$0 in NN$ ????
Nella mia (infinitesima) vita da matematico ho trovato spesso ambedue le definizioni..
In $NN$ c'è lo $0$??
Motivare la risposta..
Vediamo..facciamo almeno un sondaggio!
In $NN$ c'è lo $0$??
Motivare la risposta..
Vediamo..facciamo almeno un sondaggio!
Risposte
"GreenLink":
Scusatemi, vi chiedo un'ultima cosa: che cos'è un insieme induttivo?
Per me vale quella che qui:
http://mathworld.wolfram.com/InductiveSet.html
viene detta definizione di Russell.
Cioè è un insieme $X$ sul quale è definita una relazione $\rho$ riflessiva, antisimmetrica e transitiva (ovvero, un insieme ordinato) che è non vuoto e tale che, per ogni suo elemento, vi sia sempre un "successivo" (o "successore").
Se $X$ è l'insieme ordinato di cui stiamo parlando, e se $x \in X$, "successivo" di $x$ è un elemento $y$ t.c.:
- $x \rho y$ e $x \ne y$
- non esiste $z$ (diverso da $x$ e da $y$) t.c. $x \rho z$ e $z \rho y$
s.e.o.
o salvo pareri difformi
"Gaal Dornick":
e infatti mi innervosisco un sacco agli esami dei professori pignolissimi! Se uso la D per indicare i dischi e lui usava la B.. chissenefrega! è lo stesso
io non direi pignolissimo, ma semplicemente e pianamente stupido
"Gaal Dornick":
E' per questo che mi sono chiesto quale sia la filosofia alla base di $0 in NN$.. ma a quanto pare filosofia non c'è
ma infatti, non c'è "filosofia" (che parolone!)
semplicemente agli algebristi fa comodo (mediamente) avere l'elemento neuto rispetto alla somma
invece agli analisti questo (mediamente) non serve e (mediamente) è più comodi par loro far partire i naturali da 1
"Luca.Lussardi":
Si crea solo una confusione (e abbiamo visto che si crea, questo topic è la conferma) inutile.
Sia chiaro: sono completamente d'accordo con voi..L'appartenenza o meno dello zero nei naturali non mi cambia la vita..semplicemente mi domandavo come mai ci fosse una disuniformità di definizioni!
Buona domanda: qualche tempo fa mi sono chiesto come mai ogni professore usasse notazioni e definizioni diverse per gli stessi oggetti. Per carità: tutto coerente; magari la definizione di aperto del professore di analisi era metrica, le altre no.. ma tutto consistente.
La domanda che mi sono fatto era: visto che in ogni caso ci metto un po' a capire il punto di vista di ogni professore, e a capire che quella A gotica era nell'altro corso un'altra lettera, non sarebbe più "economico" unificare per bene le notazioni?
Più avanti nei corsi ho però capito che le notazioni non sono poi così importanti..alla fine sempre della stessa cosa parliamo! (e infatti mi innervosisco un sacco agli esami dei professori pignolissimi! Se uso la D per indicare i dischi e lui usava la B.. chissenefrega! è lo stesso) E la differenza di punti di vista è una ricchezza: se ogni professore la vedesse nello stesso modo, uscirei con una sola idea di ogni oggetto..
E' per questo che mi sono chiesto quale sia la filosofia alla base di $0 in NN$.. ma a quanto pare filosofia non c'è
Scusatemi, vi chiedo un'ultima cosa: che cos'è un insieme induttivo?
Ah beh, quello sì.
"GreenLink":
Fioravante Patrone, per il mio prof di analisi un insieme induttivo contiene 1 ed è tale che se contiene un numero contiene anche il suo successivo; perciò l'insieme da lei citato non è induttivo. Posso capire che non sia una scelta così importante inserire lo 0 nei naturali o meno, ma ho voluto riportare la mia esperienza personale di matricola per confermare quanto poca attenzione i professori prestino su questa questione. Se voi matematici esperti avete acquisito la sensibilità necessaria per capire veramente il problema francamente trovo poco corretto il fatto di sminuire i nostri dubbi.
