Domanda su Lagrangiana
Salve a tutti, sto studiando in meccanica analitica la Lagrangiana di un sistema fisico di punti nello spazio, definita come
$L=T-U$
ossia la differenza di energia cinetica ed energia potenziale, se vogliamo è una funzione di tre variabili, due coordinate generalizzate e un tempo.
$L = L (q, dot q, t)$
Risolvendo poi le equazioni di Lagrange si possono avere le equazioni del moto cercate.
Quasi in contemporanea, in analisi 2, ho fatto il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange che dice:
$f:A sub RR^2 -> RR$ di classe $C^1$ e sia $z(f) sub A$.
Allora condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di $f$ su $z(f) $ cada in $(x_0, y_0)$ è che esso sia critico per la funzione Lagrangiana
$L(x,y,lamda)=f(x,y)- lambda(F(x,y)$
Ora l'ho fatta un poco lunga, ma non riesco a capire il legame che c'è tra le due Lagrangiane, proprio concettualmente intendo.
grazie.
$L=T-U$
ossia la differenza di energia cinetica ed energia potenziale, se vogliamo è una funzione di tre variabili, due coordinate generalizzate e un tempo.
$L = L (q, dot q, t)$
Risolvendo poi le equazioni di Lagrange si possono avere le equazioni del moto cercate.
Quasi in contemporanea, in analisi 2, ho fatto il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange che dice:
$f:A sub RR^2 -> RR$ di classe $C^1$ e sia $z(f) sub A$.
Allora condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di $f$ su $z(f) $ cada in $(x_0, y_0)$ è che esso sia critico per la funzione Lagrangiana
$L(x,y,lamda)=f(x,y)- lambda(F(x,y)$
Ora l'ho fatta un poco lunga, ma non riesco a capire il legame che c'è tra le due Lagrangiane, proprio concettualmente intendo.
grazie.
Risposte
"Raptorista":
[quote="giuspeppe94"]No, un attimo. Il moto è una curva stazionaria del funzionale d'azione, spesso un minimo ma non necessariamente.
A questo servono i disclaimer![/quote]
Non conosco bene questo termine
in ogni caso metto le mani avanti, non volevo sembrare aggressivo o saccente, ho scritto solo di fretta!
"giuspeppe94":
No, un attimo. Il moto è una curva stazionaria del funzionale d'azione, spesso un minimo ma non necessariamente.
A questo servono i disclaimer!
No, un attimo. Il moto è una curva stazionaria del funzionale d'azione, spesso un minimo ma non necessariamente. Questo dice il principio.
Comunque puoi cercare il principio variazionale di Hamilton, o il principio di minima azione. Ciao!
Comunque puoi cercare il principio variazionale di Hamilton, o il principio di minima azione. Ciao!
Il principio di Hamilton dice che il moto minimizza un certo funzionale. Nel caso di sistema con vincoli, questi vengono imposti come vincoli dell'ottimizzazione e poi, passando all'equazione di Eulero del funzionale si arriva alla lagrangiana.
È confuso e probabilmente pieno di errori, ma anche io sono troppo pigro per andare a rivedere i dettagli, quello che ho scritto dovrebbe darti un'idea.
Se apri Landau, Lifshitz - Mechanics a pagina 2 è spiegato come funziona più o meno.
È confuso e probabilmente pieno di errori, ma anche io sono troppo pigro per andare a rivedere i dettagli, quello che ho scritto dovrebbe darti un'idea.
Se apri Landau, Lifshitz - Mechanics a pagina 2 è spiegato come funziona più o meno.
Il principio di minima azione di Hamilton ci dice che in ogni fenomeno che avviene in natura, viene sempre minimizzata l'azione.
Come può questo concetto entrare quando devo trovare i punti critici vincolati?
Come può questo concetto entrare quando devo trovare i punti critici vincolati?
...dato che non voglio riprendere i miei appunti di meccanica analitica: la risposta è (o dovrebbe essere) il principio di minima azione di Hamilton!
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