Circa le cosiddette 'forme indeterminate'...
cari amici
in un'altra discussione aperta di recente, la quale era imperniata sul concetto di 'elevamento a potenza' e che ancora non ha certamente dato risposta esaudiente ai quesiti che avevo posto, mi è stata sollevata da taluno una obiezione un poco 'singolare' riguardo al valore numerico da attribuire all'espressione c=a^b quando a=b=0.
Tale 'obiezione' più o meno è stata la seguente: l'espressione 0^0 non ha un preciso valore ma deve intendersi come forma indeterminata. A rendere tale 'obiezione' decisamente poco chiara contribuiva poi il fatto che anche tra coloro che la sostenevano non vi era accordo su che cosa significasse tale termine in quanto vi sono state tre distinte posizioni:
a) una 'forma indeterminata' può assumere qualsiasi valore numerico
b) una 'forma indeterminata' può assumere solo alcuni valori numerici [nel caso presente c=0^0 varrebbe 0 oppure 1 a seconda delle circostanze]
c) una 'forma indeterminata' è una scrittura senza significato e pertanto non le può essere attribuito alcun valore numerico
Ora in contrasto con tutte e tre le presenti definizioni, e se vogliamo in maniera un poco 'provocatoria', vorrei invitare tutti voi a discutere sulla seguente ipotesi alternativa: le cosiddette forme indeterminate in realtà non esitono in quanto una qualsiasi funzione matematica monodroma o è inequivocabilmente definita, ossia le corrisponde uno e un solo ben specifico valore numerico, o è inconsistente, ossia non le corrisponde alcun valore numerico.
Qualcuno può portare un esempio che contraddica questa mia affermazione?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 21/11/2002 11:01:22
in un'altra discussione aperta di recente, la quale era imperniata sul concetto di 'elevamento a potenza' e che ancora non ha certamente dato risposta esaudiente ai quesiti che avevo posto, mi è stata sollevata da taluno una obiezione un poco 'singolare' riguardo al valore numerico da attribuire all'espressione c=a^b quando a=b=0.
Tale 'obiezione' più o meno è stata la seguente: l'espressione 0^0 non ha un preciso valore ma deve intendersi come forma indeterminata. A rendere tale 'obiezione' decisamente poco chiara contribuiva poi il fatto che anche tra coloro che la sostenevano non vi era accordo su che cosa significasse tale termine in quanto vi sono state tre distinte posizioni:
a) una 'forma indeterminata' può assumere qualsiasi valore numerico
b) una 'forma indeterminata' può assumere solo alcuni valori numerici [nel caso presente c=0^0 varrebbe 0 oppure 1 a seconda delle circostanze]
c) una 'forma indeterminata' è una scrittura senza significato e pertanto non le può essere attribuito alcun valore numerico
Ora in contrasto con tutte e tre le presenti definizioni, e se vogliamo in maniera un poco 'provocatoria', vorrei invitare tutti voi a discutere sulla seguente ipotesi alternativa: le cosiddette forme indeterminate in realtà non esitono in quanto una qualsiasi funzione matematica monodroma o è inequivocabilmente definita, ossia le corrisponde uno e un solo ben specifico valore numerico, o è inconsistente, ossia non le corrisponde alcun valore numerico.
Qualcuno può portare un esempio che contraddica questa mia affermazione?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 21/11/2002 11:01:22
Risposte
cari amici Angelo e Marc
sono costretto ad intervenire, pur avendo in questo momento altro di importante da fare, in quanto mi sa che state cominciando, scusate il modo di dire, a ‘farla fuori dal vaso’...
Intanto occorre dire che, come mi sono premurato di precisare subito, mi sono accinto ad analizzare il caso di sviluppo in serie di una funzione di due variabili f(x,y) per dimostrare semplicemente che la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 1 per x=0, anche se ovviamente il primo caso, pur arrivando a conclusioni del tutto identiche, rappresenta una notevole quanto inutile complicazione rispetto al secondo. Dal momento che presumo di aver dimostrato questo [ovvero la maggior complicazione della funzione a due variabili rispetto alla funzione a una variabile] vi propongo di restare nel campo delle funzioni di una sola variabile, evitando inutili e dispersivi ‘voli pindarici’.
Dopo questa non inutile premessa permettetemi di tornare ad alcune definizioni riguardo alle serie di Taylor e in generale alle serie di potenze. Sotto le ipotesi che abbiamo più volte esaminato e sulle quali penso ci troviamo d’accordo una funzione f(x) in un ‘certo intorno’ [che per il momento non specifichiamo] di un punto x=xo può scriversi come:
f(x)= f(xo) + f(1) (xo)*(x-xo) 1/2!* f(2) (xo)* (x-xo)^2 + … + 1/(n-1)!*f(n-1)(xo)*(x-xo)^(n-1) + Rn [1]
Nel caso che f(x) abbia derivate continue di ogni ordine per x=xo e che in tutto l’intorno considerato Rn->0 per n-> la funzione risulta ivi sviluppabile in serie di Taylor:
f(x)=f(xo) + f(1) (xo) (x-xo) + 1/2! * f(2)(xo)*(x-xo)^2 + … + 1/n !*f(n)(xo)*(x-xo)^n + … [2]
Una serie del tipo della [2] si chiama serie di potenze ed è nota la loro proprietà di essere convergenti entro un certo intervallo chiamato intervallo di convergenza e divergenti al di fuori di esso [nel caso che x sia una variabile complessa si definisce in modo analogo una regione del piano complesso all’interno nella quale la serie è convergente e questa regione è chiamata cerchio di convergenza]. Un particolare importante, e ciò nonostante spesso trascurato, è che in generale nulla si può dire del comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza, in corrispondenza dei quali la serie può essere, a seconda dei casi, convergente oppure divergente oppure indeterminata.
E’ opportuno, arrivati a questo punto, fare degli esempi per chiarire bene le cose, e per questo possiamo benissimo usare la serie proposta da Angelo:
(1-x)^(-1) = 1 + x + x^2+…+ x^n+... [3]
Questa serie, la più semplice e anche la più nota fra tutte, si dimostra avere per intervallo di convergenza –1 < x < 1, ossia compreso tra –1 e 1 esclusi tuttavia entrambi gli estremi. Di ciò si ha agevole verifica in quanto per x=1 la serie diviene:
S= 1+1+1… [4]
la quale è evidentemente divergente, e per x=-1 diviene:
S=1-1+1-… [5]
La quale è evidentemente indeterminata [e che nessuno per favore mi dica che ‘in media’ vale 1/2... altrimenti mi in****!...].