1.
tu prima hai scritto: "Il mio prof di analisi ha definito l'insieme dei numeri naturali come intersezione della famiglia degli insiemi induttivi: con questa definizione è sbagliato includere lo 0."
tu ora scrivi: "per il mio prof di analisi un insieme induttivo contiene 1 ed è tale che se contiene un numero contiene anche il suo successivo"
1.1: spero che tu sia in grado di comprendere la differenza fra le due affermazioni
1.2: la nozione di "insieme induttivo" non è nella disponibilità di ciascuno, neanche del tuo prof. Diciamo che ha usato una variante personale, legittima
2.
dici: "sminuire i nostri dubbi"
E chi sminuisce? Io sostengo che molti che hanno scritto qui non hanno capito neanche di cosa si parla...
3.
i prof che prestano poca attenzione: e voi protestate, coniglietti! Comodo dirlo scrivendo da anonimi su un forum. Io lo facevo, a suo tempo. Ne ho anche mandato uno a quel paese
Nota finale: non è dai diamanti che nascono i fior
@Luca Lussardi: non siamo ancora alla fine. Certo che poco importa se in $NN$ ci mettiamo o no lo "0". Solo che non è da poco il fatto che molti non sappiano cosa è "0" e cosa è "1"
Questa questione è solo una questione didattica, non ha nessuna importanza matematica se lo $0$ sia o no un numero naturale. Spero che questo metta la parola fine.
Fioravante Patrone, per il mio prof di analisi un insieme induttivo contiene 1 ed è tale che se contiene un numero contiene anche il suo successivo; perciò l'insieme da lei citato non è induttivo. Posso capire che non sia una scelta così importante inserire lo 0 nei naturali o meno, ma ho voluto riportare la mia esperienza personale di matricola per confermare quanto poca attenzione i professori prestino su questa questione. Se voi matematici esperti avete acquisito la sensibilità necessaria per capire veramente il problema francamente trovo poco corretto il fatto di sminuire i nostri dubbi.
"GreenLink":
Il mio prof di analisi ha definito l'insieme dei numeri naturali come intersezione della famiglia degli insiemi induttivi: con questa definizione è sbagliato includere lo 0. La prof di algebra invece ha usato gli assiomi di peano, dove si usa lo 0.
Mi ricorda una vignetta dei Peanuts in cui un personaggio diceva: "oggi ho preso 100 decisioni, tutte sbagliate".
Bene, trovo interessante il fatto che entrambe le "motivazioni" siano sbagliate.
Del che l'una: o GreenLink non ha compreso quanto dicevano i miei colleghi, o loro si sono sbagliati...
ALGEBRA:
Riporto da wiki.en gli ultimi assiomi di Peano e il beve commento che segue:
5. 0 is a natural number.
6. For every natural number n, S(n) is a natural number.
Peano's original formulation of the axioms used 1 instead of 0 as the "first" natural number. This choice is arbitrary, as axiom 5 does not endow the constant 0 with any additional properties. However, because 0 is the additive identity in arithmetic, most modern formulations of the Peano axioms start from 0. Axioms 5 and 6 define a unary representation of the natural numbers: the number 1 is S(0), 2 is S(S(0)) (= S(1)), and, in general, any natural number n is Sn(0). The next two axioms define the properties of this representation.
Non che wiki.en sia un'autorità, ma semplicemente perché c'è un'ovvia affermazione, corretta, che taglia la testa al toro. Invito chi abbia voglia a immaginare a cosa mi riferisco (chi sa di mate o chi mi conosce non avrà dubbi...).
ANALISI:
Le ragioni per cui è una sciocchezza dire che il più piccolo insieme induttivo non contiene lo "0" sono analoghe a quelle indicate nello spoiler precedente, per cui: bella lì.
Ma, già che ci sono, domando: forse che ${7, 8, 9, \ldots }$ non è un insieme induttivo?
A questo punto, forse è il caso di chiedere: ma chi sono "0" e "1"???
Temo che molti che hanno scritto in questo lungo thread non l'abbiano capito.
