di Riemann, quali conoscenze di base o approfondite si richiedono?
In altre parole, che base occorre avere per capire in maniera adeguata questo problema?
Per capirla a fondo, servono basi solide sopratutto in aritmetica ma anche in analisi complessa.
Tempo fa un certo Xian-Jin Li,ha pubblicato una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, in 40 pagine.
Dopo 4 revisioni è stato riscontrato un errore a pagina 29, che ha pregiudicato tutta la dimostrazione.
Si tratta del teorema 7.13, quando Xian-Jin-Li dice "We extend "h" to a function on "A" by defining h(lambda)=0 for lambda not in "J"."
Cioè,tanto per curiosità: l'errore (grave) è stato nel definire una funzione di numeri reali che,però, svanisce per tutti i numeri irrazionali. Questa funzione è chiaramente innaturale e produce non pochi problemi per l'integrazione.
Vi riporto tutto il contenuto della contestazione:
The bug appears right below the equation (7.13) on page 29 where the author says:
We extend "h" to a function on "A" by defining h(lambda)=0 for lambda not in "J".
After this crucial comment, the function "h" is integrated over the adeles "A" a lot.
That's too bad because "J", the ideles (essentially invertible adeles), are a measure-zero subset of "A", the adeles - much like sets of rational numbers are measure-zero subsets of real intervals. So it is like defining a function of the real numbers that vanishes for all irrational numbers. Such a function is clearly unnatural in calculus and you might have some problems with integration.
So the integrals really vanish and they cannot be too useful. He could try to develop some "Dirac distributions" on adeles but such an approach would probably fail, too. All the following formulae therefore either say "0=0" which is an inconsequential truism or "0=something_else" which would prove that that the paper is wrong, too.
Xian ha cercato di correggere, ma niente di fatto: dimostrazione rifiutata!
Comunque per curiosità se volete dargli un'occhiata la trovate qui:
http://arxiv.org/abs/0807.0090v3
(Clicchate su PDF a destra per scaricarla).
Non è semplice.
Tuttavia, non riesco a trovare in giro la dimostrazione di De Bourcia (o meglio, informazioni sulla dimostrazione che sarà sicuramente molto difficile e fuori dalla mia portata!!!)
Purtroppo l'ipotesi di Riemann richiede conoscenze approfondite per essere compresa. Dico purtroppo poerchè la bellezza di Fermat stava proprio nella semlpicità dell'enunciato. $x^2+y^2=z^2$ ha infinite soluzioni reali intere mentre $x^n+y^n=z^n$ con $n>2$ non ne ha nessuna. Semplicemente fantastico. Tuttavia, credo sia opportuno ricordare come Fermat venne dimostrato da Wiles attraverso lo studio di equazioni ellittiche e modulari (in particolare dimostrando la Taniyama-Shimura), parti della matematica lontanissime fra di loro ma unite meravigliosamente. Credo che capire che esiste un ponte che unisca due parti della matematica che ora risultano completamente separate sarà la base di tutte le dimostrazione delle congetture che ancora non sono state dimostrate.
Penso che ci voglia prima di tutto una solida base di analisi complessa...tanto per cominciare
Tanto per andare leggermente fuori tema: per capire in maniera non banale l'ipotesi di Riemann, quali conoscenze di base o approfondite si richiedono?
In altre parole, che base occorre avere per capire in maniera adeguata questo problema?
In altre parole, che base occorre avere per capire in maniera adeguata questo problema?
"Albert Wesker 27":
Ricordiamoci che l'isolamento in cui si nascose Wiles per risolvere Fermat è qualcosa di pericolosissimo in matematica. Wiles pubblicava addirittura articoli su cose che aveva scoperto anni prima per dare l'impressione di lavorare e quindi non destare nessun sospetto. Tenne conferenze dai titoli completamente ambigui per controllare se i suoi conti sulla Kolyvagin-Flach erano corretti, mentre lavorava alla Taniyama-Shimura. E alla fine, quando pubblicò l'articolo, presto venne trovata una falla nella dimostrazione che Wiles risolse poco prima di mollare il tutto, quando una collaborazione con qualcuno avrebbe evitato il tutto.
Riemann andrà probabilmente attaccato in gruppo. Ma è una fortezza davvero potente. E' l'unico problema sopravissuto alla conferenza di Hilbert ed è il più interessante dei problemi del millennio.