In altri casi però le cose stanno diversamente come dimostra l’esempio seguente, che considera la serie:
(1+x)^1/2 = 1 +1/2*x - 1/(2*4) * x^2 + (1*3)/(2*4*6) * x^3 – (1*3*5)/(2*4*6*8) * x^4 +… [6]
Questa serie si dimostra anch’essa avere per intervallo di convergenza –1 < x <=1, ma a differenza della precedente essa è convergente anche nell’estremo dell’intervallo in cui è x=1. Andando a porre infatti nella [6] x=1 si ottiene una serie che dopo i primi termini è a segni alterni con il termine generale che vale [in valore assoluto]:
an= [1*3*…*(2n-3)]/[2*4*…*(2n-2)*2n]< [2*4*...*(2n-2)]/[2*4*...*(2n-2)*2n]= 1/2n [7]
il quale tende ovviamente a 0 per n->00 e ciò sappiamo garantisce la convergenza. Che poi la serie [6] per x=1 converga verso il valore ‘esatto’ 2^1/2 = 1.414213562… lo si può verificare calcolando le prime somme parziali:
So=1, S1=1.5, S2=1.375, S3= 1.4375, S4=1.3984375, S5=1.425785…
Dopo questa indispensabile premessa veniamo ad esaminare la serie in questione che fornisce lo sviluppo in serie di f(x)=x*lnx:
f(x)=x*ln x= (x-1) + (x-1)^2/2*1 - (x-1)^3/3*2 +...+ (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n*(n-1)+...
Per essa si dimostra facilmente che ha per intervallo di convergenza 0<=x<=2 con inclusi entrambi gli estremi x=0 e x=2, per i quali è rispettivamente f(0)=0 e f(2)=2*ln2... come è abbastanza agevole verificare...
In altre parole per lo sviluppo di una funzione in serie di potenze vale la semplice regola generale per la quale la funzione è univocamente calcolabile per i valori di x per i quali la serie converge, i quali sono compresi in un intervallo che può comprendere o no gli estremi [non penso esista su questo punto un criterio generale], mentre negli altri casi il valore della funzione, se esiste, deve necessariamente essere determinato per altra via.
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 27/11/2002 18:50:14
sono costretto ad intervenire, pur avendo in questo momento altro di importante da fare, in quanto mi sa che state cominciando, scusate il modo di dire, a ‘farla fuori dal vaso’...
Intanto occorre dire che, come mi sono premurato di precisare subito, mi sono accinto ad analizzare il caso di sviluppo in serie di una funzione di due variabili f(x,y) per dimostrare semplicemente che la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 1 per x=0, anche se ovviamente il primo caso, pur arrivando a conclusioni del tutto identiche, rappresenta una notevole quanto inutile complicazione rispetto al secondo. Dal momento che presumo di aver dimostrato questo [ovvero la maggior complicazione della funzione a due variabili rispetto alla funzione a una variabile] vi propongo di restare nel campo delle funzioni di una sola variabile, evitando inutili e dispersivi ‘voli pindarici’.
Dopo questa non inutile premessa permettetemi di tornare ad alcune definizioni riguardo alle serie di Taylor e in generale alle serie di potenze. Sotto le ipotesi che abbiamo più volte esaminato e sulle quali penso ci troviamo d’accordo una funzione f(x) in un ‘certo intorno’ [che per il momento non specifichiamo] di un punto x=xo può scriversi come:
f(x)= f(xo) + f(1) (xo)*(x-xo) 1/2!* f(2) (xo)* (x-xo)^2 + … + 1/(n-1)!*f(n-1)(xo)*(x-xo)^(n-1) + Rn [1]
Nel caso che f(x) abbia derivate continue di ogni ordine per x=xo e che in tutto l’intorno considerato Rn->0 per n-> la funzione risulta ivi sviluppabile in serie di Taylor:
f(x)=f(xo) + f(1) (xo) (x-xo) + 1/2! * f(2)(xo)*(x-xo)^2 + … + 1/n !*f(n)(xo)*(x-xo)^n + … [2]
Una serie del tipo della [2] si chiama serie di potenze ed è nota la loro proprietà di essere convergenti entro un certo intervallo chiamato intervallo di convergenza e divergenti al di fuori di esso [nel caso che x sia una variabile complessa si definisce in modo analogo una regione del piano complesso all’interno nella quale la serie è convergente e questa regione è chiamata cerchio di convergenza]. Un particolare importante, e ciò nonostante spesso trascurato, è che in generale nulla si può dire del comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza, in corrispondenza dei quali la serie può essere, a seconda dei casi, convergente oppure divergente oppure indeterminata.
E’ opportuno, arrivati a questo punto, fare degli esempi per chiarire bene le cose, e per questo possiamo benissimo usare la serie proposta da Angelo:
(1-x)^(-1) = 1 + x + x^2+…+ x^n+... [3]
Questa serie, la più semplice e anche la più nota fra tutte, si dimostra avere per intervallo di convergenza –1 < x < 1, ossia compreso tra –1 e 1 esclusi tuttavia entrambi gli estremi. Di ciò si ha agevole verifica in quanto per x=1 la serie diviene:
S= 1+1+1… [4]
la quale è evidentemente divergente, e per x=-1 diviene:
S=1-1+1-… [5]
La quale è evidentemente indeterminata [e che nessuno per favore mi dica che ‘in media’ vale 1/2... altrimenti mi in****!...].