Il mio prof di analisi ha definito l'insieme dei numeri naturali come intersezione della famiglia degli insiemi induttivi: con questa definizione è sbagliato includere lo 0. La prof di algebra invece ha usato gli assiomi di peano, dove si usa lo 0.
"Luca.Lussardi":
Sei troppo ottimista John_Nash.... io parlo dello studente medio, non dello studente bravo che ha già in mente di fare il dottorato.
Ma luca, lo studente "medio" come dici tu, secondo me se è così medio da iscriversi ad un corso di laurea in matematica allora sà già abbastanza bene a cosa và incontro, e non viene ucciso da qualche cambio di definizione di tanto in tanto.
Questo problema potrei capirlo per altri corsi di laurea, ma il punto è che in altri corsi di laurea c'è si e no un esame di matematica.. analisi o poco più, per cui basta che all'inizio del corso il professore scelga se inserire lo 0 in N o no. E la questione finisce davvero lì.
Il problema è solo per le facoltà con diversi corsi di matematica secondo me, ma come ho già detto uno studente qualsiasi che sceglie questa strada non credo che possa avere chissà quali problemi su un punto del genere.
Poi magari mi sbaglio.. Io parlo per esperienza personale..
Sintesi:
- se i piccolini imparano a non confondersi e a trarre qualcosa di positivo da questo scontro, non può fargli che bene.
Non so se và bene come sintesi.. Ho fatto il liceo classico, l'ultimo anno si andava avanti a pane e sillogismi... ma non ricordo + nulla.. ^_^
- se i piccolini imparano a non confondersi e a trarre qualcosa di positivo da questo scontro, non può fargli che bene.
Non so se và bene come sintesi.. Ho fatto il liceo classico, l'ultimo anno si andava avanti a pane e sillogismi... ma non ricordo + nulla.. ^_^
Sei troppo ottimista John_Nash.... io parlo dello studente medio, non dello studente bravo che ha già in mente di fare il dottorato.
ah, finalmente un po' di buona dialettica marxista!
tesi:
- non bisogna confondere le idee ai piccolini
antitesi:
- ma "scontrarsi" con questi problemi gli fa bene, li fa crescere
se qualcuno scrive la sintesi, grazie
tesi:
- non bisogna confondere le idee ai piccolini
antitesi:
- ma "scontrarsi" con questi problemi gli fa bene, li fa crescere
se qualcuno scrive la sintesi, grazie
Potrebbe però essere visto non come qualcosa di confusionario, ma qualcosa che "ci mette alla prova".. Di solito questi diversi pareri li incontriamo per la prima volta all'università, e penso che a quel punto abbiamo tutti l'età per non restare intontiti o spaesati di fronte a due definizioni diverse. Questo discorso potrebbe aiutarci ad avere una padronanza totale dell'inclusione/esclusione dello $0$.. Perchè se facessimo un intero corso di laurea usando una singola definizione, secondo me una volta usciti dall'università tenderemmo ad avere un pò di difficoltà ad accettare la definizioni contraria.. Quindi io la prenderei anche come una cosa positiva per abituarsi a pensare in modi diversi.
Certo la cosa deve essere lungi dal creare confusioni.. Ma penso che in fin dei conti siano davvero ben altre le cose che creano confusione ad uno studente del primo anno....
Certo la cosa deve essere lungi dal creare confusioni.. Ma penso che in fin dei conti siano davvero ben altre le cose che creano confusione ad uno studente del primo anno....
Non è questione di analista contro algebrista: io sono d'accordo con l'elasticità di Fioravante, per me la questione dello 0 se sta o no in N non esiste.... io lo metto in N, ma non mi interessa se qualcuno dice che non ci sta.
Quello che però sarebbe da evitare secondo me è usare definizioni diverse a studenti troppo piccoli e inesperti, che non hanno ancora l'elasticità mentale adatta. Si crea solo una confusione (e abbiamo visto che si crea, questo topic è la conferma) inutile.
Quello che però sarebbe da evitare secondo me è usare definizioni diverse a studenti troppo piccoli e inesperti, che non hanno ancora l'elasticità mentale adatta. Si crea solo una confusione (e abbiamo visto che si crea, questo topic è la conferma) inutile.