Beh, io infatti intendevo una via di mezzo... Collaborazioni temporanee e con persone che variano. Un gruppo che lavora solo su questo potrebbe non riuscire a dimostrarlo.
Comunque alle volte anche nei lavori di gruppo si proliferano errori. Pensa alla dimostrazione delle classificazioni dei gruppi semplici finiti che è dagli anni '80 che cercano di rimetterla tutta insieme.
Ricordiamoci che l'isolamento in cui si nascose Wiles per risolvere Fermat è qualcosa di pericolosissimo in matematica. Wiles pubblicava addirittura articoli su cose che aveva scoperto anni prima per dare l'impressione di lavorare e quindi non destare nessun sospetto. Tenne conferenze dai titoli completamente ambigui per controllare se i suoi conti sulla Kolyvagin-Flach erano corretti, mentre lavorava alla Taniyama-Shimura. E alla fine, quando pubblicò l'articolo, presto venne trovata una falla nella dimostrazione che Wiles risolse poco prima di mollare il tutto, quando una collaborazione con qualcuno avrebbe evitato il tutto.
Riemann andrà probabilmente attaccato in gruppo. Ma è una fortezza davvero potente. E' l'unico problema sopravissuto alla conferenza di Hilbert ed è il più interessante dei problemi del millennio.
Riemann andrà probabilmente attaccato in gruppo. Ma è una fortezza davvero potente. E' l'unico problema sopravissuto alla conferenza di Hilbert ed è il più interessante dei problemi del millennio.
"Lorin":
L'ipotesi di Riemann abbraccia diversi rami della matematica, e può essere attaccata da tante parti diverse, per questo credo che una persona sola difficilmente ci possa riuscire...
Il fatto che si possa attaccare da tanti lati non vuol dire che uno debba percorrerli tutti per trovare la breccia. Magari serve solo una prospettiva che ancora non si conosce. Non penso che un lavoro di gruppo fisso porterebbe a vantaggi considerevoli e distrarrebbe quelle persone dalla esplorazione di altri campi. Penso che un attacco di singoli che collaborano di tanto in tanto sia quello che è meno "costoso". Consideriamo il fatto che potrebbe benissimo darsi che 20 persone lavorino al problema per tutta la vita insieme e non trovano nulla e invece una sola si imbatte per caso nella dimostrazione di un teorema chiave per la dimostrazione. Per caso= senza tentare di dimostrare riemann...
Inoltre si sa... spesso quando si cercano le cose le abbiamo davanti agli occhi e non li vediamo. Le collaborazioni permettono di mettere da parte percorsi già ampiamente battuti.
L'ipotesi di Riemann abbraccia diversi rami della matematica, e può essere attaccata da tante parti diverse, per questo credo che una persona sola difficilmente ci possa riuscire...
Si in effetti è così...chissà se e quando si riuscirà a verificarla!
"Mathcrazy":
Un supercalcolatore è riuscito a verificarlo per un miliardo e mezzo di numeri primi.
Ma, come si suol dire, anche miliardi di verifiche empiriche d'una congettura non valgono una dimostrazione.
Esempio banale: è
[tex]$11^1=11$[/tex]
[tex]$11^2=121$[/tex]
[tex]$11^3=1331$[/tex]
[tex]$11^4=14641$[/tex]
Verrebbe da pensare che tutte le potenze di [tex]$11$[/tex] siano numeri "simmetrici" (ossia aventi uguali le cifre simmetriche rispetto a quella centrale); se ci fermassimo qui, la congettura appena enunciata sarebbe un teorema poiché è certamente verificata.
Tuttavia un ulteriore calcolo mostra che:
[tex]$11^5=161051$[/tex]
quindi la congettura è falsa.
"Mathcrazy":
E' solo che non si riesce a verificarlo con un teorema e moltissimi matematici ci stanno provando da tempo, ma invano [...].
Alla fine l'ipotesi di Riemann nella sua complessità e sofisticatezza, sembra abbastanza chiara, cioè mi chiedevo per quali motivi (matematici) non si riusciva a verificare una cosa del genere.
Perchè è difficile come la maggioranza di enunciati apparentemente semplicissimi della Teoria dei Numeri.
Prendi il teorema di Fermat:
L'equazione [tex]$x^n+y^n=z^n$[/tex], con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e [tex]$n\geq 3$[/tex], non ha soluzioni [tex]$x,y,z$[/tex] non banali in [tex]$\mathbb{N}$[/tex].*
Semplice, si direbbe...