In altri casi però le cose stanno diversamente come dimostra l’esempio seguente, che considera la serie:
(1+x)^1/2 = 1 +1/2*x - 1/(2*4) * x^2 + (1*3)/(2*4*6) * x^3 – (1*3*5)/(2*4*6*8) * x^4 +… [6]
Questa serie si dimostra anch’essa avere per intervallo di convergenza –1 < x <=1, ma a differenza della precedente essa è convergente anche nell’estremo dell’intervallo in cui è x=1. Andando a porre infatti nella [6] x=1 si ottiene una serie che dopo i primi termini è a segni alterni con il termine generale che vale [in valore assoluto]:
an= [1*3*…*(2n-3)]/[2*4*…*(2n-2)*2n]< [2*4*...*(2n-2)]/[2*4*...*(2n-2)*2n]= 1/2n [7]
il quale tende ovviamente a 0 per n->00 e ciò sappiamo garantisce la convergenza. Che poi la serie [6] per x=1 converga verso il valore ‘esatto’ 2^1/2 = 1.414213562… lo si può verificare calcolando le prime somme parziali:
So=1, S1=1.5, S2=1.375, S3= 1.4375, S4=1.3984375, S5=1.425785…
Dopo questa indispensabile premessa veniamo ad esaminare la serie in questione che fornisce lo sviluppo in serie di f(x)=x*lnx:
f(x)=x*ln x= (x-1) + (x-1)^2/2*1 - (x-1)^3/3*2 +...+ (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n*(n-1)+...
Per essa si dimostra facilmente che ha per intervallo di convergenza 0<=x<=2 con inclusi entrambi gli estremi x=0 e x=2, per i quali è rispettivamente f(0)=0 e f(2)=2*ln2... come è abbastanza agevole verificare...
In altre parole per lo sviluppo di una funzione in serie di potenze vale la semplice regola generale per la quale la funzione è univocamente calcolabile per i valori di x per i quali la serie converge, i quali sono compresi in un intervallo che può comprendere o no gli estremi [non penso esista su questo punto un criterio generale], mentre negli altri casi il valore della funzione, se esiste, deve necessariamente essere determinato per altra via.
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 27/11/2002 18:50:14
Anch'io preferisco non associare un valore ad hoc a 0^0. Credo solo che se proprio si voglia dare in qualche circostanza un valore numerico all'espressione 0^0 sia opportuno che tale valore non contraddica le proprietà delle potenze (e cioè sia 0 oppure 1). Inoltre, in certi casi, affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni, ritorna utile attribuire un particolare valore numerico a 0^0. Con ciò non intendo assolutamente dire che 0^0=0 oppure 0^0=1, ma solo che a volte è possibile eliminare fastidiose eccezioni nella validità di alcune formule assumendo come valore di 0^0 uno dei numeri 0 e 1.
Penso che in fondo la pensiamo allo stesso modo.
Esistono vari tipi di definizione di somma di una serie, una di esse consiste proprio nel calcolare il limite della media aritmetica dei primi n termini. Con quest'ultima definizione la somma di 1-1+1-1+... è proprio 1/2, ma ciò non cambia il senso del mio ultimo intervento.
Infatti l'esempio da me fatto chiarisce lo stesso che una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di un punto x0, può non essere sviluppabile in un altro punto x1 laddove è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine.
Aggiusto l'esempio da me fatto.
f(x)=1/(1-x) soddisfa a tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor in un intorno di x0=0.
Inoltre f(x) è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine nell'intervallo ]-infinito,1[.
Lo sviluppo in serie in un intorno di 0 è:
1/(1-x)= 1 + x + x^2 + x^3 + .....
Tuttavia la funzione f(x) non è sviluppabile in serie di Taylor per x=-2, infatti si ha,
f(-2)=1/3, mentre la serie corrispondente 1-2+4-8+16-32+... è evidentemente non convergente a 1/3 (sappiamo anzi che non ammette somma).
Angelo
Modificato da - angelo il 27/11/2002 15:52:28
Penso che in fondo la pensiamo allo stesso modo.
Esistono vari tipi di definizione di somma di una serie, una di esse consiste proprio nel calcolare il limite della media aritmetica dei primi n termini. Con quest'ultima definizione la somma di 1-1+1-1+... è proprio 1/2, ma ciò non cambia il senso del mio ultimo intervento.
Infatti l'esempio da me fatto chiarisce lo stesso che una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di un punto x0, può non essere sviluppabile in un altro punto x1 laddove è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine.
Aggiusto l'esempio da me fatto.
f(x)=1/(1-x) soddisfa a tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor in un intorno di x0=0.
Inoltre f(x) è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine nell'intervallo ]-infinito,1[.
Lo sviluppo in serie in un intorno di 0 è:
1/(1-x)= 1 + x + x^2 + x^3 + .....
Tuttavia la funzione f(x) non è sviluppabile in serie di Taylor per x=-2, infatti si ha,
f(-2)=1/3, mentre la serie corrispondente 1-2+4-8+16-32+... è evidentemente non convergente a 1/3 (sappiamo anzi che non ammette somma).
Angelo
Modificato da - angelo il 27/11/2002 15:52:28
Caro Angelo,
Tanto per complicare ulteriormente la faccenda, ti ricordo che, per molti decenni, alla serie 1-1+1-1+1-1+1-1+... è stato associato proprio il valore 1/2 !!!
L'argomentazione era del tipo (assurdo):
La successione delle somme parziali è
1,0,1,0,1,0...
Quindi, non potendosi scegliere un valore "preferito" la successione dovrà dendere al valor medio.
marc.
Tanto per complicare ulteriormente la faccenda, ti ricordo che, per molti decenni, alla serie 1-1+1-1+1-1+1-1+... è stato associato proprio il valore 1/2 !!!
L'argomentazione era del tipo (assurdo):
La successione delle somme parziali è
1,0,1,0,1,0...
Quindi, non potendosi scegliere un valore "preferito" la successione dovrà dendere al valor medio.
marc.
Questa discussione sta prendendo delle proporzioni secolari!
lim (x,y)-->(0,0) di x^y non esiste.
Infatti "muovendosi" lungo la curva
x=A^(1/y) con 0
Ci si avvicina a qualsiasi A<1.
Tutto qui.
Mi pare solo una questione di "atteggiamento" nei confronti delle formule. Mi spiego con un esempio.
Io so che 0*0=0 e non associo a questo fatto nessun "ALERT", cioè in situazioni in cui si presenta questa roba vado dritto al risultato senza troppe questioni.
Al contrario al caso 0^0 preferisco non associare alcun valore ma solo un grande "occhio, situazione pericolosa". In queso modo mi ricordo che lì c'e da stare attenti.
Ciao, Marc.
lim (x,y)-->(0,0) di x^y non esiste.
Infatti "muovendosi" lungo la curva
x=A^(1/y) con 0
Ci si avvicina a qualsiasi A<1.
Tutto qui.
Mi pare solo una questione di "atteggiamento" nei confronti delle formule. Mi spiego con un esempio.
