$Y=f(X)$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Volevo chiedere se la mia interpretazione di una notazione è corretta: quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\)), cioè che ogni qualvolta $X$ assume il valore $x$, $Y$ assume il valore $ax+b$ (rispettivamente $f(x)$) e anche che ogni valore $y$ assunto da $Y$ è esprimibile come $ax+b$ (o in generale $f(x)$) per qualche valore $x$ assunto da $X$, vero?
$\infty$ grazie!

[Seneca1]

Non sono un esperto, ma secondo me complichi le cose. Una variabile aleatoria è un'applicazioni che ha come codominio i reali e come dominio un certo spazio campionario.
\[ X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} \]
Ora puoi pensare di comporre $X$ con una trasformata del tipo
\[ g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \]
\[ y = g(x) \]
Per esempio, se $g$ è lineare, $g(x) = a x + b$:
\[ Y = g \circ X : X \longrightarrow \mathbb{R} \]
che è la variabile aleatoria $Y = a X + b$.

[DavideGenova1]

Comunque direi che le due cose si equivalgono: $Y$ assume il valore $g(x)$ (usando il nome della funzione che hai usato tu) ogni qualvolta $X$ vale un certo $x$ e altri valori non assume... se non sto delirando...
Grazie di cuore, Seneca!

[retrocomputer]

"DavideGenova":quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\))

Più che "significa" direi "implica", sei d'accordo?

[DavideGenova1]

"retrocomputer":[quote="DavideGenova"]quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\))

Più che "significa" direi "implica", sei d'accordo?[/quote]Intendevo "equivale", nel senso che avrei detto che $Y=f(X)$ se e solo se si ha sia che \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) sia che per ogni valore $y$ assunto da $Y$ esiste un valore $x$ assunto da $X$ tale che \(y=f(x)\)...

"Sergio":Una probabilità pari a 1 non esclude che possa aversi \(Y\ne f(X)\) per qualche punto isolato (cioè su un insieme di misura nulla).

Mmh... pensavo giusto oggi sul bus al caso di una distribuzione continua, caso in cui la probabilità che $Y$ assuma un singolo valore è nulla...
Grazie a tutti per i vostri interessanti interventi!