"Luca.Lussardi":Hai ragione. Posso aggiungere che questo è un "piccolo caso" del più generale problema del coordinamento fra docenti che fanno corsi in parallelo.
Proprio per evitare questi spiacevoli fatti mi sembrerebbe opportuno avere, almeno nelle materie di base fatte a studenti ancora freschi e in crescita, delle definizioni perfettamente allineate.
PS: "studenti ancora freschi e in crescita" aaah! carne fresca! Come mi manca!!!
Io non ho mai avuto grossi problemi con lo $0$: l'unica cosa che contava era capire di volta in volta se fosse compreso, quindi chiedevamo a ciascun prof. se lui lo considerava compreso o no e la cosa finiva lì.
Quando mi ritrovo dall'altra parte (come docente e non discente), lo considero sempre compreso, ma specifico al discente di turno che non si stupisca se qualcuno dice diverso, perché è questione di gusti.
Quando mi ritrovo dall'altra parte (come docente e non discente), lo considero sempre compreso, ma specifico al discente di turno che non si stupisca se qualcuno dice diverso, perché è questione di gusti.
Condivido, il caso vuole che proprio in questi giorni mi sia capitato un povero studente di Analisi A che all'orale mi ha detto di aver sbagliato l'esercizio sul calcolo dell'estremo superiore poichè nel corso di Algebra lo 0 non è stato considerato numero naturale, mentre in Analisi A sì. Proprio per evitare questi spiacevoli fatti mi sembrerebbe opportuno avere, almeno nelle materie di base fatte a studenti ancora freschi e in crescita, delle definizioni perfettamente allineate.
@Luca Lussardi
Hai ragione, ma non credo sia possibile arrivare ad un accordo.
Il fatto è che per diverse tribù di matematici è più comodo usarlo con un significato specifico e diverso da altre tribù.
Io stesso soffro di questo problema nel mio mestiere. Pensa che devo leggere che un preordine è completo, laddove si dovrebbe dire che è totale! Qui è la tribù degli economisti che ha fatto questo scempio.
C'è anche uno svantaggio a voler usare una singola notazione unificata per tutti i matematici, ed è che si andrebbe verso un uso di notazioni barocche. Ammetto, non è certo questo il problema del simbolo di cui si sta discutendo.
Ultima cosa. Vero che non si devono confondere gli studenti. Ma non bisogna neppure fare del "catechismo". A me danno un fastidio pazzesco, "a pelle", certi interventi sul forum che mostrano di avere una "visione unilaterale" senza rendersene neanche conto. Non potò mai dimenticarmi lo stupore di un giovane milanese (studente di fisica!) il quale mi chiese stupito come facessimo noi genovesi a liberarci della spazzatura, visto che non usiamo avere la pattumiera (che mi pare venga anche chiamata canna rifiuti).
Hai ragione, ma non credo sia possibile arrivare ad un accordo.
Il fatto è che per diverse tribù di matematici è più comodo usarlo con un significato specifico e diverso da altre tribù.
Io stesso soffro di questo problema nel mio mestiere. Pensa che devo leggere che un preordine è completo, laddove si dovrebbe dire che è totale! Qui è la tribù degli economisti che ha fatto questo scempio.
C'è anche uno svantaggio a voler usare una singola notazione unificata per tutti i matematici, ed è che si andrebbe verso un uso di notazioni barocche. Ammetto, non è certo questo il problema del simbolo di cui si sta discutendo.
Ultima cosa. Vero che non si devono confondere gli studenti. Ma non bisogna neppure fare del "catechismo". A me danno un fastidio pazzesco, "a pelle", certi interventi sul forum che mostrano di avere una "visione unilaterale" senza rendersene neanche conto. Non potò mai dimenticarmi lo stupore di un giovane milanese (studente di fisica!) il quale mi chiese stupito come facessimo noi genovesi a liberarci della spazzatura, visto che non usiamo avere la pattumiera (che mi pare venga anche chiamata canna rifiuti).
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