Io so che 0*0=0 e non associo a questo fatto nessun "ALERT", cioè in situazioni in cui si presenta questa roba vado dritto al risultato senza troppe questioni.
Al contrario al caso 0^0 preferisco non associare alcun valore ma solo un grande "occhio, situazione pericolosa". In queso modo mi ricordo che lì c'e da stare attenti.
Ciao, Marc.
Come dici tu stesso, lupo grigio, nell’ipotesi che la funzione f(x,y)sia continua in (xo,yo) insieme alle derivate parziali di tutti gli ordini e il ‘resto’ Rn -> 0 per n -> 00, la funzione f(x,y) risulta sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di (xo,yo).
Nel caso della funzione f(x,y)=y*ln(x), possiamo affermare che è sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di (1,1), ma nulla sappiamo se (0,0) appartiene a tale intorno oppure no. In base a che cosa affermi che anche nel punto (0,0) la funzione è sviluppabile in serie di Taylor? Puoi solo affermare che è sviluppabile in un certo intorno di (1,1).
La tua relazione [3] sarebbe lecita solo se tu riuscissi a provare che l'intorno di (1,1), in cui la funzione è sviluppabile in serie, sia abbastanza ampio da contenere anche (0,0).
Il seguente esempio può chiarire il fatto che se una funzione è sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di un punto x0, non è detto che sia sviluppabile in un altro punto x1 laddove la funzione è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine.
f(x)=1/(1-x) soddisfa a tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor in un intorno di x0=0.
Inoltre f(x) è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine nell'intervallo ]-infinito,1[.
Lo sviluppo in serie in un intorno di 0 è:
1/(1-x)= 1 + x + x^2 + x^3 + .....
Tuttavia la funzione f(x) non è sviluppabile in serie di Taylor per x=-1, infatti si ha,
f(-1)=1/2, mentre la serie corrispondente 1-1+1-1+1-1+1-1+... è evidentemente non corvergente a 1/2 (sappiamo anzi che non ammette somma).
Angelo
Nel caso della funzione f(x,y)=y*ln(x), possiamo affermare che è sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di (1,1), ma nulla sappiamo se (0,0) appartiene a tale intorno oppure no. In base a che cosa affermi che anche nel punto (0,0) la funzione è sviluppabile in serie di Taylor? Puoi solo affermare che è sviluppabile in un certo intorno di (1,1).
La tua relazione [3] sarebbe lecita solo se tu riuscissi a provare che l'intorno di (1,1), in cui la funzione è sviluppabile in serie, sia abbastanza ampio da contenere anche (0,0).
Il seguente esempio può chiarire il fatto che se una funzione è sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di un punto x0, non è detto che sia sviluppabile in un altro punto x1 laddove la funzione è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine.
f(x)=1/(1-x) soddisfa a tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor in un intorno di x0=0.
Inoltre f(x) è continua insieme alle derivate di qualsiasi ordine nell'intervallo ]-infinito,1[.
Lo sviluppo in serie in un intorno di 0 è:
1/(1-x)= 1 + x + x^2 + x^3 + .....
Tuttavia la funzione f(x) non è sviluppabile in serie di Taylor per x=-1, infatti si ha,
f(-1)=1/2, mentre la serie corrispondente 1-1+1-1+1-1+1-1+... è evidentemente non corvergente a 1/2 (sappiamo anzi che non ammette somma).
Angelo
caro Angelo
venendo incontro alla tua richiesta analizzeremo adesso il caso più ‘complicato’ della funzione f(x,y)=y*lnx, dopo di che dovrebbe essere chiaro il perché l’abbia in precedenza definita una ‘inutile complicazione’. Anche in questo caso si farà uso dello sviluppo in serie di Taylor, relativamente però ad una funzione di due variabili. Nel seguito chiedo scusa se la scrittura usata rischia di essere poco chiara ma ciò è dovuto al tipo di carattere disponibile che non è dei più addatti per una scrittura matematica. A titolo di esempio se f(x,y) è una funzione delle variabili indipendenti x e y, con la scrittura:
d(n)f/d(n-k)x*d(k)y
indicherò la funzione di x e y che si ottiene derivando f(x,y) n-k volte rispetto ad x e k volte rispetto ad y, e con la scrittura
(n,k)
indicherò il ‘coefficiente binominale’ definito come n!/k!*(n-k)!.
La definizione della formula di Taylor nel caso di una funzione di due variabili è la seguente: sia f(x,y) una funzione continua insieme con le sue derivate parziali dei primi n+1 ordini nell’intorno di un punto (xo,yo). Assegnati alle variabili x e y incremnenti rispettivamente pari a h e k possiamo scrivere la formula di Taylor in questo caso come:
f(xo+h,yo+k)= f(xo,yo) + [h*d(1)f/d(1)x (xo,yo) + k*d(1)f/d(1)y (xo,yo)] + 1/2! * [h^2*d(2)f/d(2)x (xo,yo)+2*h*k*d(2)f/d(1)x*d(1)y (xo,yo)+k^2*d(2)f/d(2)y (xo,yo)] + … + 1/n!* [h^n*d(n)f/d(n)x (xo,yo)+(n,1) h^(n-1)*k*d(n)f/d(n-1)x*d(1)y (xo,yo) +...+ k^n*d(n)f/d(n)y (xo,yo)] + Rn [1]
ove il resto Rn ha significato del tutto analogo al caso di funzione di una variabile. Nell’ipotesi che la funzione sia continua in (xo,yo) insieme alle derivate parziali di tutti gli ordini e il ‘resto’ Rn -> 0 per n -> 00 si dice che la funzione f(x,y) è sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno di (xo,yo).
Esaminiamo ora il caso f(x,y)=y*lnx nell’intorno del punto xo=yo=1 [ogni altro punto va bene ad eccezione ovviamente di xo=yo=0].