È stato dimostrato da Wiles nel 1995, ben 358 anni dopo che esso era stato formulato come congettura da Pierre de Fermat (nel 1637).
La dimostrazione è tutt'altro che banale: due articoli, uno di 108 pagine l'altro di 19.
__________
* Per soluzione banale si intende una delle due [tex]$x=1,y=0,z=1$[/tex] e [tex]$x=0,y=1,z=1$[/tex]; una soluzione non banale dell'equazione è ogni terna [tex]$x,y,z$[/tex] distinta dalle precedenti.
Non sono molto d'accordo sul fatto che una sola persona non possa fare molto.
Ma allora ci dimentichiamo di grandi geni quali sono stati lo stesso Riemann,Gauss,Eulero,Leibinitz,Grothendieck,Lebesgue e via discorrendo.
Gauss scoprì tante di quelle cose, che se solo le avesse pubblicate ordinatamente avrebbe accelerato il corso della scienza.
Di geni che,da soli, hanno fatto la storia della matematica ce ne sono stati eccome.
Ma allora ci dimentichiamo di grandi geni quali sono stati lo stesso Riemann,Gauss,Eulero,Leibinitz,Grothendieck,Lebesgue e via discorrendo.
Gauss scoprì tante di quelle cose, che se solo le avesse pubblicate ordinatamente avrebbe accelerato il corso della scienza.
Di geni che,da soli, hanno fatto la storia della matematica ce ne sono stati eccome.
Verificarlo per il numero grandissimo di numeri non implica verificarlo per tutti, infatti basta trovare uno zero che non stia sulla retta critica per dire che l'ipotesi è sbagliata. I matematici si sono cimentati per 150 anni, per cercare di trovare una dimostrazione alla congettura ma hanno fallito. A mio parere per dare una completa e accurata dimostrazione di questa congettura si devono approfondire alcuni rami della matematica, si devono costruire solide fondamenta sulle quali costruire meccanismi e nuovi teoremi in analisi, algebra e geometria. Bisognerebbe istituire una commissione con i più esperti matematici di ogni settore per cercare di elaborare qualcosa di concreto, credo che una sola persona non possa fare un lavoro tanto grande
Un supercalcolatore è riuscito a verificarlo per un miliardo e mezzo di numeri primi.
E' solo che non si riesce a verificarlo con un teorema e moltissimi matematici ci stanno provando da tempo, ma invano (intendo questo per "formalizzazione di un teorema").
Alla fine l'ipotesi di Riemann nella sua complessità e sofisticatezza, sembra abbastanza chiara,cioè mi chiedevo per quali motivi (matematici) non si riusciva a verificare una cosa del genere.
Era solo un dubbio, ma probabilmente assurdo.
E' solo che non si riesce a verificarlo con un teorema e moltissimi matematici ci stanno provando da tempo, ma invano (intendo questo per "formalizzazione di un teorema").
Alla fine l'ipotesi di Riemann nella sua complessità e sofisticatezza, sembra abbastanza chiara,cioè mi chiedevo per quali motivi (matematici) non si riusciva a verificare una cosa del genere.
Era solo un dubbio, ma probabilmente assurdo.
"Mathcrazy":
Qualcuno sà se la dimostrazione di Louis de Branges de Bourcia, sia corretta?
Non saprei. Non ho i mezzi per comprenderli.
"Mathcrazy":
Sapreste dirmi perchè è così difficile dimostrare qualcosa che è stato verificato da supercomputer potentissimi?
Non è stato verificato né verrà mai verificato su un supercomputer. Non si possono controllare un numero infinito di numeri.
"Mathcrazy":
Qual'è l'ostacolo più grande che non si riesce a superare nella dimostrazione??
Immagino siano numerosi. Dimostrare qualcosa spesso necessità di intuizioni non banali. E una dimostrazione come quella potrebbe richiederne molte.
"Mathcrazy":
Per quale motivo non si riesce a formalizzare nessun teorema a riguardo?.
Cosa intendi per formalizzare un teorema?
"Mathcrazy":
Ho letto delle dispense, ultimamente, sull'argomento e mi ha appassionato.
Tuttavia vorrei sapere cosa ne pensate e se riuscite a darmi delle delucidazioni.
Per esempio mostrandomi qualcosa che sperimentalmente è ovvia, ma non formalmente!
Non capisco esattamente cosa vuoi...
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