$Y=f(X)$
Ciao, amici! Volevo chiedere se la mia interpretazione di una notazione è corretta: quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\)), cioè che ogni qualvolta $X$ assume il valore $x$, $Y$ assume il valore $ax+b$ (rispettivamente $f(x)$) e anche che ogni valore $y$ assunto da $Y$ è esprimibile come $ax+b$ (o in generale $f(x)$) per qualche valore $x$ assunto da $X$, vero?
$\infty$ grazie!
$\infty$ grazie!
Risposte
Non sono un esperto, ma secondo me complichi le cose. Una variabile aleatoria è un'applicazioni che ha come codominio i reali e come dominio un certo spazio campionario.
\[ X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} \]
Ora puoi pensare di comporre $X$ con una trasformata del tipo
\[ g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \]
\[ y = g(x) \]
Per esempio, se $g$ è lineare, $g(x) = a x + b$:
\[ Y = g \circ X : X \longrightarrow \mathbb{R} \]
che è la variabile aleatoria $Y = a X + b$.
\[ X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} \]
Ora puoi pensare di comporre $X$ con una trasformata del tipo
\[ g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \]
\[ y = g(x) \]
Per esempio, se $g$ è lineare, $g(x) = a x + b$:
\[ Y = g \circ X : X \longrightarrow \mathbb{R} \]
che è la variabile aleatoria $Y = a X + b$.
Comunque direi che le due cose si equivalgono: $Y$ assume il valore $g(x)$ (usando il nome della funzione che hai usato tu) ogni qualvolta $X$ vale un certo $x$ e altri valori non assume... se non sto delirando...
Grazie di cuore, Seneca!
Grazie di cuore, Seneca!
"DavideGenova":
quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\))
Più che "significa" direi "implica", sei d'accordo?
"retrocomputer":
[quote="DavideGenova"]quando si ha a che fare con notazioni in cui si esprime una variabile aleatoria in funzione di un'altra, come $Y=aX+b$ o in generale $Y=f(X)$, significa che la probabilità condizionata \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) (nel caso generale \(P(Y=f(x)|X=x)=1\))
Più che "significa" direi "implica", sei d'accordo?[/quote]Intendevo "equivale", nel senso che avrei detto che $Y=f(X)$ se e solo se si ha sia che \(P(Y=ax+b|X=x)=1\) sia che per ogni valore $y$ assunto da $Y$ esiste un valore $x$ assunto da $X$ tale che \(y=f(x)\)...
"Sergio":Mmh... pensavo giusto oggi sul bus al caso di una distribuzione continua, caso in cui la probabilità che $Y$ assuma un singolo valore è nulla...
Una probabilità pari a 1 non esclude che possa aversi \(Y\ne f(X)\) per qualche punto isolato (cioè su un insieme di misura nulla).
Grazie a tutti per i vostri interessanti interventi!