Il calcolo della funzione e delle sue derivate fornisce:
a)
f(x,y)= y*lnx = 0 per x=y=1
b)
d(1)f/d(1)x=y/x = 1 per x=y=1
d(1)f/d(1)y=lnx =0 per x=y=1
c)
d(2)f/d(2)x=-y/x^2= -1 per x=y=1
d(2)f/d(1)x*d(2)y=1/x=1 per x=y=1
d(2)f/d(2)y=0 ovunque
d)
d(3)f/d(3)x=2*y/x^3=2 per x=y=1
d(3)f/d(2)x*d(1)y=-1/x^2=-1 per x=y=1
d(3)f/d(1)x*d(2)y= 0 ovunque
d(3)f/d(3)y= 0 ovunque
e)
d(n)f/d(n)x= (-1)^(n-1)*(n-1) !*y/x^n = (-1)^(n-1)*(n-1)! Per x=y=1
d(n)f/d(n-1)x*d(1)y=(-1)^(n-2)*(n-2) !/x^(n-1)= (-1)^(n-2)*(n-2) ! per x=y=1
d(n)f/d(n-k)x*d(k)y=0 ovunque per k>1
Andando ora a sostituire i valori trovati nella [1] otteniamo nell’intorno del punto (1,1) il seguente sviluppo:
f(x,y)=y*lnx= f(1,1) + h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [2]
Se ora vogliamo calcolare il valore di f(x,y) per x=y=0 non abbiamo altro da fare che porre nella [2] h=k=-1 ottenendo:
f(0,0)= -1 + (1-1/2)+ (1/2-1/3)+ …+ [1/n-1/(n+1)]+… [3]
… la quale si verifica senza alcuna difficoltà essere una serie con somma uguale a 0…
c.v.d...
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 26/11/2002 17:22:21
Modificato da - lupo grigio il 26/11/2002 17:23:58
venendo incontro alla tua richiesta analizzeremo adesso il caso più ‘complicato’ della funzione f(x,y)=y*lnx, dopo di che dovrebbe essere chiaro il perché l’abbia in precedenza definita una ‘inutile complicazione’. Anche in questo caso si farà uso dello sviluppo in serie di Taylor, relativamente però ad una funzione di due variabili. Nel seguito chiedo scusa se la scrittura usata rischia di essere poco chiara ma ciò è dovuto al tipo di carattere disponibile che non è dei più addatti per una scrittura matematica. A titolo di esempio se f(x,y) è una funzione delle variabili indipendenti x e y, con la scrittura:
d(n)f/d(n-k)x*d(k)y
indicherò la funzione di x e y che si ottiene derivando f(x,y) n-k volte rispetto ad x e k volte rispetto ad y, e con la scrittura
(n,k)
indicherò il ‘coefficiente binominale’ definito come n!/k!*(n-k)!.
La definizione della formula di Taylor nel caso di una funzione di due variabili è la seguente: sia f(x,y) una funzione continua insieme con le sue derivate parziali dei primi n+1 ordini nell’intorno di un punto (xo,yo). Assegnati alle variabili x e y incremnenti rispettivamente pari a h e k possiamo scrivere la formula di Taylor in questo caso come:
f(xo+h,yo+k)= f(xo,yo) + [h*d(1)f/d(1)x (xo,yo) + k*d(1)f/d(1)y (xo,yo)] + 1/2! * [h^2*d(2)f/d(2)x (xo,yo)+2*h*k*d(2)f/d(1)x*d(1)y (xo,yo)+k^2*d(2)f/d(2)y (xo,yo)] + … + 1/n!* [h^n*d(n)f/d(n)x (xo,yo)+(n,1) h^(n-1)*k*d(n)f/d(n-1)x*d(1)y (xo,yo) +...+ k^n*d(n)f/d(n)y (xo,yo)] + Rn [1]
ove il resto Rn ha significato del tutto analogo al caso di funzione di una variabile. Nell’ipotesi che la funzione sia continua in (xo,yo) insieme alle derivate parziali di tutti gli ordini e il ‘resto’ Rn -> 0 per n -> 00 si dice che la funzione f(x,y) è sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno di (xo,yo).
Esaminiamo ora il caso f(x,y)=y*lnx nell’intorno del punto xo=yo=1 [ogni altro punto va bene ad eccezione ovviamente di xo=yo=0].
Il calcolo della funzione e delle sue derivate fornisce:
a)
f(x,y)= y*lnx = 0 per x=y=1
b)
d(1)f/d(1)x=y/x = 1 per x=y=1
d(1)f/d(1)y=lnx =0 per x=y=1
c)
d(2)f/d(2)x=-y/x^2= -1 per x=y=1
d(2)f/d(1)x*d(2)y=1/x=1 per x=y=1
d(2)f/d(2)y=0 ovunque
d)
d(3)f/d(3)x=2*y/x^3=2 per x=y=1
d(3)f/d(2)x*d(1)y=-1/x^2=-1 per x=y=1
d(3)f/d(1)x*d(2)y= 0 ovunque
d(3)f/d(3)y= 0 ovunque
e)
d(n)f/d(n)x= (-1)^(n-1)*(n-1) !*y/x^n = (-1)^(n-1)*(n-1)! Per x=y=1
d(n)f/d(n-1)x*d(1)y=(-1)^(n-2)*(n-2) !/x^(n-1)= (-1)^(n-2)*(n-2) ! per x=y=1
d(n)f/d(n-k)x*d(k)y=0 ovunque per k>1
Andando ora a sostituire i valori trovati nella [1] otteniamo nell’intorno del punto (1,1) il seguente sviluppo:
f(x,y)=y*lnx= f(1,1) + h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [2]
Se ora vogliamo calcolare il valore di f(x,y) per x=y=0 non abbiamo altro da fare che porre nella [2] h=k=-1 ottenendo:
f(0,0)= -1 + (1-1/2)+ (1/2-1/3)+ …+ [1/n-1/(n+1)]+… [3]
… la quale si verifica senza alcuna difficoltà essere una serie con somma uguale a 0…
c.v.d...
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 26/11/2002 17:22:21
Modificato da - lupo grigio il 26/11/2002 17:23:58
Sono d'accordo con te lupo grigio, infatti io mi riferivo allo sviluppo in serie di Taylor e non alla formula di Taylor che sussiste sempre nell'ipotesi di derivabilità della funzione.
Condizione sufficiente per la sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor è che le sue derivate di qualsiasi ordine siano equilimitate.
Mentre condizione necessaria e sufficiente per la sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor in un intorno di x0 è che il resto n-esimo della formula di Taylor sia infinitesimo per ogni x dell'intorno di x0 (anche se non uniformemente).
