Domanda test ammissione
Oggi si discuteva con un amico su questo quesito (pare proveniente dal test di ammissione ad un CdL di Architettura - Design qui a Torino):
Dipingiamo le quattro facce di un tetraedro regolare con quattro colori diversi: rosso, bianco, giallo, azzurro. Quanti diversi tetraedri possiamo ottenere?
Ora, sembra che la risposta esatta sia 2. Qualcuno saprebbe spiegare? Credo c'entrino le rotazioni del tetraedro ed il calcolo combinatorio ma non mi torna il 2.
P.S. su YA c'è lo stesso quesito ma dice che la risposta corretta è 6.
Dipingiamo le quattro facce di un tetraedro regolare con quattro colori diversi: rosso, bianco, giallo, azzurro. Quanti diversi tetraedri possiamo ottenere?
Ora, sembra che la risposta esatta sia 2. Qualcuno saprebbe spiegare? Credo c'entrino le rotazioni del tetraedro ed il calcolo combinatorio ma non mi torna il 2.
P.S. su YA c'è lo stesso quesito ma dice che la risposta corretta è 6.
Risposte
Ciao maxsiviero!
Allora, vediamo un po' di ragionarci sopra. Su un tetraedro ci sono $4! = 24$ possibili simmetrie e pertanto teoricamente 24 modi possibili di essere colorato con quattro colori differenti (semplicemente pari al numero di permutazioni di quattro elementi distinti). Dico teoricamente perché in realtà a noi nella pratica interessano solo i tetraedri diversi, ossia non quelli che, una volta ruotati intorno al proprio asse oppure nello spazio equivalgono ad altri già considerati. Vediamo dunque di capire come possiamo ridurre tale numero al fine di ottenere il numero effettivo di tetraedri diversi.
Innanzitutto possiamo notare che una volta scelto il colore per la faccia di base (ossia quella che poggia sul piano), esistono soltanto 2 modi possibili tra i $3! = 6$ totali per avere le tre facce laterali con i tre colori rimanenti disposti in maniera diversa. Per capire meglio puoi fare la semplice prova di scegliere un colore per la base e generare le possibili sequenze di colori per le facce laterali rimanenti. Quelle in cui i colori sono presenti nello stesso ordine si possono eliminare a coppie ed alla fine ne rimangono solo due e pertanto il numero di possibili modi di colorare le tre facce laterali dato il colore di quella iniziale va diviso per un fattore pari a 3 poiché a $\frac{3!}{3} = 2$.
Ora possiamo pensare di replicare tale ragionamento sull'intero tetraedro. A questo scopo possiamo pensare di "aprire" il tetraedro e disporre la sua struttura su un piano. Ora (non è immediato da vedere) vi sono quattro modi possibili per ciascuna sequenza di tre colori per far sì che questi, una volta richiuso il triedro, appaiano sullo stesso nel medesimo ordine (in questo caso, a differenza della prima considerazione postata in precedenza, sottolineo che non ha importanza la scelta del colore per la base e bisogna tenere quindi presente le possibili rotazioni del tetraedro nello spazio e non intorno al proprio asse come in precedenza).
In definitiva il numero di modi possibili per colorare un triedro mediante quattro colori si riduce a: $\frac{24}{3 \cdot 4} = 2$.
Mi rendo conto che con un disegno possa apparire più chiaro, in tal caso vedrò di postarne uno quanto prima. Spero di esserti stato d'aiuto.
Allora, vediamo un po' di ragionarci sopra. Su un tetraedro ci sono $4! = 24$ possibili simmetrie e pertanto teoricamente 24 modi possibili di essere colorato con quattro colori differenti (semplicemente pari al numero di permutazioni di quattro elementi distinti). Dico teoricamente perché in realtà a noi nella pratica interessano solo i tetraedri diversi, ossia non quelli che, una volta ruotati intorno al proprio asse oppure nello spazio equivalgono ad altri già considerati. Vediamo dunque di capire come possiamo ridurre tale numero al fine di ottenere il numero effettivo di tetraedri diversi.
Innanzitutto possiamo notare che una volta scelto il colore per la faccia di base (ossia quella che poggia sul piano), esistono soltanto 2 modi possibili tra i $3! = 6$ totali per avere le tre facce laterali con i tre colori rimanenti disposti in maniera diversa. Per capire meglio puoi fare la semplice prova di scegliere un colore per la base e generare le possibili sequenze di colori per le facce laterali rimanenti. Quelle in cui i colori sono presenti nello stesso ordine si possono eliminare a coppie ed alla fine ne rimangono solo due e pertanto il numero di possibili modi di colorare le tre facce laterali dato il colore di quella iniziale va diviso per un fattore pari a 3 poiché a $\frac{3!}{3} = 2$.
Ora possiamo pensare di replicare tale ragionamento sull'intero tetraedro. A questo scopo possiamo pensare di "aprire" il tetraedro e disporre la sua struttura su un piano. Ora (non è immediato da vedere) vi sono quattro modi possibili per ciascuna sequenza di tre colori per far sì che questi, una volta richiuso il triedro, appaiano sullo stesso nel medesimo ordine (in questo caso, a differenza della prima considerazione postata in precedenza, sottolineo che non ha importanza la scelta del colore per la base e bisogna tenere quindi presente le possibili rotazioni del tetraedro nello spazio e non intorno al proprio asse come in precedenza).
In definitiva il numero di modi possibili per colorare un triedro mediante quattro colori si riduce a: $\frac{24}{3 \cdot 4} = 2$.
Mi rendo conto che con un disegno possa apparire più chiaro, in tal caso vedrò di postarne uno quanto prima. Spero di esserti stato d'aiuto.
A meno di semplici trasformazioni si può ritenere che si abbia un certo colore sulla base a terra (per esempio l'azzurro), e a meno di ruotarlo sulla stessa base puoi supporre di avere di fronte uno degli altri 3 (per esempio il giallo). A questo punto puoi avere il rosso o a destra o a sinistra. È quindi corretto dire che ci sono solo 2 possibilità.
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