I numeri e i concetti primitivi

[Gaal Dornick]

Non ricordo bene quanto detto a lezione.. però mi è venuto il dubbio ieri notte (è bruttissimo quando ti vengono le domande prima di andare a dormire..).
Allora: i numeri non sono un concetto primitivo (che io ricordi)
quindi ci deve essere un modo di definirli a partire da un concetto primitivo.
giusto?
come?

[Luca.Lussardi]

Non sono del tutto d'accordo, le tue parole sembrano quelle dei matematici al tempo di Goedel; in realtà Goedel non ha dimostrato che il problema dei fondamenti della Matematica è insolubile, ha dimostrato solo che non si può risolvere con certe tecniche, ma non che non ammette una soluzione. Bisogna ancora capire secondo me cosa si intenda per problema dei fondamenti e sua soluzione. Evidentemente l'impostazione hilbertiana non funziona.

[Lorenzo Pantieri]

"Gaal Dornick":
peccato, mi incuriosiva: è difficile costruire un castello se non si sa dove sono i pilastri

Non è così semplice. In matematica il problema dei "fondamenti" è interessante, ma sostanzialmente insolubile. Il teorema di Goedel dimostra infatti l'incompletezza dell'artimetica: non esiste alcun sistema consistente e sufficientemente espressivo che possa dimostrare tutte le verità aritmetiche. Quindi la teoria ZFC va benissimo, ma è "incompleta". Lo stesso vale per tutte le teorie analoghe.

Quindi "pilastri definitivamente completi" in matematica non ce ne sono.

[Luca.Lussardi]

Se studi Matematica avrai pure un corso di Fondamenti della Matematica che puoi seguire.

[Gaal Dornick]

questo mi fa capire che non le farò più.. a meno che non me le vada a cercare
peccato, mi incuriosiva: è difficile costruire un castello se non si sa dove sono i pilastri

Il tutto m'è stato accennato, ma non esaustivamente completato

[Luca.Lussardi]

Queste cose una volta si studiavano all'inizio di tutto, io le feci all'inizio del corso di Analisi 1, ora non so se i fondamenti della Matematica fanno ancora parte di uno dei corsi al primo anno.

[fields1]

"Gaal Dornick":dove cos'è l'assioma dell'infinito?

tiro a indovinare: esiste un insieme infinito

Quasi

In realtà l'assioma dice: esiste un insieme induttivo.

Un insieme $X$ si dice induttivo se

1) $\emptyset \in X$

2) $\alpha \in X$ implica che $\alphauu{\alpha}\in X$.

[Gaal Dornick]

ma queste cose si studiano in un corso di laurea di matematica? io al secondo anno (completato) non le ho ancora fatte.. a parte un accenno durante algebra

[Gaal Dornick]

dove cos'è l'assioma dell'infinito?

tiro a indovinare: esiste un insieme infinito

[Nidhogg]

ZF è l'abbreviazione di "assiomi di Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi".
Per ulteriori informazioni...Google

Saluti, Ermanno.

[Luca.Lussardi]

I numeri naturali vengono definiti in modo rigoroso come particolari insiemi: il numero zero è definito come l'insieme vuoto, il numero uno è definito come l'insieme che ha come elementi il vuoto e l'insieme costituito dall'insieme vuoto (che si badi bene con è l'insieme vuoto) e così via per ricorsione. Se uno poi accetta l'assioma dell'infinito, allora esiste solo un insieme che contiene i sopradetti "interi di Von Neumann", che è l'insieme $\NN$.

[Gaal Dornick]

che significa ZF ?
si, ad ora il concetto primitivo che m'è stao dato erano gli insiemi..ma come si arriva praticamente dagli insiemi ai numeri?

[Lorenzo Pantieri]

"Gaal Dornick":Non ricordo bene quanto detto a lezione.. però mi è venuto il dubbio ieri notte (è bruttissimo quando ti vengono le domande prima di andare a dormire..).
Allora: i numeri non sono un concetto primitivo (che io ricordi)
quindi ci deve essere un modo di definirli a partire da un concetto primitivo.
giusto?
come?

Dipende da quale impistazione assiomatica scegli. "Solitamente", si parte dalla teoria assiomatica degli insiemi di ZF e si definiscono i numeri basandoli sugli insiemi. Quindi, in questa impostazione, gli insiemi sono concetti primitivi, i numeri no.