Sono assolutamente d'accordo con quello che scrivi nell'ultimo post riguardo la formula di Taylor e lo sviluppo in serie di Taylor, tuttavia nel tuo penultimo post avevi scritto che per la sviluppabilità in serie di taylor bastava la derivabilità il che è falso.
Riguardo la funzione f(x) del mio esempio, si dimostra che essa ammette in x=0 derivate di qualunque ordine, tuttavia in x=0 non è sviluppabile in serie di Taylor.
Si tratta di un controesempio perchè fa capire che non basta la derivabilità per concludere che una funzione è sviluppabile in serie di Taylor.
Sono d'accordo con te che la funzione da te usata soddisfa tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor, non ho messo in dubbio questo, ma che bastasse la sola derivabilità.
Per quanto riguarda il caso f(x,y)=y*ln x, bisogna dire che è una complicazione si, ma inevitabile, infatti se esistesse tale limite saremmo autorizzati ad attribuire un valore ad hoc a 0^0 (la base e l'esponente devono tendere a zero in modo indipendente, altrimenti un possibile loro legame restringerebbe l'attenzione ad un caso particolare e potrebbe far concludere che esista un valore univoco ad hoc per 0^0 cosa che non è).
Angelo
Condizione sufficiente per la sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor è che le sue derivate di qualsiasi ordine siano equilimitate.
Mentre condizione necessaria e sufficiente per la sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor in un intorno di x0 è che il resto n-esimo della formula di Taylor sia infinitesimo per ogni x dell'intorno di x0 (anche se non uniformemente).
Sono assolutamente d'accordo con quello che scrivi nell'ultimo post riguardo la formula di Taylor e lo sviluppo in serie di Taylor, tuttavia nel tuo penultimo post avevi scritto che per la sviluppabilità in serie di taylor bastava la derivabilità il che è falso.
Riguardo la funzione f(x) del mio esempio, si dimostra che essa ammette in x=0 derivate di qualunque ordine, tuttavia in x=0 non è sviluppabile in serie di Taylor.
Si tratta di un controesempio perchè fa capire che non basta la derivabilità per concludere che una funzione è sviluppabile in serie di Taylor.
Sono d'accordo con te che la funzione da te usata soddisfa tutte le ipotesi per la sviluppabilità in serie di Taylor, non ho messo in dubbio questo, ma che bastasse la sola derivabilità.
Per quanto riguarda il caso f(x,y)=y*ln x, bisogna dire che è una complicazione si, ma inevitabile, infatti se esistesse tale limite saremmo autorizzati ad attribuire un valore ad hoc a 0^0 (la base e l'esponente devono tendere a zero in modo indipendente, altrimenti un possibile loro legame restringerebbe l'attenzione ad un caso particolare e potrebbe far concludere che esista un valore univoco ad hoc per 0^0 cosa che non è).
Angelo
Caro Lupo Grigio,
Le funzioni sviluppabili in serie di Taylor sono dette Analitiche proprio per distinguerle dalle funzioni che sono "solo" derivabili infinite volte con derivata continua.
L'esempio fatto da Angelo:
f(x)= e^(-1/x^2) per x diverso da zero
f(x)=0 per x=0
è l'esempio che si usa sempre per mostrare questa differenza.
f(x) è ha infatti in 0 tutte le derivare e sono tutte continue (e valgono esattamente 0). La serie di Taylor associata è quindi T=0 e non coincide con f(x) in nessun intorno dello 0.
*****
La funzione f(x,y)=y*ln x non è un'inutile complicazione. In base a cosa decidi che il lim x->0 di x^x dia il "vero" valore di 0^0 e perchè non x^(x/2) o x^ln(x) o qualsiasi altra funzione che tende alla forma 0^0?
Ciò che angelo mostra è che in generale H(x)=f(x)^g(x) con f(x)->0 e g(x)->0 non tende a zero. Di più, è possibile scegliere f e g in modo che H tenda a quello che si vuole.
*****
Ciao, Marc.
Le funzioni sviluppabili in serie di Taylor sono dette Analitiche proprio per distinguerle dalle funzioni che sono "solo" derivabili infinite volte con derivata continua.
L'esempio fatto da Angelo:
f(x)= e^(-1/x^2) per x diverso da zero
f(x)=0 per x=0
è l'esempio che si usa sempre per mostrare questa differenza.
f(x) è ha infatti in 0 tutte le derivare e sono tutte continue (e valgono esattamente 0). La serie di Taylor associata è quindi T=0 e non coincide con f(x) in nessun intorno dello 0.
*****
La funzione f(x,y)=y*ln x non è un'inutile complicazione. In base a cosa decidi che il lim x->0 di x^x dia il "vero" valore di 0^0 e perchè non x^(x/2) o x^ln(x) o qualsiasi altra funzione che tende alla forma 0^0?
Ciò che angelo mostra è che in generale H(x)=f(x)^g(x) con f(x)->0 e g(x)->0 non tende a zero. Di più, è possibile scegliere f e g in modo che H tenda a quello che si vuole.
*****
Ciao, Marc.
caro Angelo
inutile che dica che la tua asserzione circa la 'evidente falsità' dello sviluppo in serie di Taylor lascia quanto meno perplesso non solo me, ma anche, presumo, l'amministratore del sito il quale dovrebbe a questo punto rettificare quanto riportato in
https://www.matematicamente.it/analisi/form_tayl.htm
che qui di seguito riproduco:
Sia f(x) una funzione derivabile n volte in x=xo. Se si vuole approssimare tale funzione f(x) in prossimità di x=xo con un polinomio di grado n si perviene a determinare il polinomio di Taylor:
Pn(x)= f(xo) + f(1)(xo)* (x-xo) + f(2)(xo)*(x-xo)^2/2! +...+ f(n)(xo)*(x-xo)^n/n! [1]
La differenza Rn=f(x)-Pn(x) è chiamata errore [o resto] e rappresenta in effetti l'errore che si commette sostituendo Pn(x) al posto di f(x).
Nel caso che esistano finite le derivate di ogni ordine della funzione f(x) per x=xo ed il resto Rn tenda uniformrmente a 0 in un certo intorno di x=xo per n -> 00 allora f(x) risulta in quell'intorno sviluppabile in serie di Taylor in modo che è:
f(x)= f(xo)+f(1)(xo)*(x-xo)/1!+ f(2)(xo)(x-xo)^2/2!+...+f(n)(xo)*(x-xo)^n/n!+... [2]
La funzione da me a suo tempo esaminata [f(x)=e^(x*ln x)] nell'intorno di x=1 soddisfaceva a tutti i requisiti richiesti per essere sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno di x=1. Circa il 'controesempio' da te fornito [f(x)=e^(-1/x^2)] è facile vedere che essa è sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno di qualunque punto xo purchè diverso da 0. Abbiamo infatti:
f(x)= e^(-1/x^2)
f(1)(x)=2/x^3*e(-1/x^2)
f(2)(x)=2/x^3*(1-3/x)*e(-1/x^2)
...
E' evidente, anche omettendo per semplicità il calcolo delle derivate di ordine superiore al secondo, che le derivate della funzione esistono in tutti i punti della funzione salvo che per x=0 e questo verifica quanto detto in precedenza.
Questo per quello che riguarda la prima delle questioni da te poste. Per quanto riguarda il caso f(x,y)=y*ln x, che se devo essere sincero mi ha tutta l'aria di una inutile complicazione, mi impegno a guardarlo e a dirti qualcosa al riguardo in un successivo postato.
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 25/11/2002 15:27:26
inutile che dica che la tua asserzione circa la 'evidente falsità' dello sviluppo in serie di Taylor lascia quanto meno perplesso non solo me, ma anche, presumo, l'amministratore del sito il quale dovrebbe a questo punto rettificare quanto riportato in
https://www.matematicamente.it/analisi/form_tayl.htm
che qui di seguito riproduco:
Sia f(x) una funzione derivabile n volte in x=xo. Se si vuole approssimare tale funzione f(x) in prossimità di x=xo con un polinomio di grado n si perviene a determinare il polinomio di Taylor:
Pn(x)= f(xo) + f(1)(xo)* (x-xo) + f(2)(xo)*(x-xo)^2/2! +...+ f(n)(xo)*(x-xo)^n/n! [1]
La differenza Rn=f(x)-Pn(x) è chiamata errore [o resto] e rappresenta in effetti l'errore che si commette sostituendo Pn(x) al posto di f(x).
Nel caso che esistano finite le derivate di ogni ordine della funzione f(x) per x=xo ed il resto Rn tenda uniformrmente a 0 in un certo intorno di x=xo per n -> 00 allora f(x) risulta in quell'intorno sviluppabile in serie di Taylor in modo che è:
f(x)= f(xo)+f(1)(xo)*(x-xo)/1!+ f(2)(xo)(x-xo)^2/2!+...+f(n)(xo)*(x-xo)^n/n!+... [2]
La funzione da me a suo tempo esaminata [f(x)=e^(x*ln x)] nell'intorno di x=1 soddisfaceva a tutti i requisiti richiesti per essere sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno di x=1. Circa il 'controesempio' da te fornito [f(x)=e^(-1/x^2)] è facile vedere che essa è sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno di qualunque punto xo purchè diverso da 0. Abbiamo infatti:
f(x)= e^(-1/x^2)
f(1)(x)=2/x^3*e(-1/x^2)
f(2)(x)=2/x^3*(1-3/x)*e(-1/x^2)
...
E' evidente, anche omettendo per semplicità il calcolo delle derivate di ordine superiore al secondo, che le derivate della funzione esistono in tutti i punti della funzione salvo che per x=0 e questo verifica quanto detto in precedenza.
Questo per quello che riguarda la prima delle questioni da te poste. Per quanto riguarda il caso f(x,y)=y*ln x, che se devo essere sincero mi ha tutta l'aria di una inutile complicazione, mi impegno a guardarlo e a dirti qualcosa al riguardo in un successivo postato.
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 25/11/2002 15:27:26
Ciao lupo grigio, nel tuo ultimo post affermi che in generale si dimostra che se una funzione f(x) è continua insieme con le derivate di ogni ordine nell'intorno di x=a, allora per essa vale lo sviluppo in serie di Taylor:
f(x) = f(a)+ f(1)(a)*(x-a)+ ...+ f(n-1)(a)*(x-a)^(n-1)/(n-1)!+ R(n) [1]
ove R(n) è il cosidetto 'resto', che si dimostra essere R(n)->0 per n-> 00.
Ciò è evidentemente falso, infatti esiste il seguente controesempio.
La funzione f(x) così definita,
f(x)= e^(-1/x^2) per x diverso da zero
f(x)=0 per x=0
è continua insieme con le derivate di ogni ordine nell'intorno di x=0, ma per essa non vale lo sviluppo in serie di Taylor.
Affinchè la tua affermazione sia vera occorre aggiungere come ipotesi che in un intorno di x=a le derivate di f(x) siano equilimitate.
Inoltre, la tua dimostrazione fatta ricorrendo alla serie di potenze, in realtà, prova solo che il limite per x --> 0+ di x^x esiste e vale 1.
Se invece di sviluppare x*ln x in serie di potenze, sviluppi y*ln x, ti accorgeresti di non poter concludere che esista il limite per (x,y) --> (0,0) di x^y.
La tua dimostrazione non prova affatto che 0^0=1.
Non credo che si possa dire che esista un valore ad hoc per 0^0: la mia posizione l'ho ampliamente espressa nell'ultimo mio post.
Angelo
f(x) = f(a)+ f(1)(a)*(x-a)+ ...+ f(n-1)(a)*(x-a)^(n-1)/(n-1)!+ R(n) [1]
ove R(n) è il cosidetto 'resto', che si dimostra essere R(n)->0 per n-> 00.
Ciò è evidentemente falso, infatti esiste il seguente controesempio.
La funzione f(x) così definita,
f(x)= e^(-1/x^2) per x diverso da zero
f(x)=0 per x=0
è continua insieme con le derivate di ogni ordine nell'intorno di x=0, ma per essa non vale lo sviluppo in serie di Taylor.
Affinchè la tua affermazione sia vera occorre aggiungere come ipotesi che in un intorno di x=a le derivate di f(x) siano equilimitate.
Inoltre, la tua dimostrazione fatta ricorrendo alla serie di potenze, in realtà, prova solo che il limite per x --> 0+ di x^x esiste e vale 1.
Se invece di sviluppare x*ln x in serie di potenze, sviluppi y*ln x, ti accorgeresti di non poter concludere che esista il limite per (x,y) --> (0,0) di x^y.
La tua dimostrazione non prova affatto che 0^0=1.
Non credo che si possa dire che esista un valore ad hoc per 0^0: la mia posizione l'ho ampliamente espressa nell'ultimo mio post.
Angelo
La risposta di Angelo mi spinge inevitabilmente ad un esempio dimostrativo che ha un duplice scopo: dimostrare l'incosistenza del concetto di 'forma indeterminata' e ribadire il fatto che c=a^b vale solo ed unicamente 1 quando a=b=0.
Consideriamo la funzione di variabile reale f(x)=x^x nell'intorno del punto x=1. In generale si dimostra che se una funzione f(x) è continua insieme con le derivate di ogni ordine nell'intorno di x=a allora per essa vale lo sviluppo in serie di Taylor:
f(x) = f(a)+ f(1)(a)*(x-a)+ ...+ f(n-1)(a)*(x-a)^(n-1)/(n-1)!+ R(n) [1]
ove R(n) è il cosidetto 'resto', che si dimostra essere R(n)->0 per n-> 00.
Dal momento che vale l'indentità:
x^x = e^(x*ln x) [2]
per le proprietà della funzione esponenziale il comportamento di x^x sarà univocamente definito definendo il comportamento di f(x)= x*ln x per x>=0. Se ora volessimo determinare il valore di x^x per x=0 andando a sostituire 0 al posto di x nella [2] ci troveremmo nell'impossibilità di farlo dal momento che il logaritmo di 0 non esiste [saremmo in questo caso di fronte ad una 'forma indeterminata' del tipo 0*00...].
Per ovviare a questa difficoltà possiamo sviluppare in serie di Taylor la funzione f(x)= x*ln x nell'intorno di x=1 andando a calcolare il valore della funzione e delle sue derivate per x=1...
f(x)=x*ln x= 0 per x=1
f(1)(x)= 1+ln x = 1 per x=1
f(2)(x)= 1/x = 1 per x=1
f(3)(x)= -1/x^2 = -1 per x=1
...
f(n)(x)= (-1)^(n-1)*(n-2)/x^(n-1)= (-1)^(n-1)*(n-2) per x=1 [3]
Andando a sostituire tali valori nella [1] otteniamo il seguente sviluppo...
f(x)=x*ln x= (x-1) + (x-1)^2/2*1 - (x-1)^3/3*2 +... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n*(n-1)+... [4]
Calcondo ora il valore della serie trovata per x=0 si ottiene la serie...
f(0)= -1 + 1/2*1+1/3*2+...+1/n*(n-1)+... [5]
... e ricordando che i termini a partire dal secondo formano una cosiddetta 'serie a canocchiale' definita come...
1/2*1+1/3*2+...+1/n*(n-1)= 1-1/(n+1) [6]
... la quale ovviamente tende a 1 per n-> 00 si conclude alla fine che...
f(x)= x*ln x = 0 e pertanto e^f(x)=1 per x=0 [7]
c.v.d...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Consideriamo la funzione di variabile reale f(x)=x^x nell'intorno del punto x=1. In generale si dimostra che se una funzione f(x) è continua insieme con le derivate di ogni ordine nell'intorno di x=a allora per essa vale lo sviluppo in serie di Taylor:
f(x) = f(a)+ f(1)(a)*(x-a)+ ...+ f(n-1)(a)*(x-a)^(n-1)/(n-1)!+ R(n) [1]
ove R(n) è il cosidetto 'resto', che si dimostra essere R(n)->0 per n-> 00.
Dal momento che vale l'indentità:
x^x = e^(x*ln x) [2]
per le proprietà della funzione esponenziale il comportamento di x^x sarà univocamente definito definendo il comportamento di f(x)= x*ln x per x>=0. Se ora volessimo determinare il valore di x^x per x=0 andando a sostituire 0 al posto di x nella [2] ci troveremmo nell'impossibilità di farlo dal momento che il logaritmo di 0 non esiste [saremmo in questo caso di fronte ad una 'forma indeterminata' del tipo 0*00...].
Per ovviare a questa difficoltà possiamo sviluppare in serie di Taylor la funzione f(x)= x*ln x nell'intorno di x=1 andando a calcolare il valore della funzione e delle sue derivate per x=1...
f(x)=x*ln x= 0 per x=1
f(1)(x)= 1+ln x = 1 per x=1
f(2)(x)= 1/x = 1 per x=1
f(3)(x)= -1/x^2 = -1 per x=1
...
f(n)(x)= (-1)^(n-1)*(n-2)/x^(n-1)= (-1)^(n-1)*(n-2) per x=1 [3]
Andando a sostituire tali valori nella [1] otteniamo il seguente sviluppo...
f(x)=x*ln x= (x-1) + (x-1)^2/2*1 - (x-1)^3/3*2 +... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n*(n-1)+... [4]
Calcondo ora il valore della serie trovata per x=0 si ottiene la serie...
f(0)= -1 + 1/2*1+1/3*2+...+1/n*(n-1)+... [5]
... e ricordando che i termini a partire dal secondo formano una cosiddetta 'serie a canocchiale' definita come...
1/2*1+1/3*2+...+1/n*(n-1)= 1-1/(n+1) [6]
... la quale ovviamente tende a 1 per n-> 00 si conclude alla fine che...
f(x)= x*ln x = 0 e pertanto e^f(x)=1 per x=0 [7]
c.v.d...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Penso che la tua affermazione sia condivisibile.
Vorrei solo precisare che la mia posizione non è la b), ma la seguente.
E' opportuno che ogni tentativo di dare significato numerico all'espressione 0^0 sia coerente con tutte le proprietà delle potenze e gli unici valori che non contraddicono alcuna proprietà sono 0 e 1. Inoltre è utile assumere ciascuno di questi due valori come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni (per es.: numero di tutte le funzioni definite in A a valori in B, probabilità che un evento si verifichi in una serie di prove ripetute).
Angelo
Vorrei solo precisare che la mia posizione non è la b), ma la seguente.
E' opportuno che ogni tentativo di dare significato numerico all'espressione 0^0 sia coerente con tutte le proprietà delle potenze e gli unici valori che non contraddicono alcuna proprietà sono 0 e 1. Inoltre è utile assumere ciascuno di questi due valori come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni (per es.: numero di tutte le funzioni definite in A a valori in B, probabilità che un evento si verifichi in una serie di prove ripetute).
Angelo
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